Lekcja 5 — Złożenie i funkcja odwrotna

Niech $f(x) = x^2$ i $g(x) = 2x + 3$. Oblicz $(f \circ g)(x)$.

Te same $f, g$. Oblicz $(g \circ f)(x)$.

Znajdź $f^{-1}(x)$ dla $f(x) = 3x - 1$.

Znajdź $f^{-1}(x)$ dla $f: [0,+\infty) \to [2,+\infty)$, $f(x) = x^2 + 2$.

Dla $f(x) = x^2$, $g(x) = x+5$ oblicz $(f \circ g)(2)$.

Ta sama sytuacja. Oblicz $(g \circ f)(2)$.

Pokaż przez kontrprzykład, że $f \circ g \neq g \circ f$ w ogólności.

Czy istnieje funkcja taka, że $f \circ g = g \circ f$ dla każdego $g$? Uzasadnij.

Niech $f, g$ będą bijekcjami. Pokaż, że $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$. (Odwrócona kolejność — „zdejmij skarpetki przed butami".)

Jeśli $f \circ g$ jest iniekcją, czy $g$ musi być iniekcją? Uzasadnij.

Produkt kosztuje $p$ reali. Sklep A daje $20\%$ zniżki: $f(p) = 0{,}8p$. Sklep B odejmuje R$10: $g(p) = p - 10$. (a) Jeśli zastosować A potem B, jaki wzór? (b) Jeśli B potem A? (c) Dla $p = 100$, która strategia płaci mniej?

Niech $f, g$ będą takie, że $(f \circ g)(x) = x^2 + 4x$ i $g(x) = x + 2$. Wyznacz $f$.

Wyznacz $f(x)$ wiedząc, że $f(x+1) = 2x^2 + 3x - 1$.

Udowodnij, że jeśli $f$ jest bijekcją, to $(f^{-1})^{-1} = f$.

Pokaż, że złożenie dwóch iniekcji jest iniekcją.

Niech $f(x) = x + 5$ i $g(x) = x^2$. Oblicz $(f \circ g)(x)$ i $(g \circ f)(x)$.

Niech $f(x) = 3x - 2$ i $g(x) = \frac{1}{x}$. Oblicz $(f \circ g)(2)$ i $(g \circ f)(2)$.

Niech $f(x) = \sqrt{x}$ i $g(x) = x^2 - 4$. Wyznacz $(f \circ g)(x)$ i jej dziedzinę.

Niech $f(x) = \frac{1}{x-2}$ i $g(x) = x + 3$. Oblicz $(f \circ g)(x)$ i wskaż ograniczenia.

Rozłóż $h(x) = (3x + 2)^4$ jako złożenie $f \circ g$ funkcji „prostszych".

Rozłóż $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ jako złożenie.

Rozłóż $h(x) = \frac{1}{(x+5)^2}$ jako złożenie trzech funkcji.

Znajdź odwrotność $f(x) = 3x + 7$.

Znajdź odwrotność $f(x) = \frac{x - 1}{2}$.

Znajdź odwrotność $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$, $x \neq 1$.

Znajdź odwrotność $f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$.

Sprawdź, że $f(x) = 2x + 4$ i $g(x) = (x-4)/2$ są odwrotnościami (oblicz $f \circ g$ i $g \circ f$).

Funkcja $f(x) = x^2$ nie jest odwracalna na $\mathbb{R}$. Wyznacz dwa różne zbiory, na których $f$ staje się odwracalna i podaj obie odwrotności.

Pokaż graficznie: wykres odwrotności $f^{-1}$ jest odbiciem $f$ względem prostej $y = x$.

Dla $f$ ciągłej i iniektywnej na przedziale $I$ pokaż, że $f^{-1}$ też jest ciągła. (Argument intuicyjny przez wykres — formalizacja w Lekcji 41.)

Konwerter real-dolar: $D(R) = R/5$ (uproszczony kurs). Znajdź $D^{-1}$ — ile reali za dolara? Oblicz $D(500)$ i $D^{-1}(50)$.

W logistyce koszt wysyłki to $C(p) = 30 + 4p$, gdzie $p$ to waga w kg. Znajdź $C^{-1}(c)$ — jaka waga płaci R$ $c$ za przewóz? Ile waży paczka z przewozem R$ 90?

Konwersja z Celsjusza na Fahrenheita: $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Wyznacz $F^{-1}$ i oblicz temperaturę w °C odpowiadającą $F = 100$.

W farmakokinetyce dawka doustna $D$ daje stężenie we krwi $C(D) = 0{,}05 \cdot D$ (mg/L dla $D$ w mg). Znajdź $C^{-1}$ — jaka dawka daje stężenie $c$? Dla $c = 2$ mg/L jaka dawka?

Produkt kosztuje $p$ reali. Sklep A oferuje $f(p) = 0{,}9 p$ (10% zniżki). Sklep B oferuje $g(p) = p - 50$ (R$ 50 stała zniżka). Dla $p = 800$: (a) która strategia płaci mniej? (b) Dla jakiego $p$ obie strategie kosztują tyle samo?

W obwodach całkowita rezystancja dwóch równolegle to $R_T = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. Dla $R_1 = 100\,\Omega$ stałego wyraź $R_T$ jako funkcję $R_2$. Oblicz odwrotność: $R_2$ jako funkcję $R_T$.

Funkcja użyteczności ekonomicznej: $U(c) = \sqrt{c}$ (z $c$ = konsumpcja). Znajdź odwrotność: jaka konsumpcja jest potrzebna dla użyteczności $u$? Dla $u = 5$ jaka $c$?

Samochód zużywa paliwo z funkcją $C(d) = 0{,}08 d$ litrów (z $d$ w km). Znajdź $C^{-1}$ — ile km z $c$ litrami? Ile km z 40 L?

W ludzkim uchu wrażenie dźwiękowe podlega prawu przybliżonemu $S(I) = k \log(I/I_0)$ (logarytmiczne — zapowiedź Lekcji 7). Odwróć, by znaleźć $I$ jako funkcję $S$.

Skala oceny przemysłowej idzie od 0 do 100. Branża musi opublikować ocenę w skali 1-10. Modeluj konwersję $C(n)$ i jej odwrotność.

W kompresji obrazu JPEG współczynnik jakości $Q \in [0, 100]$ wiąże się z bitami na piksel. Model uproszczony: $b(Q) = 0{,}05 Q^2$ bpp. Odwróć dla $Q$ jako funkcji $b$.

Basen ma funkcję napełniania $V(t) = 80t$ litrów. Znajdź $V^{-1}(v)$ — ile czasu na napełnienie $v$ litrów. Ile czasu na 4000 L?

W modelowaniu populacji $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/T}$ podwaja się co $T$ lat. Odwróć dla $t(P)$ — w jakim czasie populacja osiągnie $P$? (Używa logarytmu z Lekcji 7.)

Technik mierzący poziom cukru w napoju gazowanym używa relacji gęstość-stężenie $\rho(c) = 1{,}0 + 0{,}004 c$ (g/cm³ dla $c$ w g/L). Odwróć: oszacuj $c$, jeśli $\rho = 1{,}080$.

Funkcja produkcji: każdy operator produkuje $p(n) = 50n - 0{,}5 n^2$ jednostek, $n \in [0, 100]$. (a) Lokalna odwrotność na $[0, 50]$. (b) Dla jakiego $n$ produkcja jest maksymalna?