v1 · padrão canônico

Lekcja 1 — Zbiory liczbowe, przedziały, notacja

Rygorystyczny język matematyczny: zbiory liczbowe (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ), przedziały, operacje na zbiorach. Lekcja otwarcia programu.

Used in: 1.º rok liceum (15 lat) · Odpowiednik Math I japoński · Odpowiednik Klasse 10 niemiecki

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna

Podstawowe zbiory liczbowe

"Każda liczba rzeczywista odpowiada unikalnej pozycji na osi liczbowej. Odwrotnie też jest prawdziwe: każda lokalizacja na osi liczbowej odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej." — OpenStax College Algebra 2e, §1.1

Przedziały

Definition· Typy przedziałów

Dla $a, b \in \mathbb{R}$ z $a \leq b$ :

Cztery typy przedziałów na osi liczbowej. Wypełniony punkt = koniec włączony. Pusty punkt = koniec wyłączony.

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}

what this means · Przedział zamknięty: oba końce włączone.

(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \lt x \lt b\}

what this means · Przedział otwarty: żaden koniec nie włączony.

[a, b) = \{x : a \leq x \lt b\}, \quad (a, b] = \{x : a \lt x \leq b\}

what this means · Przedziały półotwarte.

Przedziały nieskończone: $[a, +\infty)$ , $(-\infty, b]$ , $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ .

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Wymienianie elementy zbioru (zastosowanie)

Problem: Wylistuj, w notacji nawiasów, zbiór $A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 < x \leq 3\}$ .

Strategia: Problem prosi o wylistowanie elementów zbioru. Notacja zbioru daje nam dwie informacje:

Do którego zbioru liczbowego należą elementy: $\mathbb{Z}$ (liczby całkowite).
Jakie warunki muszą spełniać te elementy: $-2 < x \leq 3$ . Połączymy te informacje, aby zidentyfikować wszystkie liczby całkowite, które się pasują.

Rozwiązanie:

Zidentyfikuj typ liczby: Elementy $x$ muszą być całkowite ( $\mathbb{Z}$ ).
Przeanalizuj pierwszy warunek: $x > -2$ . To oznacza, że $x$ musi być większy niż $-2$ . Liczby całkowite spełniające tę część to $-1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ .
Przeanalizuj drugi warunek: $x \leq 3$ . To oznacza, że $x$ musi być mniejszy lub równy $3$ . Liczby całkowite spełniające tę część to $\ldots, 1, 2, 3$ .
Połącz warunki: Potrzebujemy liczb całkowitych $x$ $x$ , które jednocześnie są większe niż $-2$ I mniejsze lub równe $3$ .
- Liczby całkowite większe niż $-2$ : $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$
- Liczby całkowite mniejsze lub równe $3$ : $\{\ldots, -1, 0, 1, 2, 3\}$
- Przecięcie tych dwóch zbiorów to $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Weryfikacja: Wszystkie wymienione liczby to liczby całkowite.

$-1$ jest większe niż $-2$ i mniejsze lub równe $3$ . (OK)
$0$ jest większe niż $-2$ i mniejsze lub równe $3$ . (OK)
$1$ jest większe niż $-2$ i mniejsze lub równe $3$ . (OK)
$2$ jest większe niż $-2$ i mniejsze lub równe $3$ . (OK)
$3$ jest większe niż $-2$ i mniejsze lub równe $3$ . (OK) Żadna inna liczba całkowita między $-2$ i $3$ (wyłączając $-2$ , włączając $3$ ) nie została pominięta.

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §1.1 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 2· Przecięcie przedziałów (pośredni)

Problem: Dane przedziały $A = [-3, 7)$ i $B = (1, 10]$ , oblicz $A \cap B$ .

Strategia: Przecięcie dwóch zbiorów zawiera tylko elementy należące do obu zbiorów. Ponownie wizualizacja na osi liczbowej to najskuteczniejsze narzędzie.

Rozwiązanie:

Wizualizuj przedział $A$ : $A = [-3, 7)$ $A = [- 3, 7)$ biegnie od -3 (włączone) do 7 (wyłączone).
```
←—————[----------)————→
     -3          7
```
Wizualizuj przedział $B$ : $B = (1, 10]$ $B = (1, 10]$ biegnie od 1 (wyłączone) do 10 (włączone).
```
←——————————(----------]————→
           1          10
```
Połącz dla przecięcia: Musimy znaleźć region, gdzie oba przedziały się pokrywają.
- Najbardziej lewy punkt, gdzie oba są obecne: $1$ . Ale $1$ jest wyłączone w $B$ , więc jest wyłączone w przecięciu.
- Najbardziej prawy punkt, gdzie oba są obecne: $7$ . Ale $7$ jest wyłączone w $A$ , więc jest wyłączone w przecięciu.
- Region pokrycia to między $1$ (wyłączone) i $7$ (wyłączone).

$A \cap B = (1, 7)$

Weryfikacja:

Punkt w przecięciu: $x=3$ . Jest w $A$ (ponieważ $-3 \leq 3 < 7$ ) i w $B$ (ponieważ $1 < 3 \leq 10$ ). (OK)
Punkt tylko w $A$ : $x=-2$ . Nie jest w $B$ . (OK)
Punkt tylko w $B$ : $x=8$ . Nie jest w $A$ . (OK)
Końce: $1$ nie jest w $B$ , $7$ nie jest w $A$ . Oba wyłączone w przecięciu. Odpowiedź jest spójna.

Źródło. Stitz–Zeager — Precalculus §1.2 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Nierówność z wartością bezwzględną, typ |u| ≤ c (pośredni)

Problem: Rozwiąż nierówność $|x - 4| \leq 3$ i wyraź rozwiązanie w notacji przedziału.

Strategia: Nierówności z wartością bezwzględną typu $|u| \leq c$ (gdzie $c > 0$ ) mogą być przepisane jako nierówność złożona: $-c \leq u \leq c$ . Zastosujemy tę właściwość, a następnie rozwiążemy dla $x$ .

Rozwiązanie:

Przepisz nierówność: Właściwość wartości bezwzględnej pozwala nam transformować $|x - 4| \leq 3$ do: $-3 \leq x - 4 \leq 3$
Izoluj $x$ : Aby izolować $x$ , dodaj $4$ do wszystkich części nierówności: $-3 + 4 \leq x - 4 + 4 \leq 3 + 4$ $1 \leq x \leq 7$
Wyraź w notacji przedziału: Nierówność $1 \leq x \leq 7$ oznacza, że $x$ może być dowolną liczbą rzeczywistą między 1 i 7, włącznie z 1 i 7.

$\text{Rozwiązanie: } [1, 7]$

Weryfikacja:

Testuj punkt wewnątrz przedziału: $x=5$ . $|5 - 4| = |1| = 1$ . $1 \leq 3$ . (OK)
Testuj koniec: $x=1$ . $|1 - 4| = |-3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Testuj drugi koniec: $x=7$ . $|7 - 4| = |3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Testuj punkt poza przedziałem: $x=0$ . $|0 - 4| = |-4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK)
Testuj punkt poza przedziałem: $x=8$ . $|8 - 4| = |4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK) Rozwiązanie jest poprawne.

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §1.7 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 4· Nierówność kwadratowa (zaawansowana)

Problem: Określ zbiór rozwiązań nierówności $x^2 - x - 6 > 0$ w notacji przedziału.

Strategia: Aby rozwiązać nierówność kwadratową, najpierw znajdujemy pierwiastkami skojarzonego równania kwadratowego ( $x^2 - x - 6 = 0$ ). Te pierwiastkami dzielą rzeczywistą linię na przedziały. Następnie testujemy punkt w każdym przedziale, aby zobaczyć, gdzie nierówność jest spełniona.

Rozwiązanie:

Znajdź pierwiastkami skojarzonego równania: $x^2 - x - 6 = 0$ $x^{2} - x - 6 = 0$ .
- Możemy faktoryzować równanie: $(x - 3)(x + 2) = 0$ .
- Pierwiastkami to $x = 3$ i $x = -2$ .
Podziel rzeczywistą linię na przedziały: Pierwiastkami $-2$ $- 2$ i $3$ $3$ dzielą rzeczywistą linię na trzy przedziały:
- $(-\infty, -2)$
- $(-2, 3)$
- $(3, +\infty)$
Testuj punkt w każdym przedziale:
- Przedział $(-\infty, -2)$ : Wybierz $x = -3$ . $(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$ . Ponieważ $6 > 0$ , ten przedział spełnia nierówność.
- Przedział $(-2, 3)$ : Wybierz $x = 0$ . $(0)^2 - (0) - 6 = -6$ . Ponieważ $-6 \not> 0$ , ten przedział nie spełnia nierówności.
- Przedział $(3, +\infty)$ : Wybierz $x = 4$ . $(4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$ . Ponieważ $6 > 0$ , ten przedział spełnia nierówność.
Połącz przedziały, które spełniają: Rozwiązanie to suma przedziałów, gdzie nierówność jest prawdziwa. Zwróć uwagę, że nierówność jest ściśle większa niż 0, więc pierwiastkami nie są włączone.

$\text{Rozwiązanie: } (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

Weryfikacja:

Parabola $y = x^2 - x - 6$ ma wogonę do góry (współczynnik $x^2$ jest pozytywny). To oznacza, że wartości funkcji są dodatnie "na zewnątrz" pierwiastkami i ujemne "między" pierwiastkami. Znalezione rozwiązanie jest spójne z wykresem paraboli.

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §3.6 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 5· Modelowanie z wyłączeniem punktu (modelowanie rzeczywiste)

Problem: Czujnik temperatury pracuje prawidłowo w środowisku, gdzie temperatura $T$ (w stopniach Celsjusza) musi być między $10\,°C$ (włącznie) i $40\,°C$ (wyłącznie). Ponadto, z konkretnego wymagania, temperatura nie może być dokładnie $25\,°C$ . Wyraź prawidłowy zakres operacyjny dla $T$ jako suma przedziałów.

Strategia: Najpierw zdefiniuj podstawowy przedział operacyjny. Następnie usuń konkretny punkt, który nie jest dozwolony. Usunięcie pojedynczego punktu z przedziału może spowodować dwa rozłączne przedziały.

Rozwiązanie:

Zdefiniuj podstawowy przedział: Temperatura musi być między $10\,°C$ (włącznie) i $40\,°C$ (wyłącznie). To jest reprezentowane przez przedział $[10, 40)$ .
Zidentyfikuj punkt do wyłączenia: Temperatura nie może być $25\,°C$ .
Usuń punkt z podstawowego przedziału: Liczba $25$ $25$ jest wewnątrz przedziału $[10, 40)$ $[10, 40)$ . Usuwając $25$ $25$ , przedział jest podzielony na dwa części:
- Wszystkie liczby od $10$ (włącznie) do $25$ (wyłącznie): $[10, 25)$ .
- Wszystkie liczby od $25$ (wyłącznie) do $40$ (wyłącznie): $(25, 40)$ .
Wyraź jako suma przedziałów: Prawidłowy zakres operacyjny to suma tych dwóch rozłącznych przedziałów.

$\text{Zakres operacyjny: } [10, 25) \cup (25, 40)$

Weryfikacja:

$T=10$ : Prawidłowa. Jest w pierwszym przedziale.
$T=20$ : Prawidłowa. Jest w pierwszym przedziale.
$T=25$ : Nieprawidłowa. Nie jest w żadnym z przedziałów.
$T=30$ : Prawidłowa. Jest w drugim przedziale.
$T=40$ : Nieprawidłowa. Wyłączone z podstawowego przedziału. Rozwiązanie jest poprawne i spełnia wszystkie warunki.

Źródło. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs kap. 1 — licencja darmowa.

Źródła

Active Calculus — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA. Źródło główne.
OpenStax College Algebra 2e — CC-BY. Rozdziały 1, 3, 7.
Stitz-Zeager Precalculus — CC-BY-NC-SA. Rozdziały 1, 3.
Book of Proof — Hammack · CC darmowa. Rozdziały 1, 3, 6.
Yoshiwara - Modeling, Functions, and Graphs — CC darmowa. Rozdział 1.
Wikilivros Matemática elementar — CC-BY-SA. Teoria zbiorów.

Definicja rygorystyczna

Podstawowe zbiory liczbowe

Przedziały

Operacje na zbiorach

Przykłady rozwiązane

Źródła