v1 · padrão canônico

Lição 87 — Integrais trigonométricas e substituição trigonométrica

∫ sinⁿcos^m via identidades e sub u. Substituição trigonométrica para radicais √(a²±x²) e √(x²−a²). Fórmulas de redução de potências.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

항등식, 패턴, 치환

기본 항등식

$\int \sin^n x \cos^m x\, dx$ 패턴

Definition· 지수의 홀짝성에 따른 전략

상황	전략
$n$ 홀수	$\sin x\, dx$ 예약; $\sin^2 = 1 - \cos^2$ 로 $\sin^{n-1}$ 변환; $u = \cos x$ 치환
$m$ 홀수	$\cos x\, dx$ 예약; $\cos^2 = 1 - \sin^2$ 로 $\cos^{m-1}$ 변환; $u = \sin x$ 치환
모두 짝수	반각 공식 반복 사용

$\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ 의 경우:

상황	전략
$m$ 짝수	$\sec^2 x\, dx$ 예약; $\sec^2 = 1 + \tan^2$ 로 변환; $u = \tan x$ 치환
$n$ 홀수	$\sec x \tan x\, dx$ 예약; $\tan^2 = \sec^2 - 1$ 로 변환; $u = \sec x$ 치환

"사인과 코사인의 거듭제곱의 곱을 적분하는 전략은 지수의 홀짝성에 따라 다릅니다. 지수 중 하나가 홀수일 때, 한 인수를 '떼어내고' 피타고라스 항등식을 사용하여 나머지 짝수 거듭제곱을 변환합니다." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

삼각함수 치환

"삼각함수 치환 뒤의 아이디어는 제곱근을 포함한 식을 삼각함수식으로 바꾸는 것이므로 적분이 더 쉬워집니다." — APEX Calculus §6.4

축약 공식

풀이 예제

Example— 1· 사인의 홀수 거듭제곱 (기본)

문제. $\int \sin^3 x\, dx$ 를 계산하세요.

전략. 홀수 지수: $\sin x\, dx$ 예약, $\sin^2 = 1 - \cos^2$ 변환, $u = \cos x$ 치환.

풀이.

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ .

치환 $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ :

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .

검증. 미분: $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ . 정답.

출처. APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· 짝수 지수 — 반각 공식 (기본)

문제. $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ 를 계산하세요.

전략. 모두 짝수: $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ 를 사용한 다음 반각.

풀이.

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ .

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

검증. 미분: $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ . 정답.

출처. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· √(a² − x²)에 대한 x = a sin θ 치환 (중간 수준)

문제. $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ 를 계산하세요.

전략. 근호 $\sqrt{a^2 - x^2}$ , $a = 2$ : 치환 $x = 2\sin\theta$ .

풀이.

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ ( $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ).

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ .

참조 삼각형 ( $\sin\theta = x/2$ , 빗변 2, 인접한 변 $\sqrt{4-x^2}$ ):

$\theta = \arcsin(x/2)$ ; $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ .

결과: $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ .

검증. 미분 (연쇄법칙): $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ . 정답.

출처. APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 4· √(a² + x²)에 대한 x = a tan θ 치환 (중간 수준)

문제. $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ 를 계산하세요.

전략. 근호 $\sqrt{a^2 + x^2}$ , $a = 1$ : 치환 $x = \tan\theta$ .

풀이.

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ .

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ .

삼각형 ( $\tan\theta = x$ , 빗변 $\sqrt{1+x^2}$ ): $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ , $\tan\theta = x$ .

결과: $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ (동치: $\text{arcsinh}(x) + C$ ).

검증. $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ 미분: $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . 정답.

출처. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· 축약 공식과 응용 (도전)

문제. 축약 공식 $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ 를 유도하고, 이를 사용하여 $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ 를 계산하세요.

전략. 부분 적분으로 유도; $n = 4$ 와 $n = 2$ 에 적용.

풀이.

유도: $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ .

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 로 치환:

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ .

정리: $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ . n으로 나눔.

응용: $n = 4$ : $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ .

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ .

$[0, \pi/2]$ 에서 평가: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ .

검증. Wallis 공식: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . 확인.

출처. APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 24Modeling 4Challenge 2Proof 2

Ex. 87.1Application
$\int \sin^2 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.2Application
$\int \cos^2 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.3ApplicationAnswer key
$\int \sin^3 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.4Application
$\int \cos^3 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.5ApplicationAnswer key
$\int \sin^4 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.6Application
$\int \cos^4 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.7Application
$\int \sin^5 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.8Application
$\int \tan^2 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.9ApplicationAnswer key
$\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.10ApplicationAnswer key
$\int \sin^3 x \cos x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.11ApplicationAnswer key
$\int \sin x \cos^3 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.12Application
$\int \sin^3 x \cos^2 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.13Application
$\int \sin(3x)\cos(2x)\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.14Application
$\int \tan^2 x \sec^2 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.15Application
$\int \sqrt{1 - x^2}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.16Application
$\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.17Application
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.18ApplicationAnswer key
$\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.19Application
$\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.20Application
치환 $x = \tan\theta$ 를 사용하여 $\int \dfrac{1}{1 + x^2}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.21Application
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.22Application
$\int \sqrt{1 + x^2}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.23ApplicationAnswer key
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.24Application
$\int \sqrt{x^2 - 4}\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.25Modeling
반지름 $r$ 인 원의 넓이가 $\pi r^2$ 임을 $A = 4\int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx$ 를 계산하여 증명하세요.
Solve online
Ex. 87.26Modeling
코시 분포: $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ 가 $\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = 1$ 을 만족함을 확인하세요.
Solve online
Ex. 87.27Modeling
$v(t) = V_0\sin(\omega t)$ 의 제곱평균제곱근 (RMS) 전압: $T = 2\pi/\omega$ 일 때, $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2\, dt}$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.28Modeling
타원 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ 의 넓이: $A = 4\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}\, dx$ 를 계산하고 $A = \pi ab$ 임을 보이세요.
Solve online
Ex. 87.29ChallengeAnswer key
$\sec^n$ 의 축약 공식을 사용하여 $\int \sec^5 x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.30Challenge
Weierstrass 치환 $t = \tan(x/2)$ 를 사용하여 $\int \dfrac{1}{\sin x}\, dx = \int \csc x\, dx$ 를 계산하세요.
Solve online
Ex. 87.31Proof
증명. 부분 적분을 사용하여 축약 공식 $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ 를 증명하세요.
Solve online
Ex. 87.32Proof
증명. $(\sec x + \tan x)/(\sec x + \tan x)$ 를 곱하여 $\int \sec x\, dx = \ln\lvert \sec x + \tan x\rvert + C$ 를 증명하세요.
Solve online

출처

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4. 1차 출처.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5.

항등식, 패턴, 치환

기본 항등식

∫sin⁡nxcos⁡mx dx\int \sin^n x \cos^m x\, dx∫sinnxcosmxdx 패턴

삼각함수 치환

축약 공식

풀이 예제

출처

$\int \sin^n x \cos^m x\, dx$ 패턴