Lekcja 6 — Funkcje wykładnicze

Oblicz $2^5$.

Oblicz $2^{-3}$.

Rozwiąż $2^x = 8$.

Rozwiąż $3^x = 1/9$.

Rozwiąż $2^{x+1} = 32$.

Rozwiąż $2^x > 2$.

Rozwiąż $4^x = 64$.

Rozwiąż $9^x = 27$.

Pokaż, że $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ używając definicji potęgi całkowitej.

Kolonia bakterii podwaja się co godzinę. Początkowo jest 50 bakterii. (a) Modeluj $N(t)$. (b) Ile będzie po 6 godzinach? (c) W jakim czasie populacja osiągnie 12 800?

Inwestujesz R$1 000 przy 6% rocznie z kapitalizacją roczną. (a) Modeluj $S(t)$ po $t$ latach. (b) Oblicz po 5 latach. (c) Gdyby kapitalizacja była miesięczna, jaki byłby stan po 5 latach?

Okres półtrwania węgla-14 wynosi 5 730 lat. Kość zawiera $1/8$ pierwotnego węgla-14. Ile ma lat?

Miasto ma 100 000 mieszkańców i rośnie o 3% rocznie. W ciągu ilu lat populacja się podwaja?

Rozwiąż $4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$. (Wskazówka: podstaw $u = 2^x$.)

Pokaż, że $a^x = b^x$ implikuje $a = b$ lub $x = 0$, dla $a, b > 0$.

Rozwiąż $2^{x+3} = 4$.

Rozwiąż $5^{2x-1} = 125$.

Rozwiąż $9^x = 27$.

Rozwiąż $3^{x^2 - 1} = 81$.

Rozwiąż $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = 8$.

Rozwiąż $4^x + 2^{x+1} - 8 = 0$. (Wskazówka: $u = 2^x$.)

Rozwiąż $9^x - 3^{x+1} - 18 = 0$.

Rozwiąż $3^x < 9$.

Rozwiąż $5^{x+1} \geq 25$.

Rozwiąż $\left(\frac{1}{4}\right)^x > 64$.

Naszkicuj $f(x) = 2^x$ i $g(x) = 2^{-x}$ na tej samej płaszczyźnie. Określ, gdzie się przecinają.

Porównaj graficznie $f(x) = 2^x$ i $g(x) = 3^x$ na przedziale $[-2, 2]$. Dla jakiego $x$ zachodzi $f = g$?

Pokaż, że $f(x) = a^x$ jest ściśle rosnąca jeśli $a > 1$ i ściśle malejąca jeśli $0 < a < 1$.

Oblicz $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ dla $n = 1, 10, 100, 1\,000, 10\,000$. Porównaj z $\e \approx 2{,}71828$.

Dla jakiej wartości $a$ funkcja $f(x) = a^x$ przechodzi przez punkt $(2, 9)$? A przez punkt $(3, 1/8)$?

Hodowla bakterii potraja się co 4 godziny. Jeśli początkowo jest 200 bakterii, modeluj $N(t)$ i oblicz $N(12)$.

Inwestujesz R$ 5 000 przy 0,8% miesięcznie z kapitalizacją miesięczną. (a) Modeluj $S(t)$ w miesiącach. (b) Stan po 24 miesiącach?

Kapitalizacja ciągła: $S(t) = S_0 \e^{rt}$. Inwestując R$ 1 000 przy $r = 10\%$ rocznie, porównaj stan po 5 latach z kapitalizacją roczną ($1{,}10^5$) i ciągłą ($\e^{0{,}5}$).

Okres półtrwania technetu-99m (medycyna nuklearna): 6 godzin. Dla początkowej dawki 200 mCi, ile pozostaje po 18 godzinach?

Populacja miasta rośnie o 2,5% rocznie. Jeśli obecna = 80 000, ile w ciągu 10 lat?

Rozpad wykładniczy: $A(t) = A_0 \cdot 0{,}5^{t/T}$. Dla $A_0 = 100$ i $T = 5$, ile $A(15)$? Ile $A(0)$?

Natężenie światła w wodzie zanika jak $I(x) = I_0 \e^{-0{,}3 x}$ ($x$ w metrach). (a) Na jakiej głębokości $I = 0{,}1 I_0$? (b) Dla $I_0 = 1\,000$ luksów, ile $I$ przy 5 m?

W wędkarstwie sportowym: temperatura $T(t)$ martwej ryby w lodówce podlega prawu Newtona: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a)\e^{-kt}$. Dla $T_a = 5\,°C$, $T_0 = 25\,°C$, $k = 0{,}1$/min: (a) $T(10)$; (b) Kiedy $T = 6\,°C$?

Lek jest eliminowany z organizmu z szybkością $k = 0{,}3$/h. Dla początkowej dawki 500 mg: (a) modeluj $C(t)$; (b) Kiedy stężenie jest połową początkowego?

W sieciach komputerowych prawdopodobieństwo, że pakiet dotrze w $t$ sekundach, można przybliżyć przez $P(t) = 1 - \e^{-\lambda t}$. Dla $\lambda = 0{,}5$/s: (a) $P(2)$; (b) Dla jakiego $t$ prawdopodobieństwo wynosi 0,9?

Kondensator rozładowuje się według $V(t) = V_0 \e^{-t/RC}$. Dla $V_0 = 12$V, $RC = 2$s: (a) $V(1)$; (b) Kiedy $V = 1$V?

W procencie składanym dziennym: $S = S_0 (1 + r/365)^{365 t}$ przybliża kapitalizację ciągłą. Dla $r = 12\%$ rocznie, $S_0 = 1\,000$, oblicz $S$ w ciągu 2 lat.

W badaniu populacyjnym miasto modeluje: $P(t) = 50\,000 \cdot 1{,}03^t$ z $t$ w latach. (a) W jakim czasie się podwaja? (b) Jaka jest stopa roczna w formacie procentowym $r$?

Promieniowanie jonizujące pochłaniane przez osłonę podlega $I(x) = I_0 \e^{-\mu x}$ ($\mu$ = współczynnik tłumienia). Dla $\mu = 0{,}2$/cm: (a) Przy jakiej grubości $I = I_0/10$? (b) Naszkicuj.

Rozpraszanie atmosferyczne (Rayleigh) — natężenie rozproszonego niebieskiego światła $\propto 1/\lambda^4$. Dla $\lambda_v = 700$ nm (czerwone) i $\lambda_a = 450$ nm (niebieskie), jaki jest stosunek rozpraszania?