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Lição 74 — Variável aleatória discreta

PMF, esperança, variância e LOTUS. O conceito que unifica probabilidade e estatística e abre caminho para todas as distribuições nomeadas.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

E[X] = \sum_x x \cdot P(X = x), \quad \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Variável aleatória discreta

"A random variable is a numerical measure of the outcome of a probability experiment... a discrete random variable has a countable number of values." — OpenStax Statistics §4.1

"The expected value of a random variable is denoted by the Greek letter mu ( $\mu$ ). The expected value is often called the long-term average or mean." — OpenStax Statistics §4.2

Exemplos resolvidos

Example— 74.1· PMF, esperança e variância de v.a. com 3 valores

Problema. $X$ assume valores 1, 2, 3 com probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ .

Estratégia. Aplicar definições diretamente. Calcular $E[X^2]$ via LOTUS e usar a fórmula da variância.

Resolução.

$E[X] = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

$E[X^2] = 1^2 \cdot 0{,}2 + 2^2 \cdot 0{,}5 + 3^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 2{,}0 + 2{,}7 = 4{,}9$

$\text{Var}(X) = 4{,}9 - (2{,}1)^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$

Verificação. $\sigma = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ . Intervalo $[E[X] \pm \sigma] = [1{,}4;\; 2{,}8]$ — contém os valores 2 e parte de 1 e 3. Faz sentido com distribuição centrada em 2,1 com dispersão moderada.

Fonte. OpenStax Statistics §4.2 — CC-BY.

Example— 74.2· Dado honesto — PMF completa e momentos

Problema. $X$ é o resultado de um dado honesto. Calcule $E[X]$ , $E[X^2]$ e $\text{Var}(X)$ .

Estratégia. PMF uniforme: $p_X(x) = 1/6$ para $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Usar somas de progressões aritméticas.

Resolução.

$E[X] = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3{,}5$

$E[X^2] = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}$

$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}917$

Verificação. $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ . Valores extremos (1 e 6) estão a $\approx 1{,}5\sigma$ da média — coerente com distribuição uniforme discreta simétrica.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.1 — CC-BY-SA.

Example— 74.3· Linearidade da esperança — soma de dois dados

Problema. Lance dois dados honestos. Calcule a esperança e a variância da soma $S = X_1 + X_2$ .

Estratégia. Usar linearidade da esperança e, para variância, independência dos dados.

Resolução.

Por linearidade: $E[S] = E[X_1] + E[X_2] = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ .

Como $X_1$ e $X_2$ são independentes: $\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}83$ .

Verificação. $E[S] = 7$ é o valor mais provável (6 combinações somam 7 em 36 possíveis). $\sigma_S = \sqrt{35/6} \approx 2{,}42$ . Intervalo $[4{,}58;\; 9{,}42]$ contém os resultados mais comuns — plausível.

Fonte. OpenIntro Statistics §3.2 — CC-BY-SA.

Example— 74.4· Aposta justa — seguro e loteria

Problema. Uma seguradora cobra prêmio de R $800 por ano por um seguro que paga R$ 50.000 em caso de sinistro (prob. 1%). Qual é o lucro esperado da seguradora por apólice?

Estratégia. Modelar o lucro como variável aleatória e calcular esperança.

Resolução. Seja $L$ o lucro da seguradora por apólice.

Com prob. 0,99 (sem sinistro): $L = 800$ (recebe prêmio, não paga nada).
Com prob. 0,01 (sinistro): $L = 800 - 50.000 = -49.200$ .

$E[L] = 800 \cdot 0{,}99 + (-49.200) \cdot 0{,}01 = 792 - 492 = 300$

Verificação. Prêmio atuarialmente justo seria $E[\text{indenização}] = 50.000 \times 0{,}01 = R\$ 500 $. A seguradora cobra R$ 800, então o lucro esperado de R$ 300 cobre despesas administrativas e margem. Faz sentido comercialmente.

Fonte. OpenStax Statistics §4.2 — CC-BY.

Example— 74.5· LOTUS e variância de função não-linear

Problema. $X$ assume valores 0, 1, 2 com probabilidades 0,3; 0,5; 0,2. Calcule $E[(X - E[X])^2]$ diretamente via LOTUS e verifique com $E[X^2] - (E[X])^2$ .

Estratégia. Calcular $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ pelos dois caminhos.

Resolução. $E[X] = 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}9$ .

Via LOTUS com $g(x) = (x - 0{,}9)^2$ :

$E[(X-0{,}9)^2] = (0-0{,}9)^2 \cdot 0{,}3 + (1-0{,}9)^2 \cdot 0{,}5 + (2-0{,}9)^2 \cdot 0{,}2$ $= 0{,}81 \cdot 0{,}3 + 0{,}01 \cdot 0{,}5 + 1{,}21 \cdot 0{,}2 = 0{,}243 + 0{,}005 + 0{,}242 = 0{,}49$

Via fórmula alternativa:

$E[X^2] = 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}2 = 1{,}3$ $\text{Var}(X) = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49 \checkmark$

Verificação. Os dois métodos coincidem. A fórmula $E[X^2] - (E[X])^2$ é computacionalmente preferível (uma passagem pelos dados); LOTUS na definição é conceitualmente mais transparente.

Fonte. Introduction to Probability — Grinstead, Snell §5.1 — GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 2Modeling 10Challenge 1Proof 3

Ex. 74.1Application
$X$ assume valores 1, 2, 3 com probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Calcule $E[X]$ .
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Ex. 74.2ApplicationAnswer key
Mesma $X$ do exercício anterior. Calcule $E[X^2]$ .
Solve online
Ex. 74.3Application
Mesma $X$ . Calcule $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 74.4Application
Dado honesto ( $X \in \{1,2,3,4,5,6\}$ , $p = 1/6$ ). Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 74.5Application
Moeda honesta: $X = 1$ se cara, $X = 0$ se coroa. Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$ .
Solve online
Ex. 74.6Application
Soma $S = X_1 + X_2$ de dois dados honestos. Calcule $E[S]$ .
Solve online
Ex. 74.7Application
Soma $S = X_1 + X_2$ de dois dados independentes. Calcule $\text{Var}(S)$ .
Solve online
Ex. 74.8Application
$X$ uniforme em $\{1, 2, \ldots, n\}$ . Calcule $E[X]$ em função de $n$ .
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Ex. 74.9Application
$P(X = k) = c \cdot k$ para $k \in \{1, 2, 3, 4\}$ . Encontre $c$ e calcule $E[X]$ .
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Ex. 74.10ApplicationAnswer key
$P(X = k) = (1/2)^k$ para $k = 1, 2, \ldots$ Verifique que é PMF válida e calcule $E[X]$ .
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Ex. 74.11ApplicationAnswer key
Loteria: ganha R $1 milhão com prob.$ 10^ $, cada bilhete custa R$ 5. Calcule $E[\text{lucro}]$ por bilhete. Vale a pena comprar?
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Ex. 74.12Application
Aposta: ganha R $100 com prob. 0,4 e perde R$ 60 com prob. 0,6. Calcule $E[X]$ .
Solve online
Ex. 74.13ApplicationAnswer key
$E[X] = 5$ , $E[Y] = 3$ . Calcule $E[2X + 3Y - 1]$ .
Solve online
Ex. 74.14Application
$X$ tem $E[X] = 4$ e $\text{Var}(X) = 9$ . Calcule $E[X^2 + 1]$ .
Solve online
Ex. 74.15Application
100 dados independentes. Esperança da soma total.
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Ex. 74.16Application
100 dados independentes. Variância da soma total.
Solve online
Ex. 74.17Application
$X \in \{0, 1, 2\}$ com probabilidades 0,3; 0,5; 0,2. Calcule $E[X^2]$ .
Solve online
Ex. 74.18Application
Mesma $X$ . Calcule $E[3X + 2]$ via linearidade.
Solve online
Ex. 74.19ApplicationAnswer key
Mesma $X$ . Calcule $E[(X-1)^2]$ via LOTUS.
Solve online
Ex. 74.20ApplicationAnswer key
Você tira 5 cartas de um baralho sem reposição. Use indicadores e linearidade para calcular a esperança do número de ases.
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Ex. 74.21Application
Entre $n$ pessoas, esperança do número de pares que compartilham o mesmo aniversário. Use indicadores.
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Ex. 74.22Application
Urna com 5 bolas vermelhas e 15 azuis. Você sorteia 10 sem reposição. Esperança do número de vermelhas.
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Ex. 74.23Application
Seguro: 1% de chance de pagar R$ 100 mil. Qual é o prêmio atuarialmente justo?
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Ex. 74.24Application
Roleta europeia (37 casas): aposta R $1 em um número, paga 35:1. Calcule$ E[X]$ por rodada.
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Ex. 74.25Modeling
E-commerce: 10% dos visitantes compram; ticket médio R$ 200. Calcule a receita esperada por 1.000 visitantes.
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Ex. 74.26Modeling
Modelo de ML com 95% de acurácia. Cada erro custa R$ 50. Esperança de custo total em 1.000 classificações.
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Ex. 74.27Modeling
Linha de produção: 2% das peças são defeituosas. Lote de 50 peças. Esperança e variância do número de defeituosas.
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Ex. 74.28Modeling
Call center: operador atende 1, 2 ou 3 clientes/min com probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Esperança de atendimentos por hora.
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Ex. 74.29ModelingAnswer key
Você joga uma moeda honesta até sair cara. Esperança do número de lançamentos.
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Ex. 74.30Modeling
Servidor recebe 5 requisições/s em média (Poisson). Esperança de requisições em 1 minuto.
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Ex. 74.31Modeling
Trabalhador autônomo: recebe R $1.500 (30% do tempo) ou R$ 1.000 (70% do tempo). Alíquota INSS simplificada: 7,5% sobre o salário mensal. Calcule a contribuição esperada mensal.
Solve online
Ex. 74.32Modeling
Fundo de investimento: retorno mensal de +2% com prob. 0,6 ou -1% com prob. 0,4. Calcule retorno esperado e variância mensal.
Solve online
Ex. 74.33ModelingAnswer key
Loja com 3 fornecedores: A (40% dos pedidos, 3 dias), B (35%, 5 dias), C (25%, 7 dias). Calcule tempo médio de entrega e variância.
Solve online
Ex. 74.34ModelingAnswer key
Cartão com cashback aleatório: R $5 em 20% das compras, R$ 0 caso contrário. Com 50 compras/mês, calcule cashback esperado mensal e desvio padrão.
Solve online
Ex. 74.35Understanding
Por que o LOTUS funciona? Explique em 2–3 linhas sem usar fórmulas.
Solve online
Ex. 74.36Understanding
Por que a linearidade da esperança $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ vale mesmo quando $X$ e $Y$ são dependentes?
Solve online
Ex. 74.37Challenge
Construa uma v.a. discreta com apenas 2 valores que satisfaça $E[X] = 0$ e $\text{Var}(X) = 1$ .
Solve online
Ex. 74.38Proof
Demonstre a identidade $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir da definição $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$ .
Ex. 74.39ProofAnswer key
Demonstre que se $X, Y$ são discretas e independentes, então $E[XY] = E[X]\,E[Y]$ .
Ex. 74.40Proof
Demonstre as desigualdades de Markov ( $P(X \geq a) \leq E[X]/a$ para $X \geq 0$ ) e Chebyshev ( $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq 1/k^2$ ).

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — §3.1 (PMF, esperança) e §3.2 (variância, linearidade, independência).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §4.1–4.3 — v.a. discreta, PMF, CDF, esperança, variância; exercícios AP-level.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §5.1–5.2 — esperança, variância, LOTUS, desigualdades de Markov e Chebyshev; exercícios demonstrativos.