Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

$s(t) = 2t^2 - 6t$. $v(t)$와 $a(t)$를 구하세요.

$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. $v = 0$일 때는? 각 순간에 물체는 가속 중인가 감속 중인가?

$s(t) = 100 - 5t^2$ (자유낙하, $g = 10$ m/s²). 언제 땅에 부딪히나요? 그 순간의 속도는?

$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$. $t = 2$에서의 속도와 가속도.

$s(t) = e^{-t}\sin t$. $v(t)$와 $a(t)$를 구하세요. 감소하는 진폭이 무엇을 말하나요?

$s(t) = 10\sin(2t)$. 진폭 $A$, $\omega$, 주기 $T$를 식별하세요. $v(t)$를 쓰세요.

$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$. $[0, 3]$에서 최대 속도.

$s(t) = \ln(1 + t^2)$. $v(t)$를 구하고 $t = 1$에서 평가하세요.

$s(t) = t^2 - 4t$. $t = 0$에서 $t = 4$ 사이의 이동 거리 (주의: $v$가 부호 변화).

$s(t) = A\cos(\omega t)$. 저크 $j(t) = s'''(t)$를 구하세요.

$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$. 속도가 0일 때는? 방향 전환이 있나요?

$s(t) = \sin(t^2)$. $v(t)$를 구하세요 (연쇄 법칙) 그리고 $t = \sqrt{\pi}$에서 평가하세요.

공을 위로 $v_0 = 20$ m/s로 땅에서 던집니다. 최대 높이 ($g = 10$ m/s²).

차가 $v_0 = 30$ m/s에서 $a = -5$ m/s²로 균일하게 감속합니다. 정지 거리 (토리첼리).

비행기가 정지 상태에서 시작하여 1000 m 활주로 후 $v_f = 80$ m/s로 이륙합니다. 평균 가속도와 활주 시간.

돌이 $h = 80$ m에서 떨어집니다. 낙하 시간과 충돌 속력 ($g = 10$ m/s²).

차가 0에서 100 km/h로 10.5초에 가속합니다. 평균 가속도와 가속 중 이동 거리.

사각 발사: $v_0 = 50$ m/s를 수평에서 30°. 수평 범위 ($g = 10$ m/s²).

로켓: $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² $t = 60$ s까지 (엔진 차단). 엔진 차단 시 속도와 위치.

열차가 균일하게 감속하여 200 m를 20초에 이동하고 정지합니다. 초기 $v_0$는?

공을 높이 50 m인 탑 꼭대기에서 $v_0 = 20$ m/s로 위로 던집니다. 땅에 부딪힐 때까지의 시간.

질량 $m = 1$ kg인 물체가 항력 $b = 0{,}2$ kg/s로 떨어집니다. 말단 속도 ($g = 10$ m/s²).

질량-용수철: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. 각속도 $\omega$, 주기 $T$, 진동수 $f$.

$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$. 진폭, 주기, $v(t)$, 최대 속도.

길이 $L = 1$ m인 진자. 각속도 $\omega = \sqrt{g/L}$와 주기 ($g = 10$ m/s²).

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$가 미분방정식 $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$을 만족함을 검증하세요.

MHS: $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$. 시간에 대해 미분하여 $E$가 상수임을 보이세요.

$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (감쇠 진동자). 겉보기 진동수와 진폭 동작.

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$와 $v(t)$ 사이의 위상차. 90°를 확인하세요.

MHS에서 $a(t)$와 $x(t)$가 180° 위상차가 있음을 보이세요 — 즉, $a = -\omega^2 x$.

공을 위로 던집니다. 가장 높은 점에서 가속도는:

평균 속도 ($\Delta s/\Delta t$)가 왜 일반적으로 속도들의 평균과 다른지 설명하세요. 수치적 예를 드세요.

속도 (1D 벡터량, 부호 있음)와 속력 (스칼라)의 차이를 설명하세요. 왜 $v < 0$이 가능한가요?

원운동: $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$. $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$이고 $|\vec{a}| = R\omega^2$임을 보이세요.

발사체를 $v_0$와 각도 $\theta$로 발사합니다. 범위 공식 $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$을 유도하고 최적 각도를 찾으세요.

차: 1시간 동안 60 km/h, 그 다음 1시간 동안 120 km/h. 시간 당 평균 속도? 동일 거리 당?

2차 저항으로 낙하: $m\dot{v} = -mg - bv^2$. 말단 속도와 $v(t)$의 해석 해 (변수 분리로).

나선: $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$. $\vec{v}$, $|\vec{v}|$, $\vec{a}$를 계산하세요.

토리첼리 방정식 $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$를 MUV 방정식으로부터 시간 $t$를 소거하여 증명하세요.

MHS에서 시간 평균 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지가 각각 $E/2$와 같음을 보이세요 — $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$를 사용.