v1 · padrão canônico

Lekcja 3 — Funkcje liniowe (stopień 1)

Funkcja liniowa f(x) = ax + b. Nachylenie jako stała szybkość zmian — pomost konceptualny do pochodnej.

Used in: 1. rok liceum

f(x) = ax + b

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja i własności

$a$ : współczynnik kierunkowy (slope, nachylenie)
$b$ : współczynnik liniowy (przecięcie z osią y)
Wykres: linia. $a > 0$ : rosnąca. $a < 0$ : malejąca. $a = 0$ : stała.

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a

(1)

what this means · Szybkość zmian między dwoma punktami na linii. Dla funkcji liniowej ta wartość jest STAŁA — nie zależy od tego, jaką parę punktów wybierzesz. To stałość charakteryzuje funkcję liniową wśród wszystkich innych.

"Nachylenie linii przechodzącej przez dwa punkty $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ to $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §2.2

Zero funkcji i przecięcie

$f(x) = 0 \iff x = -b/a$ (gdy $a \neq 0$ ). Para $(0, b)$ to przecięcie pionowe. Para $(-b/a, 0)$ to zero (lub przecięcie poziome).

Twierdzenie o jednoznaczności przez dwa punkty

Dowód (szkic). Istnienie: zdefiniuj $a$ podanym wzorem i $b = y_1 - a x_1$ . Z konstrukcji weryfikuje się $f(x_1) = y_1$ i $f(x_2) = a(x_2 - x_1) + y_1 = (y_2 - y_1) + y_1 = y_2$ . Jednoznaczność: jeśli $g(x) = a' x + b'$ również spełnia $g(x_i) = y_i$ , to $a' = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = a$ i $b' = y_1 - a' x_1 = b$ . ∎

Składanie i operacje

Niech $f(x) = a_1 x + b_1$ i $g(x) = a_2 x + b_2$ . Wtedy:

Suma: $(f + g)(x) = (a_1 + a_2) x + (b_1 + b_2)$ — liniowa, z powiększonymi nachyleniami.
Składanie: $(f \circ g)(x) = a_1 (a_2 x + b_2) + b_1 = a_1 a_2 x + (a_1 b_2 + b_1)$ — liniowa, z pomnożonymi nachyleniami.
Funkcja odwrotna (jeśli $a_1 \neq 0$ ): $f^{-1}(y) = (y - b_1)/a_1$ — również liniowa, z nachyleniem $1/a_1$ .

Zbiór odwracalnych funkcji liniowych ( $a \neq 0$ ) z operacją składania tworzy grupę — strukturę $(\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, \circ)$ . Ta obserwacja będzie używana w algebrze liniowej (Lekcja 31+) i w geometrii afinicznej.

Rodzina linii równoległych

Rodzina linii z tym samym nachyleniem a = 1 i różnymi przecięciami b. Przesunięcie pionowe: zmiana b tylko przesuwa linię w górę lub w dół, bez obracania.

Rodzina linii konkurencyjnych

Rodzina z tym samym przecięciem (0, 1) i różnymi nachyleniami — wszystkie się przecinają w tym punkcie. Obrót: zmiana a obraca linię wokół przecięcia.

Przykłady rozwiązane

Pięć przykładów z rosnącą trudnością — od bezpośredniej oceny danej linii do modelowania równowagi cenowej planów internetowych. Każdy przykład cytuje źródło: problem oryginalny zawsze pochodzi z otwartej książki.

Example— 1· Przykład 1 — Identyfikuj współczynniki i zero (zastosowanie)

Problem: Dla $f(x) = -\dfrac{2}{3} x + 4$ , określ: współczynnik kierunkowy $a$ , współczynnik liniowy $b$ , zero funkcji i wartość $f(6)$ .

Strategia: Bezpośrednie porównanie z formą kierunkową $y = ax + b$ . Zero to $x_0 = -b/a$ ; $f(6)$ to bezpośrednia ocena numeryczna.

Rozwiązanie:

Współczynniki. Porównując: $a = -2/3$ , $b = 4$ .
Zero. $f(x) = 0 \iff -\tfrac{2}{3}x + 4 = 0 \iff x = 6$ .
$f(6)$ . $f(6) = -\tfrac{2}{3}(6) + 4 = -4 + 4 = 0$ . Zgadza się z punktem 2 — $x = 6$ to zero.

Weryfikacja: Ponieważ $a < 0$ , funkcja maleje. W $x = 0$ , $f(0) = 4$ (przecięcie pionowe). W $x = 6$ , przecina oś $x$ . ✓

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 2· Przykład 2 — Linia przez dwa punkty (pośredni)

Problem: Określ równanie funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez $(2, -1)$ i $(5, 8)$ .

Strategia: Zastosuj wzór $a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ na nachylenie, następnie użyj jednego z punktów aby znaleźć $b$ .

Rozwiązanie:

Nachylenie. $a = \dfrac{8 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3$ .
Przecięcie. Używając punktu $(2, -1)$ : $-1 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = -7$ .
Równanie. $f(x) = 3x - 7$ .

Weryfikacja: $f(2) = 6 - 7 = -1$ ✓ i $f(5) = 15 - 7 = 8$ ✓.

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 3· Przykład 3 — Linie równoległe i prostopadłe (pośredni)

Problem: Określ równanie linii równoległej do $y = -2x + 7$ przechodzącej przez $(3, 1)$ , i równanie linii prostopadłej do tej samej linii przechodzącej przez ten sam punkt.

Strategia: Linie równoległe mają to samo nachylenie ( $a' = a$ ). Linie prostopadłe mają nachylenia, których iloczyn to $-1$ ( $a' = -1/a$ ). W obu przypadkach znajdź $b'$ przez dany punkt.

Rozwiązanie:

Linia równoległa. Nachylenie $a' = -2$ . Używając $(3, 1)$ : $1 = -2(3) + b' \Rightarrow b' = 7$ . Równanie: $y = -2x + 7$ . (Czekaj — zgadza się z pierwotną linią. To się dzieje, ponieważ $(3, 1)$ leży na pierwotnej linii.)
Weryfikacja. $-2(3) + 7 = 1$ . ✓ Rzeczywiście, $(3, 1)$ należy do pierwotnej linii; jedyna linia równoległa to ona sama.
Linia prostopadła. Nachylenie $a' = -1/(-2) = 1/2$ . Używając $(3, 1)$ : $1 = (1/2)(3) + b' \Rightarrow b' = -1/2$ . Równanie: $y = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}$ .

Weryfikacja: W $x = 3$ : $\tfrac{1}{2}(3) - \tfrac{1}{2} = 1$ . ✓ Iloczyn nachyleń: $(-2) \cdot (1/2) = -1$ . ✓

Źródło. Stitz–Zeager — Precalculus §2.1 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Przykład 4 — Składanie funkcji liniowych to funkcja liniowa (zaawansowany)

Problem: Niech $f(x) = 2x + 1$ i $g(x) = -3x + 5$ . Oblicz $f \circ g$ , $g \circ f$ i pokaż, że obie są liniowe. Określ współczynniki wynikowe w każdym przypadku.

Strategia: Zastąp jedną funkcję w drugiej i uprość do formy kierunkowej. Składanie dwóch funkcji liniowych jest zawsze liniowe — własność kluczowa pozwalająca konstruować grupy transformacji.

Rozwiązanie:

$f \circ g$ . $f(g(x)) = f(-3x + 5) = 2(-3x + 5) + 1 = -6x + 10 + 1 = -6x + 11$ . Współczynniki: $a = -6$ , $b = 11$ . Zauważ że wynikowe $a$ to iloczyn $2 \cdot (-3) = -6$ .
$g \circ f$ . $g(f(x)) = g(2x + 1) = -3(2x + 1) + 5 = -6x - 3 + 5 = -6x + 2$ . Współczynniki: $a = -6$ , $b = 2$ .
Obserwacja. Obie mają to samo nachylenie $-6$ (mnożenie poszczególnych $a$ 'ów — przemienne) ale różne przecięcia (nieprzemienny termin stały).

Weryfikacja: W $x = 0$ : $(f \circ g)(0) = f(5) = 11$ ✓; $(g \circ f)(0) = g(1) = 2$ ✓.

Źródło. OpenStax — College Algebra 2e §5.1 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 5· Przykład 5 — Modelowanie rzeczywiste: porównanie planów takówek (modelowanie rzeczywiste)

Problem: Dwie firmy taksówek konkurują w tym samym mieście. Firma X: opłata początkowa 20 zł + 10 zł/km. Firma Y: opłata początkowa 15 zł + 12 zł/km. Od którego dystansu Firma X jest tańsza?

Strategia: Modeluj każdy koszt jako funkcję liniową, zrównaj aby znaleźć punkt równowagi, i przeanalizuj porównanie dla większych i mniejszych dystansów.

Rozwiązanie:

Modele. $C_X(d) = 20 + 10\,d$ i $C_Y(d) = 15 + 12\,d$ .
Punkt równowagi. Zrównaj: $20 + 10\,d = 15 + 12\,d \Rightarrow 5 = 2\,d \Rightarrow d = 2,5$ km.
Porównanie. Dla $d < 2,5$ km, Firma Y jest tańsza (niższa opłata początkowa kompensuje). Dla $d > 2,5$ km, Firma X jest tańsza (niższa stawka za km kompensuje).

Weryfikacja: W $d = 5$ km: $C_X = 20 + 50 = 70$ zł; $C_Y = 15 + 60 = 75$ zł. ✓ X jest tańsza. W $d = 1$ km: $C_X = 30$ zł, $C_Y = 27$ zł. ✓ Y jest tańsza.

Źródło. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — licencja wolna.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 16Understanding 9Modeling 18Challenge 1Proof 1

Ex. 3.1ApplicationAnswer key
Dla $f(x) = 3x + 1$ , oblicz $f(2)$ .
Solve online
Ex. 3.2Application
Jaki jest współczynnik kierunkowy $f(x) = 2x - 5$ ?
Solve online
Ex. 3.3ApplicationAnswer key
Jaki jest współczynnik liniowy $f(x) = 2x - 5$ ?
Solve online
Ex. 3.4Application
Znajdź zero $f(x) = 2x - 5$ .
Solve online
Ex. 3.5Application
$f(x) = 4x + 3$ jest rosnąca, malejąca czy stała?
Solve online
Ex. 3.6Application
$g(x) = -2x + 7$ jest rosnąca, malejąca czy stała?
Solve online
Ex. 3.7ApplicationAnswer key
Określ równanie linii przechodzącej przez $(0, 1)$ i $(2, 5)$ .
Solve online
Ex. 3.8Application
Określ równanie linii przechodzącej przez $(1, 4)$ i $(3, -2)$ .
Solve online
Ex. 3.9Understanding
Pokaż, że szybkość zmian $(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$ dla $f(x) = ax + b$ jest stała i równa $a$ .
Solve online
Ex. 3.10Understanding
Znajdź linię prostopadłą do $y = 3x + 1$ przechodzącą przez $(0, 0)$ .
Solve online
Ex. 3.11Modeling
Rachunek za prąd ma opłatę stałą 50 zł + 2,80 zł/kWh. (a) Modeluj $C(k)$ . (b) Ile kosztuje zużycie 250 kWh? (c) Dla jakie zużycia rachunek osiąga 200 zł?
Solve online
Ex. 3.12Modeling
$F = 1{,}8C + 32$ . (a) 20°C w °F? (b) 100°F w °C? (c) Czy istnieje T z $C = F$ ?
Solve online
Ex. 3.13ModelingAnswer key
Miasto miało 1500 mieszkańców w 2020 i rosło liniowo do 2500 w 2025. (a) Modeluj $P(t)$ przyjmując $t = 0$ w 2020. (b) W którym roku populacja osiągnie 4000?
Solve online
Ex. 3.14Challenge
Samochód A wyrusza z pozycji 0 m z prędkością 30 m/s. Samochód B wyrusza jednocześnie z pozycji 200 m z prędkością 25 m/s, w tym samym kierunku. W jakim momencie i pozycji się spotykają?
Solve online
Ex. 3.15Proof
Udowodnij: złożenie dwóch funkcji liniowych jest również liniowe.
Solve online
Ex. 3.16Application
Określ równanie linii przechodzącej przez $(3, 5)$ i $(1, 1)$ .
Solve online
Ex. 3.17Application
Określ równanie linii przechodzącej przez $(-2, 4)$ i $(3, -6)$ .
Solve online
Ex. 3.18Application
Linia równoległa do $y = 3x + 1$ i przechodząca przez $(0, 5)$ .
Solve online
Ex. 3.19ApplicationAnswer key
Linia prostopadła do $y = 2x - 3$ i przechodząca przez $(2, 3)$ .
Solve online
Ex. 3.20ApplicationAnswer key
Określ $a$ takie, że $y = ax + 2$ i $y = 4x - 5$ są równoległe.
Solve online
Ex. 3.21Application
Określ $a$ takie, że $y = ax + 2$ i $y = 4x - 5$ są prostopadłe.
Solve online
Ex. 3.22Application
Określ punkt przecięcia $y = 2x - 3$ i $y = -x + 3$ .
Solve online
Ex. 3.23Application
Linia $r$ przechodzi przez $(0, 4)$ i jest prostopadła do linii $3x + y - 6 = 0$ . Określ jej równanie.
Solve online
Ex. 3.24Understanding
Pokaż, że trzy punkty $(0, 1)$ , $(2, 5)$ , $(5, 11)$ są wspóllinowe.
Solve online
Ex. 3.25Understanding
Dla jakiej wartości $k$ punkty $(1, 2)$ , $(3, k)$ i $(5, 12)$ są wspóllinowe?
Solve online
Ex. 3.26Understanding
Znajdź odległość od początku do linii $3x - 4y + 12 = 0$ .
Solve online
Ex. 3.27Understanding
Czy linia $y = 2x - 5$ jest styczna, sieczna czy zewnętrzna względem koła $x^2 + y^2 = 4$ ?
Solve online
Ex. 3.28Understanding
Naszkicuj $f(x) = |2x - 4|$ począwszy od $|x|$ .
Solve online
Ex. 3.29UnderstandingAnswer key
Pokaż, że $f(x) = ax + b$ jest injekcyjna jeśli i tylko jeśli $a \neq 0$ .
Solve online
Ex. 3.30Understanding
Oblicz kąt między liniami $y = x + 1$ i $y = 3x - 2$ .
Solve online
Ex. 3.31ModelingAnswer key
Taksówka pobiera 20 zł stałych i 10 zł/km. Modeluj taryfę $T(d)$ i oblicz dla 6 km.
Solve online
Ex. 3.32Modeling
Rachunek za wodę: 100 zł stały + 15 zł/m³. Dla jakie zużycia rachunek przekracza 400 zł?
Solve online
Ex. 3.33Modeling
Operator 1: 120 zł stały + 2 zł/min. Operator 2: 200 zł stały + 0,6 zł/min. Od ilu minut 2. jest tańszy?
Solve online
Ex. 3.34Modeling
Głębokość szybu liniowa: 40 m po 2h, 88 m po 5h. Modeluj $h(t)$ i oblicz po 10h.
Solve online
Ex. 3.35Modeling
Konwersja Celsjusz-Fahrenheit: $0\,°C = 32\,°F$ i $100\,°C = 212\,°F$ . Modeluj $F(C)$ , oblicz $F(37)$ i $C$ odpowiadające $98{,}6$ °F.
Solve online
Ex. 3.36Modeling
Koszt $C(q) = 200 + 8q$ i przychód $R(q) = 12q$ . (a) Dla którego $q$ zysk jest zero? (b) Zysk dla $q = 100$ ?
Solve online
Ex. 3.37ModelingAnswer key
Prawo Hooke'a: $\sigma = E \epsilon$ . Dla $E = 200$ GPa, jaka jest odkształcenie dla $\sigma = 100$ MPa?
Solve online
Ex. 3.38Modeling
Wysokość świecy: $h(t) = 25 - 0{,}8t$ cm. Kiedy świeca się kończy?
Solve online
Ex. 3.39Modeling
Stały przepływ: $V(t) = Q \cdot t$ . Dla $Q = 5$ L/min, modeluj i oblicz objętość w 1h.
Solve online
Ex. 3.40Modeling
Koszt paliwa: $C(d) = 0{,}45 d$ zł (z $d$ w km). Modeluj i oblicz koszt podróży 350 km.
Solve online
Ex. 3.41ModelingAnswer key
Wypożyczenie samochodu: 80 zł stały + 0,30 zł/km. Całkowity koszt dla 300 km i 1 dnia?
Solve online
Ex. 3.42Modeling
Ciśnienie atmosferyczne spada 0,12 kPa/m blisko gruntu. Na poziomie morza, 101,3 kPa. Modeluj $P(h)$ i znajdź $h$ dla $P = 50$ kPa.
Solve online
Ex. 3.43Modeling
Sprzedaż w funkcji ceny: $V(p) = 500 - 8p$ . Określ ważną domenę fizyczną.
Solve online
Ex. 3.44Modeling
Podczas spaceru ze stałym nachyleniem: 60 kcal po 1 km, 280 kcal po 5 km. Modeluj $G(d)$ .
Solve online
Ex. 3.45ModelingAnswer key
Plan A: 90 zł/miesiąc stały. Plan B: 30 zł/miesiąc + 4 zł/GB. Dla jakiego zużycia $g$ plany kosztują tyle samo?
Solve online

Źródła

Tylko książki, które bezpośrednio zasilały tekst i ćwiczenia. Katalog ogólny na /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.1–2.4, §5.1–5.3. Główne źródło bloków A, B, C.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · wolny · rozdz. 1. Główne źródło bloku E (modelowanie).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, wyd. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.2–1.3 (szybkość zmian jako motywacja do pochodnej). Źródło Poziomu 25.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1, §10.6.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · wolny · §12. Źródło ćwiczenia 3.15 (składanie funkcji liniowych).