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Lição 72 — Variância e desvio padrão

Dispersão estatística: quanto os dados se afastam da média. Variância populacional e amostral, desvio padrão, fórmula computacional, propriedades de linearidade e independência.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Stochastik LK alemão · Equiv. Math B japonês · Equiv. H2 Statistics singapurense

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Variância e desvio padrão — população e amostra

"A variância é mais ou menos a distância quadrática média de cada ponto de dados até a média. A unidade associada à variância está em unidades quadráticas. Para que a medida de dispersão tenha as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância, chamada de desvio padrão." — OpenIntro Statistics §2.1, Diez et al., CC-BY-SA.

"Nos problemas de estatística, geralmente não temos acesso a toda a população, por isso usamos os dados amostrais para estimar os parâmetros populacionais. Para isso, dividimos pelo grau de liberdade da amostra, $n-1$ , em vez de $n$ ." — OpenStax Statistics §2.7, Illowsky & Dean, CC-BY.

Propriedades algébricas

Theorem· Propriedades da variância

Para variáveis aleatórias $X, Y$ e constantes $a, b \in \mathbb{R}$ :

\text{Var}(b) = 0

what this means · Constante tem variância zero: não há dispersão.

\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)

what this means · Translação não afeta dispersão; escala entra ao quadrado.

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (X, Y \text{ independentes})

what this means · Para X e Y independentes, variâncias se somam — analogia com Pitágoras em L² .

\text{Var}(X) \geq 0

what this means · Variância é sempre não negativa.

Demonstração de $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$ : como $E[aX+b] = a\mu + b$ , temos $\text{Var}(aX+b) = E[(aX+b - a\mu - b)^2] = E[(a(X-\mu))^2] = a^2 E[(X-\mu)^2] = a^2 \text{Var}(X)$ . $\square$

Representação geométrica — diagrama de dispersão

Dois conjuntos com mesma média mas dispersões distintas. Pontos afastados da linha pontilhada (média) geram variância alta; pontos agrupados geram variância baixa.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Cálculo direto de variância e desvio padrão (aplicação)

Problema: Calcule a variância populacional $\sigma^2$ e o desvio padrão $\sigma$ para os dados $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .

Estratégia: Aplicar a definição em quatro passos: média, desvios, quadrados dos desvios, média dos quadrados.

Resolução:

Média: $\mu = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .
Desvios $x_i - \mu$ : $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Desvios ao quadrado: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ . Soma $= 32$ .
Variância populacional: $\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$ .
Desvio padrão: $\sigma = \sqrt{4} = 2$ .

Verificação: $\sigma = 2$ tem mesma unidade dos dados. Checamos: o intervalo $[\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [3, 7]$ contém os valores 4, 4, 4, 5, 5, 7 — seis dos oito dados (75%), compatível com a regra empírica (ao menos 68% para qualquer distribuição de Bell, Chebyshev garante ao menos 75% pra qualquer distribuição).

Fonte. OpenIntro Statistics §2.1, exemplo "Toy data for variance" — licença CC-BY-SA.

Example— 2· Variância amostral com correção de Bessel (aplicação)

Problema: Oito estudantes fizeram uma prova de estatística. As notas foram: 72, 85, 90, 68, 78, 92, 81, 74. Calcule a variância amostral $s^2$ e o desvio padrão amostral $s$ .

Estratégia: Uso divisor $n-1$ porque os dados são uma amostra de uma turma maior. Usarei a fórmula computacional $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$ para eficiência.

Resolução:

$n = 8$ . Soma: $72+85+90+68+78+92+81+74 = 640$ . Média: $\bar{x} = 640/8 = 80$ .
$\sum x_i^2 = 5184 + 7225 + 8100 + 4624 + 6084 + 8464 + 6561 + 5476 = 51718$ .
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 51718 - 8 \times 6400 = 51718 - 51200 = 518$ .
$s^2 = \frac{518}{7} \approx 74{,}0$ .
$s = \sqrt{74{,}0} \approx 8{,}6$ pontos.

Verificação: Inspecionando os dados, todos os valores estão entre 68 e 92, amplitude 24. Um desvio padrão de 8,6 é razoável — corresponde a aproximadamente $1/3$ da amplitude, valor típico.

Fonte. OpenStax Statistics §2.7, exemplo "Find the Standard Deviation" — licença CC-BY.

Example— 3· Variância de variável aleatória discreta (intermediário)

Problema: Um dado honesto de 6 faces. Seja $X$ o resultado. Calcule $\text{Var}(X)$ .

Estratégia: Usar a fórmula $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ com a distribuição uniforme discreta.

Resolução:

$P(X = k) = 1/6$ para $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .
$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$ .
$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$ .
Desvio padrão: $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ .

Verificação: A fórmula geral para $X$ uniforme em $\{1, \ldots, n\}$ é $\text{Var}(X) = (n^2-1)/12$ . Para $n=6$ : $(36-1)/12 = 35/12$ . Confere.

Fonte. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, Ch. 6, Example 6.1 — licença GNU FDL.

Example— 4· Propriedade de linearidade e coeficiente de variação (intermediário)

Problema: Uma máquina enche garrafas com volume médio $\mu = 500$ mL e $\sigma = 4$ mL. A empresa vende em caixas de 12 garrafas. (a) Qual o desvio padrão do volume total de uma caixa, assumindo garrafas independentes? (b) Qual o coeficiente de variação ( $CV$ ) de uma garrafa individual?

Estratégia: Para (a), usar a propriedade de independência: $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{12}) = 12\sigma^2$ . Para (b), aplicar $CV = \sigma/\mu$ .

Resolução:

(a) Seja $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ com $X_i$ independentes e idênticas.

$\text{Var}(S) = 12 \cdot \sigma^2 = 12 \cdot 16 = 192 \text{ mL}^2$ .

$\sigma_S = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ mL.

(b) $CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$ .

Um $CV$ de 0,8% é muito baixo — a máquina é consistente.

Verificação: Para 12 garrafas independentes, o desvio padrão cresce com $\sqrt{12}$ , não com 12. $4\sqrt{12} \approx 13{,}9$ . Consistente com o cálculo.

Fonte. OpenStax Statistics §2.7, exercício de propriedades — licença CC-BY.

Example— 5· Desigualdade de Chebyshev — cotas de probabilidade (modelagem)

Problema: Uma linha de produção fabrica peças com massa média $\mu = 200$ g e desvio padrão $\sigma = 5$ g. Sem conhecer a distribuição exata, determine uma cota inferior para a proporção de peças com massa entre 185 g e 215 g.

Estratégia: Chebyshev fornece uma cota universal: $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - 1/k^2$ . Identificar $k$ a partir da faixa pedida.

Resolução:

Faixa pedida: $[185, 215] = [\mu - 15, \mu + 15]$ .
$15 = 3\sigma$ (pois $\sigma = 5$ ). Logo $k = 3$ .
Chebyshev: $P(|X - 200| < 15) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\%$ .

Pelo menos 88,9% das peças estão dentro da tolerância, independentemente da distribuição.

Verificação: Se a produção fosse normal, com $k=3$ teríamos 99,7% — bem mais. Chebyshev é conservador. O valor 88,9% é a pior cota possível para qualquer distribuição com $\mu = 200, \sigma = 5$ .

Fonte. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §8.1, Chebyshev Inequality — licença GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 3Modeling 9Proof 4

Ex. 72.1Application
Calcule a variância populacional e o desvio padrão de $\{4, 6, 8\}$ .
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Ex. 72.2Application
Calcule a variância amostral $s^2$ e o desvio padrão amostral $s$ para $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.3Application
Calcule o desvio padrão populacional de $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.4ApplicationAnswer key
Qual a variância de $\{10, 10, 10, 10\}$ ? Explique geometricamente.
Solve online
Ex. 72.5ApplicationAnswer key
Calcule a variância populacional de $\{0, 100\}$ .
Solve online
Ex. 72.6Application
Salários (mil R$): $3, 3, 4, 4, 5, 20$ . Calcule média e desvio padrão amostral. Comente o efeito do outlier.
Solve online
Ex. 72.7Application
Use a fórmula computacional $\overline{x^2} - \bar{x}^2$ para calcular a variância de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Solve online
Ex. 72.8Application
Tempo de espera (min) em 8 atendimentos: $5, 7, 6, 8, 4, 5, 6, 7$ . Calcule o desvio padrão amostral.
Solve online
Ex. 72.9ApplicationAnswer key
Pesos (kg) de 6 melancias: $8, 9, 9, 10, 11, 13$ . Calcule $s^2$ e $s$ .
Solve online
Ex. 72.10Application
$X$ assume valores $1, 2, 3$ com probabilidades $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ . Calcule $\text{Var}(X)$ .
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Ex. 72.11Application
Dado honesto de 6 faces. Calcule $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 72.12ApplicationAnswer key
Soma de dois dados honestos independentes. Calcule $\text{Var}(S)$ usando a propriedade de independência.
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Ex. 72.13Application
Temperatura máxima (°C) em 7 dias: $10, 7, 4, 9, 8, 11, 5$ . Calcule a variância amostral.
Solve online
Ex. 72.14Application
Use a fórmula computacional $E[X^2] - (E[X])^2$ para calcular a variância de $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.15ApplicationAnswer key
Se $\text{Var}(X) = 9$ , calcule $\text{Var}(2X + 5)$ .
Solve online
Ex. 72.16Application
Se $\sigma_X = 4$ , qual o desvio padrão de $3X$ ?
Solve online
Ex. 72.17ApplicationAnswer key
$\text{Var}(X) = 4$ , $\text{Var}(Y) = 9$ , $X$ e $Y$ independentes. Calcule $\text{Var}(X+Y)$ e $\text{Var}(X-Y)$ .
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Ex. 72.18Application
Padronize $X = 80$ se $\mu = 70$ , $\sigma = 5$ . Calcule o escore $z$ .
Solve online
Ex. 72.19Application
$F = 1{,}8C + 32$ (conversão Celsius para Fahrenheit). Se $\sigma_C = 5$ °C, qual $\sigma_F$ ?
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Ex. 72.20Application
Calcule o coeficiente de variação $CV = \sigma/\mu$ para alturas ( $\mu = 170$ cm, $\sigma = 8$ cm) e pesos ( $\mu = 70$ kg, $\sigma = 12$ kg). Qual conjunto é relativamente mais variável?
Solve online
Ex. 72.21Application
Padronize $\{60, 70, 80\}$ usando $\mu = 70, \sigma = 10$ . Qual a média e o desvio padrão dos escores $z$ ?
Solve online
Ex. 72.22Application
$\text{Var}(X) = 16$ . Qual $\text{Var}(-X)$ ?
Solve online
Ex. 72.23ApplicationAnswer key
Média amostral de $n = 25$ observações independentes com $\sigma = 10$ . Qual o desvio padrão da média?
Solve online
Ex. 72.24Application
Soma de 100 variáveis aleatórias iid com $\sigma = 1$ . Qual o desvio padrão da soma?
Solve online
Ex. 72.25Understanding
Por que a variância amostral usa divisor $n-1$ em vez de $n$ ?
Solve online
Ex. 72.26Understanding
Para comparar dispersão entre salários (R$) e alturas (cm), prefere-se $\sigma$ ou $CV$ ? Por quê?
Solve online
Ex. 72.27Understanding
Variância pode ser negativa?
Solve online
Ex. 72.28Modeling
Linha de produção: massa média 500 g, $\sigma = 5$ g. Tolerância $\pm 15$ g. Quantos $\sigma$ a tolerância representa?
Solve online
Ex. 72.29ModelingAnswer key
Dois fundos com retorno esperado 8%, mas $\sigma_A = 5\%$ e $\sigma_B = 15\%$ . Qual escolher como avesso ao risco? Por quê?
Solve online
Ex. 72.30Modeling
Você mede uma resistência 10 vezes: $\bar{R} = 100\,\Omega$ , $s = 0{,}5\,\Omega$ . Estime o desvio padrão da média.
Solve online
Ex. 72.31Modeling
Tempo de viagem casa-trabalho: $\mu = 30$ min, $\sigma = 5$ min. Usando a desigualdade de Chebyshev como cota conservadora, quantos minutos antes deve sair para ter ao menos 95% de chance de chegar a tempo?
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Ex. 72.32Modeling
Processo Six Sigma: $\mu = 10{,}00$ mm, tolerância $9{,}94$ a $10{,}06$ mm. Qual o maior $\sigma$ que ainda satisfaz a exigência Six Sigma?
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Ex. 72.33ModelingAnswer key
Ações A: $\sigma_A = 1\%$ ; Ações B: $\sigma_B = 2\%$ . Carteira 50-50, correlação zero. Variância da carteira.
Solve online
Ex. 72.34Modeling
Mesma carteira do exercício anterior, mas com correlação $-0{,}5$ entre as ações. Variância. Compare com o caso de correlação zero.
Solve online
Ex. 72.35Modeling
Em aprendizado de máquina, por que features com diferentes escalas devem ser padronizadas antes de treinar modelos baseados em gradiente?
Solve online
Ex. 72.36Modeling
Notas do ENEM em Matemática: $\mu \approx 520$ , $\sigma \approx 110$ pontos. Um aluno tirou 740. Calcule o escore $z$ e interprete (em quantos desvios padrão acima da média ele está?).
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Ex. 72.37Proof
Demonstre que $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir da definição $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .
Ex. 72.38Proof
Demonstre que $\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$ para quaisquer constantes $a, b$ .
Ex. 72.39ProofAnswer key
Demonstre que $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ quando $X$ e $Y$ são independentes.
Ex. 72.40Proof
Demonstre a desigualdade de Chebyshev: $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}$ para $k > 0$ .

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Fonte primária desta lição. §2.1–§2.2 cobrem variância amostral, desvio padrão, boxplot e exemplos aplicados.
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. §2.7 cobre medidas de dispersão, fórmula computacional, exercícios com calculadora e dados educacionais/saúde.
Introduction to Probability — Grinstead & Snell (Dartmouth) — GNU FDL. Ch. 6 cobre variância de variáveis aleatórias discretas, propriedades algébricas, Chebyshev e conexão com lei dos grandes números.