Lekcja 8 — Wzrost wykładniczy, wielomianowy i logarytmiczny

Kolonia bakterii zaczyna 500 i podwaja się co godzinę. Ile będzie po 6 godzinach?

Bakterie podwajają się co 30 minut. Początkowo 100. Ile po 3 godzinach? Napisz model $N(t)$ z $t$ w godzinach.

Okres półtrwania izotopu radioaktywnego wynosi 5 lat. Jaka frakcja oryginalnej ilości pozostaje po 25 latach?

5000 zł inwestuje się na 8% rocznie z oprocentowaniem ciągłym. Saldo po 10 latach?

2000 zł inwestuje się na 8% rocznie z oprocentowaniem rocznym. Saldo po 10 latach? Użyj reguły 70 do weryfikacji.

Węgiel-14 ($\tau_{1/2} = 5.730$ lat). Kość zawiera 30% oryginalnego C-14. Jaki jest wiek kości?

Ilość podwaja się co 7 lat. Jakie jest tempo wzrostu ciągłego $k$?

Miasto rośnie 2% rocznie (składane rocznie). W ile lat populacja potraja?

Stała wzrostu ciągłego $r = 0{,}05$/rok. W ile lat populacja rośnie o 50%?

Lek z okresem półtrwania 6 godzin; dawka początkowa 200 mg. (a) Ile pozostaje po 12 h? (b) Po 24 h? (c) Kiedy spada poniżej 10 mg?

Dyskryminacja koncepcyjna. Która z poniższych stwierdzeń prawidłowo opisuje funkcję $f(x) = \ln x$?

Dyskryminacja koncepcyjna. Który model charakteryzuje się właściwością "względne tempo zmian $N'(t)/N(t)$ jest stałe"?

Trzy modalności dla 5000 zł na 8% rocznie w 10 lat: (a) procent prosty; (b) kapitalizacja roczna; (c) kapitalizacja ciągła. Oblicz i porównaj salda. Która modalność przynosi większe zyski?

Populacja światowa wynosiła 6 miliardów w 2000 i 8 miliardów w 2024. (a) Oszacuj roczne tempo ciągłe $r$. (b) Napisz model. (c) W którym roku osiąga 10 miliardów (przy zachowaniu tempa)?

Populacja światowa wynosiła 7,8 miliardów w 2020 i rośnie 1,1% rocznie. Oszacuj populację w 2050.

Izotop z okresem półtrwania 5 lat. Ile procent uległo rozpadu po 25 latach? Ile pozostaje?

Węgiel-14 ($\tau_{1/2} = 5.730$ lat). W tkance organicznej, ile czasu do rozpadu 90% oryginalnego C-14?

Amortyzacja malejącym saldem: $V(t) = 50.000 \cdot (0{,}85)^t$. (a) Wartość po 5 latach? (b) Całkowita amortyzacja w 10 latach?

Kultura bakteryjna rośnie z 1000 do 8000 w 6 godzin. Określ czas podwojenia.

Polska rosła z 190 milionów (2010) na 215 milionów (2024). Oszacuj roczne tempo wzrostu ciągłego.

Reguła 72: $T_\text{dupl} \approx 72/r\%$. Porównaj z dokładną formułą $T = \ln 2/\ln(1+r)$ dla $r = 5\%$, $10\%$, $20\%$. Czy reguła jest dobra?

Nowy produkt rośnie 8% na miesiąc. W ile miesięcy podwaja się?

Inflacja roczna 4% (złożona). W ile lat ceny podwajają się?

1000 zł na 6% rocznie: (a) kapitalizacja ciągła; (b) kapitalizacja roczna. Co przynosi więcej w 10 latach? Dlaczego?

Pokaż, że jeśli $N(t) = N_0 e^{kt}$, to $\ln N$ vs $t$ jest linią prostą z nachyleniem $k$. Dlaczego to jest przydatne do identyfikacji wzrostu wykładniczego w danych?

Prawo Moore'a: Intel 4004 (1971) — 2300 tranzystorów; Apple M2 Ultra (2023) — $\sim 2 \times 10^{10}$ tranzystorów. Ile podwojenia miało miejsce? W ile lat na jedno podwojenie?

Dyskryminacja koncepcyjna. Jaka jest fundamentalna różnica między wzrostem logistycznym $\dot N = rN(1-N/K)$ a wykładniczym $\dot N = rN$?

Pokaż, że okres półtrwania $\tau_{1/2} = \ln 2/|k|$ i czas podwojenia $T_\text{dupl} = \ln 2/k$ są analogiczne — ta sama formuła, przeciwny kierunek.

Dowód. Pokaż, że jeśli $N(t)$ spełnia $\dot N = kN$ z stałym $k$ i $N > 0$, to $N(t) = N(0)\,e^{kt}$. (Użyj rozdzielenia zmiennych; będzie to sformalizowane w Kwartale 10.)

Wzrost logistyczny: $N(t) = K/(1 + A e^{-rt})$ z $K = 1.000$, $A = 9$, $r = 0{,}1$/rok. Oblicz $N(20)$.

Kawa w $90\,°C$ chłodzi się w pokoju $20\,°C$. Po 5 min jest w $70\,°C$. Modeluj $T(t)$. Oblicz $T(15)$.

Prawo Newtona: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$. Pokaż, że "okres półtrwania różnicy" $D(t) = T - T_a$ to $\ln 2/k$. Oblicz dla kawy z ćwiczenia 8.31.

Model SIR w fazie początkowej ($I \ll N$): $I(t) \approx I_0 e^{(\beta N - \gamma)t}$. Dla $R_0 = \beta N/\gamma = 2{,}5$ i $\gamma = 1/5$ dzień, oblicz czas podwojenia zarażonych.

Wyzwanie. Pokaż, że $e^x / x^{100} \to \infty$ gdy $x \to \infty$. (Zastosuj L'Hôpital 100 razy lub oceń numerycznie dla $x = 1.000$.)

Porównanie finansowe. Bank A: 12% rocznie kapitalizacja roczna. Bank B: 11,5% rocznie kapitalizacja ciągła. Co przynosi więcej w 5 latach? Oblicz dla 10 000 zł.

Kondensator: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, $\tau = RC$. Dla $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu$F, $V_0 = 12$ V: (a) $\tau$? (b) $V(0{,}1\,\text{s})$? (c) Kiedy $V = 1$ V?

Obwód RL: $I(t) = (V/R)(1 - e^{-Rt/L})$. Dla $V = 12$ V, $R = 4\,\Omega$, $L = 2$ H: (a) stała czasu? (b) $I(0{,}5)$? (c) Kiedy $I = 90\%$ maksimum?

Reaktor jądrowy: pozostała moc $P(t) = P_0 e^{-\lambda t}$, $\lambda = 0{,}05$/h. Ile czasu do upadku mocy do 1%?

Próbka organiczna zawiera 80% oryginalnego węgla-14. Jaki jest wiek? ($\tau_{1/2} = 5.730$ lat.)

Tc-99m: okres półtrwania 6 godzin, dawka początkowa 25 mCi. Ile pozostaje po 24 godzinach?

Datowanie uranem-238 ($\tau_{1/2} = 4{,}5$ miliarda lat). Skała cyrkonowa z 80% oryginalnego U-238. Jaki jest przybliżony wiek?

Po szczycie epidemii, zarażeni maleją: $I(t) = I_0 e^{-\gamma t}$, $\gamma = 0{,}1$/dzień. Ile czasu do upadku o 90%?

Datowanie potas-argonowe: okres półtrwania K-40 = 1,25 miliarda lat. Skała ze stosunkiem Ar/K = 0,3. Jaki przybliżony wiek?

Wyzwanie. Dla modelu logistycznego $\dot N = rN(1-N/K)$ z $K = 1.000$, $r = 0{,}1$/rok: (a) Jaki punkt przegięcia $N^*$ gdzie wzrost jest maksymalny? (b) Jakie maksymalne tempo wzrostu \dot N_\max?

Dowód. Udowodnij, że $\ln x / x^p \to 0$ gdy $x \to \infty$, dla każdego $p > 0$. (Użyj L'Hôpital lub podstaw $u = x^p$.) Wnioskuj, że $\ln x$ rośnie wolniej niż każda potęga dodatnia.