Lição 94 — Modelos populacionais: Malthus e Verhulst

$\dot P = 0{,}03P$, $P(0) = 500$을 푸세요.

세균 식민지는 500으로 시작하여 30분마다 두 배가 됩니다. 3시간 후 세균은 몇 개입니까? $r$을 찾으세요.

$r = 0{,}2$, $K = 5000$, $P_0 = 200$에 대한 로지스틱 해를 작성하세요.

이전 연습의 로지스틱 ($K = 5000$, $r = 0{,}2$, $P_0 = 200$): 변곡점은 언제 발생합니까?

로지스틱 $r = 0{,}2$, $K = 5000$: 평형을 식별하고 최대 지속 가능 수확률 (MSY)을 계산하세요.

멸종 위험 종: $\dot P = -0{,}015 P$. 개체군의 반감기를 계산하세요.

로지스틱: $K = 8000$, $r = 0{,}3$, $P(0) = 1000$. $P(5)$를 계산하세요.

로지스틱: $K = 1000$, $r = 0{,}5$, $P(0) = 100$. $P(8)$을 계산하세요.

$P(0) = 100$, $P(5) = 300$, $K = 1000$을 알 때 $r$을 결정하세요.

탄소-14의 반감기는 5730년입니다. 표본은 원래 탄소의 70%를 유지합니다. 나이는 몇 살입니까?

로지스틱 방정식 $\dot P = rP(1-P/K)$의 최대 성장률 $\dot P_{\max}$는 무엇입니까?

로지스틱 $r, K > 0$: $P(t) \to K$로 이끄는 $P_0$의 값은 무엇입니까?

사슴 보호 구역: $K = 1200$, $r = 0{,}4$/년. 최대 지속 가능 연간 수확량은 얼마입니까? 개체군을 어느 수준으로 유지해야 합니까?

세계 인구: $P_0 = 6$ 십억 (2000년), $r = 1{,}2\%$/년, $K = 10$ 십억. 로지스틱 모델로 2050년 인구를 예측하세요.

상수 수확 로지스틱: $\dot P = 0{,}3P(1-P/1500) - 50$. 평형과 안정성을 찾으세요.

제품 확산: 50,000명의 고객 시장, 첫 달 500명, $r = 0{,}6$/월. 90% 시장이 채택했을 때는?

팬데믹 초기 ($I$가 작음, $S \approx N$)에서 $\dot I \approx (\beta N - \gamma)I$를 보이세요. $\beta = 0{,}3$, $\gamma = 0{,}1$, $N = 1000$: 팬데믹이 있습니까?

Gompertz 모델: $\dot P = rP\ln(K/P)$. 로지스틱과의 변곡점 위치를 비교하세요.

수확 로지스틱: $\dot P = 0{,}4P(1-P/1200) - H$. 어떤 $H$ 값에서 양수 평형이 존재하지 않습니까? 이 경우 개체군은 어떻게 됩니까?

Allee 효과: $\dot P = rP(P/A - 1)(1-P/K)$ 여기서 $0 < A < K$. 평형을 찾고 분류하세요. $P_0 < A$이면 어떻게 됩니까?

Lotka-Volterra: $\dot x = 2x - xy$, $\dot y = -y + xy$. 평형을 찾고 궤적이 $y - \ln y + x - 2\ln x = C$를 만족함을 보이세요.

로지스틱 해 $P(t)$가 정확히 $P = K/2$에서 변곡점을 가짐을 보이세요.

선형화를 통해 $r, K > 0$에 대한 로지스틱 방정식의 $P^* = K$는 안정 평형이고 $P^* = 0$는 불안정임을 증명하세요.