Lição 55 — Derivadas de ordem superior

Seja $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$. Calcule $f'(x)$ e $f''(x)$.

Seja $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$. Calcule $f''(x)$.

Seja $f(x) = \sin x$. Calcule $f''(x)$.

Seja $f(x) = \cos(2x)$. Calcule $f''(x)$.

Seja $f(x) = \ln x$. Calcule $f''(x)$.

Seja $f(x) = xe^x$. Calcule $f''(x)$.

Seja $f(x) = x^2 \ln x$. Calcule $f''(x)$.

Seja $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Calcule $f'''(x)$.

Seja $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Calcule $f''(0)$.

Seja $f(x) = \sqrt{x}$. Calcule $f''(x)$.

Seja $f(x) = \cos(2x)$. Calcule $f^{(4)}(x)$.

Seja $f(x) = x^4$. Calcule $f^{(5)}(x)$.

Seja $f(x) = e^{2x}$. Determine $f^{(n)}(x)$ para todo $n \geq 1$.

Determine $(\sin x)^{(100)}$.

Seja $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Determine a fórmula geral $f^{(n)}(x)$.

Para $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$, determine os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.

Para $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, determine os intervalos de concavidade e o ponto de inflexão.

Para $f(x) = e^{-x^2}$, calcule $f''(0)$.

Para $f(x) = x^5 - 5x^4$, determine os pontos de inflexão.

Se $f''(c) = 0$, podemos concluir que $c$ é ponto de inflexão de $f$?

Se $f'(c) = 0$ e $f''(c) > 0$, o que se conclui sobre $c$?

Determine a concavidade de $f(x) = e^x$ em todo o domínio.

Analise a concavidade de $f(x) = x^3$ e identifique o ponto de inflexão.

Para $f(x) = x^4 - 6x^2$, determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Explique por que $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ e por que $(e^x)^{(n)} = e^x$ para todo $n \geq 0$.

Derive a fórmula de $(fg)''$ a partir da regra do produto, e identifique a analogia com o binômio de Newton.

Seja $f(x) = (1 + x)^{10}$. Calcule $f^{(10)}(0)$.

Posição de uma partícula: $s(t) = 4t^3 - t^4$ (metros, $t$ em segundos). Calcule $v(1)$, $a(1)$ e $j(1)$, e interprete $j(1) = 0$.

Pêndulo: $\theta(t) = A\cos(\omega t)$. Calcule $\ddot{\theta}$ e verifique que $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$.

Custo de produção: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (R$ mil). Calcule $C''(q)$ e interprete o ponto de inflexão como "custo marginal mínimo".

Posição de veículo: $s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ (metros). Calcule $v(t)$, $a(t)$, $j(t)$ e determine quando a aceleração é zero.

Altura de projétil: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$. Calcule $h''(t)$ e identifique seu significado físico.

Em um sistema mecânico, a energia potencial $U(\theta)$ tem ponto crítico em $\theta_0$. O que $U''(\theta_0) > 0$ versus $U''(\theta_0) < 0$ implica sobre a estabilidade do equilíbrio?

Usando as três primeiras derivadas de $f(x) = e^x$ em $a = 0$, escreva o polinômio de Taylor $T_2(x)$ e estime o erro para $x = 0{,}1$.

Escreva o polinômio de Taylor de grau 2 de $f(x) = \cos x$ em torno de $a = 0$ e verifique para $x = 0{,}1$.

Calcule $f^{(n)}(x)$ para $f(x) = \ln(1+x)$ e escreva o polinômio de Taylor $T_n(x)$ em torno de $a = 0$.

Para $f(x) = x^x$ ($x > 0$), calcule $f''(x)$ usando derivada logarítmica.

Enuncie a fórmula de Leibniz $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ e descreva a estrutura do argumento por indução que a prova.

Demonstração. Seja $f$ duas vezes diferenciável em $[0, 1]$, com $f(0) = f(1) = 0$ e $f' \not\equiv 0$. Existe $c \in (0, 1)$ com $f''(c) = 0$? Justifique.

Demonstração. Prove que se $f$ é duas vezes diferenciável e $f''(x) \geq 0$ em $(a, b)$, então $f$ é convexa em $(a, b)$.