Lekcja 4 — Funkcje kwadratowe

Rozwiąż $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Rozwiąż $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Sprawdź, czy $x^2 + x + 1 = 0$ ma pierwiastki rzeczywiste.

Znajdź wierzchołek $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Czy funkcja z poprzedniego punktu ma maksimum czy minimum? Jakie?

Wyznacz wartości $k$, dla których $x^2 + 2x + k = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Użyj wzorów Viète'a (suma i iloczyn pierwiastków), aby rozwiązać $x^2 - x - 2 = 0$.

Przepisz $f(x) = 2x^2 - 8x + 11$ w postaci kanonicznej $a(x - x_V)^2 + y_V$.

Pocisk został wystrzelony, a jego wysokość w funkcji czasu to $h(t) = -5t^2 + 20t$ (w metrach, $t$ w sekundach). (a) W jakiej chwili osiąga maksymalną wysokość? (b) Jaka jest maksymalna wysokość? (c) Kiedy wraca na ziemię?

Sklep ma koszt $C(q) = q^2 - 30q + 250$ na produkcję $q$ sztuk. Jaka liczba sztuk minimalizuje koszt?

Rolnik ma 200 m ogrodzenia i chce zrobić prostokątne pastwisko. Jakie wymiary maksymalizują pole?

Wyznacz $m$, dla którego funkcja $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$ ma wierzchołek na osi $y$.

Udowodnij: odcięta wierzchołka $f(x) = ax^2 + bx + c$ to średnia pierwiastków (gdy istnieją).

Udowodnij wzór z deltą, uzupełniając do kwadratu.

Wyznacz pierwiastki, wierzchołek i naszkicuj $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

Wyznacz pierwiastki, wierzchołek i naszkicuj $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$.

Wyznacz pierwiastki i wierzchołek $f(x) = 3x^2 - 12x + 9$.

Wyznacz pierwiastki i wierzchołek $f(x) = x^2 + 6x + 13$. (Brak pierwiastków rzeczywistych — sprawdź wyróżnikiem.)

Rozwiąż: $x^2 - x - 12 = 0$.

Rozwiąż: $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Rozwiąż: $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Rozwiąż: $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Rozwiąż: $x^2 \geq 9$.

Dla jakiej wartości $a$ wierzchołek paraboli $y = a(x - 3)^2 + 5$ to punkt $(3, 5)$? Co $a$ robi z kształtem wykresu?

Wyznacz $k$ takie, aby $f(x) = x^2 + kx + 9$ miało pierwiastek podwójny.

Przepisz $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ w postaci $a(x - h)^2 + k$ (postać kanoniczna/wierzchołkowa).

Znajdź funkcję kwadratową o pierwiastkach w $-2$ i $5$, przechodzącą przez $(0, -10)$.

Znajdź funkcję kwadratową o wierzchołku w $(1, -3)$, przechodzącą przez $(3, 5)$.

Naszkicuj $y = 2(x-1)^2 - 3$, wychodząc z wykresu $x^2$ przez ciąg przekształceń.

Wyrzuca się pocisk pionowo z prędkością początkową 30 m/s. Wysokość to $h(t) = 30t - 5t^2$ (m). (a) Maksymalna wysokość? (b) Czas do upadku? (c) Naszkicuj $h(t)$.

Płot ogradza prostokątną działkę przy ścianie (płot z 3 stron). Łączna długość płotu: 60 m. Zamodeluj pole $A$ jako funkcję jednego boku i zmaksymalizuj.

Przychód $R(p) = p \cdot (200 - 4p)$. (a) Dla jakiego $p$ przychód jest zerowy? (b) Dla jakiego $p$ jest maksymalny? (c) Jaki jest przychód maksymalny?

Fabryka ma koszt $C(q) = 2q^2 + 30q + 200$ i przychód $R(q) = 200q$. (a) Zysk $L(q)$? (b) $q$ maksymalizujące zysk? (c) Maksymalny zysk?

Tor piłki rzuconej przez gracza opisuje $h(d) = -0{,}1 d^2 + d + 1$ (m), gdzie $d$ to odległość pozioma. (a) Osiągnięta maksymalna wysokość? (b) Gdzie piłka dotyka ziemi?

Prostokątny basen ma szerokość o $5$ m mniejszą niż długość. Pole wynosi $84$ m². Jakie są wymiary?

W telekomunikacji moc odebrana $P$ zmienia się z odległością $d$ jako $P(d) = P_0 / d^2$ (prawo odwrotności kwadratu). Dla $P_0 = 100$: (a) $P(2)$? (b) Dla jakiego $d$ moc wynosi 25?

Rynna w kształcie U (uformowana z blachy o szerokości 30 cm) ma dno $x$ i boki $(30-x)/2$. Zamodeluj przekrój $A(x)$ i znajdź $x$ maksymalizujące przepływ.

W ruchu jednostajnie zmiennym: $s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$. Dla $s_0 = 0$, $v_0 = 20$ m/s, $a = -10$ m/s² (hamowanie), kiedy $s(t) = 0$? Maksymalna przebyta droga?

W modelowaniu nowotworów (uproszczony model) objętość rośnie jako $V(t) = at^2 + b$. Jeśli $V(0) = 1$ cm³ i $V(2) = 5$ cm³, wyznacz $a, b$.

Wyznacz dwie liczby, których suma wynosi 12, a iloczyn jest maksymalny.

Pole działki w kształcie trójkąta prostokątnego ze stałą przeciwprostokątną $c = 10$ m. Jedna przyprostokątna mierzy $x$. Zamodeluj pole $A(x)$ i zmaksymalizuj.

W optyce ogniskowa soczewki spełnia $1/f = 1/d_o + 1/d_i$. Dla $f = 10$ cm zamodeluj $d_i$ jako funkcję $d_o$. Dla jakiego $d_o$ obraz jest ostry przy odległości $d_i = 30$ cm?

W firmie podwyżka pensji ($\Delta s$) wpływa na produktywność ($p$): $p(\Delta s) = -0{,}1(\Delta s)^2 + 4 \Delta s + 50$. (a) Optymalna podwyżka? (b) Maksymalna produktywność?

Rolnik ma 200 m ogrodzenia na prostokątny kurnik podzielony na pół wewnętrznym ogrodzeniem równoległym do jednego z boków. Jakie wymiary maksymalizują pole? Jakie jest pole maksymalne?