Lição 64 — Regra de L'Hôpital
Regra de L'Hôpital para indeterminações 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 e limites notáveis como sin(x)/x e e^x/x^n.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
형식적 선언, 증명, 확장
형식적 선언
"로피탈의 정리는 분자와 분모가 모두 0 또는 ∞로 접근할 때 분수 극한의 계산을 단순화한다. 핵심은 부정형을 인식하고, 정리를 적용한 후, 결과 극한이 실제로 존재하는지 확인하는 것이다." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8
증명의 핵심 아이디어 (경우 0/0)
Cauchy 평균값 정리에 의해: 이면, 근처의 에 대해 와 사이에 가 존재하여:
일 때, 이고, 극한은 로 진행한다 (도함수의 비가 수렴할 때).
다른 부정형으로의 확장
"주의: 로피탈의 정리는 함수의 몫의 극한이 이들 도함수의 몫의 극한과 같다고 말하며, 단 원래 극한이 0/0 또는 ∞/∞ 형태여야 한다. 이것은 몫의 도함수와 같지 않다." — Active Calculus §2.8
풀이된 예시
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 64.1Application
를 계산하라.
- Ex. 64.2Application
를 계산하라.
- Ex. 64.3Application
를 계산하라.
- Ex. 64.4ApplicationAnswer key
를 계산하라.
- Ex. 64.5ApplicationAnswer key
를 계산하라.
- Ex. 64.6Application
를 계산하라.
- Ex. 64.7Application
를 계산하라.
- Ex. 64.8Application
를 계산하라.
- Ex. 64.9ApplicationAnswer key
를 계산하라.
- Ex. 64.10Application
를 계산하라.
- Ex. 64.11Application
로피탈을 이용해 를 증명하라.
- Ex. 64.12Application
를 계산하라.
- Ex. 64.13Understanding
누군가가 로피탈을 이용해 을 계산하려고 한다. 무엇이 잘못되었나?
- Ex. 64.14Understanding
의 부정형은 무엇인가?
- Ex. 64.15ApplicationAnswer key
를 계산하라.
- Ex. 64.16Application
를 계산하라.
- Ex. 64.17Application
를 계산하라.
- Ex. 64.18ApplicationAnswer key
를 계산하라.
- Ex. 64.19ApplicationAnswer key
양의 정수 에 대해 를 계산하라.
- Ex. 64.20Application
를 계산하라.
- Ex. 64.21Application
를 계산하라.
- Ex. 64.22Application
를 계산하라.
- Ex. 64.23Application
를 계산하라.
- Ex. 64.24Application
를 계산하라.
- Ex. 64.25Application
로피탈을 이용해 를 계산해보라. 무엇이 일어나는가? 올바른 답은 무엇인가?
- Ex. 64.26Application
를 계산하라.
- Ex. 64.27Application
를 계산하라.
- Ex. 64.28Proof
Cauchy 평균값 정리를 이용해 경우에 대해 로피탈의 정리의 증명을 개략하라.
- Ex. 64.29Proof
로피탈의 정리를 이용해 기본 극한 을 증명하라.
- Ex. 64.30ChallengeAnswer key
임의의 에 대해 임을 보여라 (지수가 모든 거듭제곱을 지배). 반복 로피탈을 사용하고 필요한 적용 횟수에 대해 논증하라.
출처
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com