Lekcja 9 — Tempo zmian średnie — brama wejścia do rachunku

Oblicz TZM z $f(x) = x^2$ na przedziale $[1, 3]$.

Oblicz TZM z $f(x) = x^2$ na przedziale $[1, 5]$.

Oblicz TZM z $f(x) = x^2$ na przedziale $[2, 4]$.

Oblicz TZM z $g(x) = 3x - 5$ na $[0, 10]$. Sprawdź, że równa się nachyleniu $a = 3$ linii.

Oblicz TZM z $g(x) = 2x + 7$ na $[10, 20]$.

Oblicz TZM z $f(x) = \sqrt{x}$ na przedziale $[4, 9]$.

Oblicz TZM z $f(x) = \dfrac{1}{x}$ na przedziale $[1, 4]$.

Wykaż, że TZM z $f(x) = c$ (stała) na każdym przedziale $[a, b]$ wynosi zero. Wyjaśnij geometrycznie.

Samochód podróżuje $s(t) = 4t^2$ metrów w $t$ sekundach. Oblicz prędkość średnią między $t = 1$ i $t = 3$.

Wysokość piłki rzuconej w górę to $h(t) = 20t - 5t^2$ (m, s). (a) Prędkość średnia między $t = 0$ i $t = 2$. (b) Między $t = 0$ i $t = 4$. (c) Zinterpretuj "średnią" zerową z punktu (b).

Oblicz TZM z $f(x) = \sin(x)$ na $[0, \pi/2]$ i na $[\pi/2, \pi]$. Porównaj i zinterpretuj.

Oblicz TZM z $f(x) = e^x$ na $[0, 1]$ i na $[1, 2]$. Dlaczego drugi jest większy?

Przed pochodną. Dla $f(x) = x^2$, znajdź TZM na przedziale $[a, a+h]$ w funkcji $a$ i $h$. Co się dzieje gdy $h \to 0$?

Dla $f(x) = x^3$, znajdź TZM na przedziale $[a, a+h]$. Co się dzieje gdy $h \to 0$?

Oblicz TZM z $f(x) = x^2$ na (a) $[1, 2]$; (b) $[1, 1{,}5]$; (c) $[1, 1{,}1]$; (d) $[1, 1{,}01]$. Do jakiej wartości TZM zbiegają? Ta zbieżność to pochodna $f'(1)$.

Oblicz TZM z $f(x) = x^3$ na $[2, 2{,}5]$, $[2, 2{,}1]$, $[2, 2{,}01]$. Oszacuj $f'(2)$.

Dla $f(x) = 1/x$, oblicz TZM na $[1, 1+h]$ i uproszcz algebraicznie. Co się dzieje gdy $h \to 0$?

Dla $f(x) = x^2 + 3x$, oblicz TZM na $[1, 1+h]$ w funkcji $h$. Do jakiej wartości TZM zmierza gdy $h \to 0$?

Konceptualna. Dla $f(x) = x^2$, która z poniższych wyrażeń poprawnie opisuje TZM na $[a, a+h]$ i jej granicę gdy $h \to 0$?

Na których przedziałach TZM z $f(x) = x^3$ jest dodatnia? Ujemna? (Wskazówka: $f$ jest ściśle rosnąca na $\mathbb{R}$.)

Konceptualna: symetria. Jaka jest TZM parzystej funkcji $f$ na przedziale $[-a, a]$?

Klasyczna pułapka. TZM funkcji nieparzystej na $[-a, a]$ wynosi zero? Uzasadnij — i porównaj z przypadkiem parzystym.

TZM z $f(x) = |x|$ na $[-1, 1]$ wynosi zero. TZM na $[0, 1]$ wynosi $1$. TZM na $[-1, 0]$ wynosi $-1$. Co to ujawnia o wykresie w punkcie $x = 0$?

Funkcja $f$ jest monotonicznie rosnąca na $[a, b]$ wtedy i tylko wtedy, gdy TZM na każdym podprzedziale $[c, d] \subset [a, b]$ jest dodatnia. Prawda czy fałsz? Uzasadnij.

Daj przykład funkcji z TZM $= 0$ na $[0, 2]$, która nie jest stała. (Istnieje wiele — jeden prosty.)

Wykaż: TZM z $f(x) = ax^2 + bx + c$ na $[p, q]$ wynosi $a(p + q) + b$. (Użyj wzoru bezpośredniego, bez pochodnej.)

Wykaż, że TZM każdej funkcji afinicznej na każdym przedziale równa się jej współczynnikowi kierunkowemu.

Wykaż: TZM z $f + g$ na $[a, b]$ jest sumą TZM z $f$ i $g$ na $[a, b]$.

Wykaż, że TZM z $kf$ na $[a, b]$ wynosi $k$ razy TZM z $f$. Zastosuj z $f(x) = x^2$, $k = 3$, $[1, 4]$.

Wyzwanie. Dla $f(x) = \sqrt{x}$, oblicz TZM na $[a, a+h]$ i uproszcz wymierniając licznik. Co otrzymasz gdy $h \to 0$?

Samochód podróżuje 120 km w 1,5 h. Jaka jest prędkość średnia?

Pozycja cząstki to $s(t) = 4t^2$ (m). Prędkość średnia między $t = 1$ i $t = 3$?

Biegacz przebiega $s(t) = 0{,}5t^2 + 2t$ (km). (a) Prędkość średnia między $t = 0$ i $t = 1$? (b) Między $t = 0$ i $t = 2$? (c) Dlaczego drugi jest większy?

Populacja miasta wynosiła 50.000 w 2010 i 75.000 w 2020. (a) Średnia TZM rocznie? (b) Prognoza na 2030 przy tej samej stopie?

PKB Polski rósł z 2,5 biliona zł w 2010 do 3,2 biliona zł w 2020 (wartości stałe). Oblicz roczną TZM liniową. Dlaczego jest to bardzo grube przybliżenie?

Przychód firmy rósł z 2 milionów do 3,5 miliona zł w 5 lat. Jaka jest TZM miesięczna?

W farmakokinetyce, stężenie we krwi: $C(t) = 100\, e^{-0{,}3t}$. TZM na $[0, 2]$? I na $[2, 4]$? Porównaj wielkości.

Wzrost bakterii: $N(t) = 1\,000 \cdot 2^t$ (godziny). TZM na $[0, 3]$? Na $[3, 6]$? Dlaczego drugi jest dokładnie 8× większy?

Skumulowana inflacja w 12 miesięcy wynosiła 4,8%. Jaka była średnia inflacja miesięczna? (Ostrożnie: inflacja komponuje.)

Firma ma koszt $C(q) = 0{,}5q^2 + 30q + 200$. Oblicz TZM na $[10, 11]$ (= przybliżony koszt krańcowy 11. jednostki).

W biegu na 100 m, atleta przebiega pierwsze 30 m w 4,5 s i ostatnie 70 m w 5,5 s. Prędkość średnia na (a) pierwszych 30 m; (b) ostatnich 70 m; (c) całym biegu. Gdzie biegł szybciej?

Wysokość kamienia to $h(t) = 100 - 5t^2$ (m). Prędkość średnia na $[0, 2]$? I na $[2,\, t_\text{uderzenia}]$, gdzie $t_\text{uderzenia}$ to gdy $h = 0$?

Dwa czujniki ruchu są 1 km od siebie. Samochód przechodzi przez pierwszy i drugi z przerwą 50 s. Oblicz $v_m$ w km/h.

Indeks rósł ze 100 do 144 w 4 lata. (a) Zwrot skumulowany (%)? (b) Zwrot złożony roczny?

Temperatura spadła z $28\,°C$ o 14:00 do $20\,°C$ o 22:00. Oblicz TZM (°C/h). Omów ważność modelu liniowego dla temperatury na 8 godzin.

Populacja $P(t) = 1\,000\, e^{0{,}03t}$ (mieszkańcy). TZM między $t = 0$ i $t = 10$? I między $t = 10$ i $t = 20$? Która jest większa i dlaczego?

Styl ENEM. Samochód przebiega 100 km w 54 minuty na autostradzie z limitem 110 km/h. Uzasadnij, dlaczego kierowca koniecznie przekroczył limit w jakimś momencie.

Dla $f(x) = \sqrt{x}$, oblicz TZM na $[4, 4{,}1]$, $[4, 4{,}01]$, $[4, 4{,}001]$. Do jakiej wartości TZM zbiegają? Zinterpretuj jako $f'(4)$.

Oblicz TZM z $f(x) = e^x$ na $[\ln 2,\, \ln 3]$. Wyraź wynik w postaci zamkniętej. Do jakiej wartości TZM zmierza gdy $b \to a$?

Integracja koncepcyjna. Dla $f(x) = e^x$, TZM na $[0, 1]$ wynosi $e - 1 \approx 1{,}718$. Pochodna $f$ na przedziale zmienia się z $f'(0) = 1$ na $f'(1) = e \approx 2{,}718$. Jak pogodzić TZM z tymi wartościami? (Wskazówka: Twierdzenie o Wartości Średniej.)