v1 · padrão canônico

Lekcja 2 — Funkcje: definicja, dziedzina, zbiór wartości

Funkcja jako obiekt matematyczny: reguła jednoznacznej odpowiedniości między dwoma zbiorami. Dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości. Wykres kartezjański. Funkcje injektywne, surjektywne, bijektywne.

Used in: 1.º rok liceum (15 lat) · Japońska Matematyka I r. 2 · Niemiecka Klasa 10

f : A \to B,\quad x \mapsto f(x)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna

"Funkcja to relacja, w której każda wartość wejściowa daje dokładnie jedną wartość wyjściową." — OpenStax College Algebra 2e, §3.1

Każdy element dziedziny wskazuje dokładnie na jeden element przeciwdziedziny. Zauważ, że $x_3$ może się odwzorowywać na to samo $f(x_1)$ — funkcja może mapować różne wartości do tego samego celu.

Klasyfikacja

Rozwiązane przykłady

Pięć przykładów z rosnącą trudnością — od najbardziej bezpośredniego (ocena numeryczna i czytanie dziedziny) do modelowania rzeczywistego (złożenie w linii produkcyjnej). Każdy przykład cytuje źródło: oryginalny problem zawsze pochodzi z otwartej książki.

Example— 1· Ocena i bezpośrednia dziedzina (aplikacja)

Problem: Dla $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ , oblicz $f(-1)$ , $f(0)$ i $f(2)$ . Wyznacz maksymalną dziedzinę.

Strategia: Ocena funkcji w punkcie oznacza zastępowanie zmiennej podaną wartością i obliczanie. Maksymalna dziedzina wielomianu to cały $\mathbb{R}$ , ponieważ wielomiany są zdefiniowane dla każdej liczby rzeczywistej.

Rozwiązanie:

$f(-1)$ : Zastąp $x = -1$ : $f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3(1) + 2 + 1 = 6$ .
$f(0)$ : Zastąp $x = 0$ : $f(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$ .
$f(2)$ : Zastąp $x = 2$ : $f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 3(4) - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9$ .
Dziedzina: Ponieważ $f$ jest wielomianowa, nie ma ograniczeń. Dziedzina = $\mathbb{R}$ .

Weryfikacja: Wszystkie trzy wartości są skończone. Aby potwierdzić spójność, zauważ, że $f(0) = 1$ to wyraz niezależny — zawsze obowiązuje dla każdego wielomianu.

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §3.1 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 2· Maksymalna dziedzina z połączonymi ograniczeniami (pośredni)

Problem: Wyznacz maksymalną dziedzinę $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ .

Strategia: Istnieją dwa jednoczesne ograniczenia: radicand $x + 2$ musi być nieujemny (aby pierwiastek kwadratowy istniał w rzeczywistościach), a mianownik $x - 3$ nie może być zerem. Dziedzina to przecięcie tych dwóch warunków.

Rozwiązanie:

Ograniczenie pierwiastka: $x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ , czyli $x \in [-2, +\infty)$ .
Ograniczenie mianownika: $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ , czyli $x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .
Przecięcie: $[-2, +\infty) \cap (\mathbb{R} \setminus \{3\}) = [-2, 3) \cup (3, +\infty)$ .

Weryfikacja:

$x = -2$ : $\sqrt{0}/(-5) = 0$ . OK (włączony).
$x = 3$ : dzielenie przez zero. Wykluczone. OK.
$x = -3$ : $\sqrt{-1}$ nie istnieje w rzeczywistościach. Wykluczone. OK.
$x = 5$ : $\sqrt{7}/2$ . OK.

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §3.2 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 3· Złożenie funkcji (pośredni)

Problem: Niech $f(x) = x^2 + 1$ i $g(x) = 2x - 3$ . Oblicz $(f \circ g)(x)$ i $(g \circ f)(x)$ . Pokaż, że są różne w $x = 1$ .

Strategia: Złożenie $(f \circ g)(x)$ oznacza "zastosuj $g$ najpierw, potem $f$ ". To jest $f(g(x))$ . Zmiana kolejności daje funkcje generalnie różne — klasyczne ostrzeżenie.

Rozwiązanie:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : zastąp $g(x) = 2x - 3$ zamiast $x$ w $f$ : $f(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10$ .
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : zastąp $f(x) = x^2 + 1$ zamiast $x$ w $g$ : $g(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 3 = 2x^2 + 2 - 3 = 2x^2 - 1$ .
W $x = 1$ :
- $(f \circ g)(1) = 4 - 12 + 10 = 2$ .
- $(g \circ f)(1) = 2 - 1 = 1$ . Różne — złożenie nie komutuje.

Weryfikacja: Zrób to również dla $x = 0$ : $(f \circ g)(0) = 10$ i $(g \circ f)(0) = -1$ . Różne w każdym punkcie z możliwymi wyjątkami dla rozwiązań $4x^2 - 12x + 10 = 2x^2 - 1$ , czyli $2x^2 - 12x + 11 = 0$ .

Źródło. Stitz–Zeager — Precalculus §5.1 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Odwrotność i ograniczenie dziedziny (zaawansowany)

Problem: Niech $f(x) = x^2 - 4x + 5$ będzie określona na $\mathbb{R}$ . Pokaż, że $f$ nie jest injektywna na $\mathbb{R}$ . Ograncz dziedzinę do przedziału, gdzie $f$ jest injektywna i wyznacz $f^{-1}$ w tym ograniczeniu.

Strategia: Funkcja kwadratowa nie jest injektywna na $\mathbb{R}$ : punkty symetryczne względem osi paraboli mają tę samą wartość. Oś symetrii to $x = 2$ (wierzchołek). Ograniczenie do $[2, +\infty)$ czyni $f$ ściśle rosnącą, a zatem injektywną; wtedy oblicza się odwrotność.

Rozwiązanie:

Nieinjektywność. Przepisz, uzupełniając kwadrat: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ . Wtedy $f(0) = 4 + 1 = 5$ i $f(4) = 4 + 1 = 5$ . Ponieważ $0 \neq 4$ ale $f(0) = f(4)$ , $f$ nie jest injektywna.
Ograniczenie: rozważ $f: [2, +\infty) \to [1, +\infty)$ . W tym ograniczeniu $f$ jest rosnąca (część prawy paraboli), a zatem injektywna; zbiór wartości to $[1, +\infty)$ , a zatem też surjektywna — bijektywna.
Inwertuj. Niech $y = (x-2)^2 + 1 \Rightarrow (x-2)^2 = y - 1 \Rightarrow x - 2 = \pm\sqrt{y - 1}$ . Ponieważ $x \geq 2$ , wybieramy gałąź dodatnią: $x = 2 + \sqrt{y - 1}$ . Zatem $f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y - 1}$ , z $y \geq 1$ .

Weryfikacja: $f(f^{-1}(y)) = (2 + \sqrt{y-1} - 2)^2 + 1 = (y - 1) + 1 = y$ . ✓

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §3.7 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 5· Modelowanie rzeczywiste: rachunek elektryczności według pasm (modelowanie rzeczywiste)

Problem: Operator pobiera energię zużytą $k$ (w kWh) według pasm: do 100 kWh płacisz 0,60 R$ za kWh; między 100 a 200 kWh płacisz 0,90 za nadwyżkę; powyżej 200 kWh płacisz 1,30 za nadwyżkę. Modeluj całkowity rachunek $C(k)$ jako ciągłą funkcję po częściach.

Strategia: Każde pasmo dodaje nową "marginalną cenę", stosowaną tylko do zużycia w tym paśmie. Wynikająca funkcja jest afiniczna po częściach i ciągła w punktach granicznych (inaczej niż pobieranie w skokach).

Rozwiązanie:

Pasmo 1 (do 100 kWh): $C(k) = 0,60\, k$ .
Pasmo 2 (100 do 200 kWh): pierwsze 100 kWh kosztują $0,60 \times 100 = 60$ reali; nadwyżka $(k - 100)$ jest pobierana po 0,90 R$: $C(k) = 60 + 0,90\,(k - 100) = 0,90\,k - 30$ .
Pasmo 3 (powyżej 200 kWh): pierwsze 200 kWh kosztują $60 + 0,90 \times 100 = 150$ reali; nadwyżka $(k - 200)$ po 1,30 R$: $C(k) = 150 + 1,30\,(k - 200) = 1,30\,k - 110$ .
Funkcja po częściach: $C(k) = \begin{cases} 0,60\,k & \text{jeśli } 0 \leq k \leq 100 \\ 0,90\,k - 30 & \text{jeśli } 100 < k \leq 200 \\ 1,30\,k - 110 & \text{jeśli } k > 200 \end{cases}$

Weryfikacja ciągłości: w $k = 100$ : gałąź 1 daje 60, gałąź 2 daje $90 - 30 = 60$ . ✓ W $k = 200$ : gałąź 2 daje $180 - 30 = 150$ , gałąź 3 daje $260 - 110 = 150$ . ✓ Funkcja jest ciągła — poprawny model pobierania marginalnego.

Źródło. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs r. 2 — licencja wolne.

Exercise list

8 exercises · 2 with worked solution (25%)

Application 8

Ex. 2.1ApplicationAnswer key
Wyznacz maksymalną dziedzinę $f(x) = 3x + 1$ .
Solve online
Ex. 2.2Application
Wyznacz maksymalną dziedzinę $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ .
Solve online
Ex. 2.3Application
Wyznacz maksymalną dziedzinę $h(x) = \sqrt{x - 5}$ .
Solve online
Ex. 2.4Application
Wyznacz maksymalną dziedzinę $f(x) = \dfrac{1}{(x+2)(x-3)}$ .
Solve online
Ex. 2.5ApplicationAnswer key
Niech $f(x) = 2x^2 + 2$ . Oblicz $f(2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ .
Solve online
Ex. 2.6Application
Czy funkcja $f(x) = 3x - 1$ jest injektywna? Uzasadnij.
Solve online
Ex. 2.7Application
Czy funkcja $g(x) = x^2$ określona na $\mathbb{R}$ jest injektywna?
Solve online
Ex. 2.8Application
Jaki jest zbiór wartości $g(x) = x^2$ określony na $\mathbb{R}$ ?
Solve online

Źródła

Tylko książki które bezpośrednio zasilały tekst i ćwiczenia. Ogólny katalog w /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson i in. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §3.1–3.7. Główne źródło bloków A, B, D.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.4–1.6, §2.3, §5.1–5.2.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · wolne · r. 1–2, 4, 6. Źródło bloku E (modelowanie).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.1.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · wolne · §12 (funkcje i bijekcje). Źródło ćwiczenia 2.20.