Lekcja 7 — Funkcje logarytmiczne

Oblicz $\log_2 8$.

Oblicz $\log_3 81$.

Oblicz $\log_5 (1/5)$.

Oblicz $\log_{10} 1$.

Oblicz $\log_{10} 1000$.

Oblicz $\log_4 2$.

Rozwiąż $\log_2 x = 5$.

Rozwiąż $\log_{10} x = 2$.

Użyj własności do uproszczenia $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 16$.

Oblicz $\log_2 \sqrt{32}$ używając własności.

Rozwiąż $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.

Natężenie trzęsienia ziemi to $A = 10^M \cdot A_0$, gdzie $A_0$ to odniesienie a $M$ magnituda (Richter). Ile razy więcej energii uwalnia trzęsienie magnitudy 7 w porównaniu z magnitudą 4?

Okres półtrwania jodu-131 to 8 dni. Ile czasu, aż zostanie $1/16$ pierwotnego jodu? Użyj $\log_2 16 = 4$.

W roztworze $[H^+] = 4 \times 10^{-5}$ mol/L. Oblicz pH. (Wskazówka: $\log_{10} 4 \approx 0{,}6$.)

Udowodnij własność $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ używając definicji.

Oblicz $\log_5 25$.

Oblicz $\log_3 (1/9)$.

Oblicz $\log_{16} 64$.

Oblicz $\log_2 32 + \log_2 4$.

Oblicz $\log_3 27 - \log_3 9$.

Użyj własności do uproszczenia: $\log_2 (8 \cdot 16)$.

Użyj własności do uproszczenia: $\log_2 (32/8)$.

Użyj własności: $\log_5 (125^3)$.

Użyj zmiany podstawy: $\log_2 7 = ?$ (w terminach $\ln$).

Rozwiąż $\log_3 x = 4$.

Rozwiąż $\log_2 (x+1) = 5$.

Rozwiąż $\log_4 x + \log_4 (x-3) = 1$.

Rozwiąż $\log_3 (x^2 - 5x + 9) = 1$.

Rozwiąż $\ln(x+1) = 2$.

Rozwiąż $\log_5 x = \log_5 6 + \log_5 4$.

Magnituda Richtera trzęsienia ziemi to $M = \log_{10}(A/A_0)$. Ile razy silniejsze jest trzęsienie magnitudy 8 w porównaniu z magnitudą 5?

Natężenie dźwięku w decybelach: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ gdzie $I_0 = 10^{-12}$ W/m². (a) Oblicz $L$ dla normalnej rozmowy $I = 10^{-6}$ W/m². (b) Oblicz $L$ dla koncertu rockowego $I = 10^{-2}$ W/m². (c) Różnica $L$ jest duża, ale stosunek $I_{\text{show}}/I_{\text{conversa}}$ jest znacznie większy. Skomentuj.

pH roztworu: $\text{pH} = -\log_{10}[H^+]$. (a) Oblicz pH dla $[H^+] = 10^{-3}$ mol/L. (b) Ile razy bardziej kwaśny jest roztwór o pH 4 w porównaniu z pH 7?

Lek ma okres półtrwania 6 godzin. Ile okresów półtrwania, aż poziom spadnie poniżej 1% początkowego? Użyj $\log_{10}$ lub $\log_2$.

Populacja świata rośnie o 1,1% rocznie. W jakim czasie się podwaja? (Użyj $\ln 2 \approx 0{,}693$.)

Datowanie węglem-14 używa $t = \frac{\tau_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln(N_0/N)$. Dla $\tau_{1/2} = 5\,730$ lat i stosunku $N/N_0 = 0{,}25$, jaki jest wiek?

W finansach odwrócony wzór procentu składanego: $t = \log(S/S_0)/\log(1+i)$. Dla $S_0 = 1\,000$, $i = 8\%$ rocznie, ile czasu, aby osiągnąć $S = 5\,000$?

W statystyce entropia Shannona: $H = -\sum p_i \log_2 p_i$ (w bitach). Oblicz $H$ dla rozkładu jednostajnego na 4 elementach ($p = 1/4$ dla każdego).

W kompresji danych twierdzenie fundamentalne mówi, że każdy symbol potrzebuje średnio $\geq H$ bitów. Dla alfabetu $\{A, B, C\}$ z prawdopodobieństwami $\{0{,}5, 0{,}3, 0{,}2\}$, oblicz $H$.

Prawo Beera-Lamberta (chemia): $A = \log_{10}(I_0/I)$. Dla $A = 0{,}3$, jaka frakcja $I/I_0$ jest transmitowana?

W fotografii każdy „stop" reprezentuje $\log_2$ stosunku jasności. Ile stopów oddziela ISO 100 i ISO 1,600?

W radiu: stosunek mocy w dB: $\Delta = 10 \log_{10}(P_1/P_2)$. Jeśli $P_1$ jest 100 razy większe od $P_2$, ile wynosi $\Delta$?

Skala magnitudy gwiezdnej (astronomia) to $m_1 - m_2 = -2{,}5 \log_{10}(F_1/F_2)$. Syriusz ($m \approx -1{,}5$) jest ile razy jaśniejszy niż gwiazda magnitudy 6?

W informatyce złożoność wyszukiwania binarnego to $O(\log_2 n)$. Dla $n = 1\,000\,000$, ile porównań?

Wzrost populacji: $P(t) = P_0 \e^{rt}$. Odwróć dla $t$ jako funkcja $P, P_0, r$. Użyj wyniku, aby obliczyć, ile czasu potrzeba na podwojenie R$ 1,000 przy 10% rocznie.