Lekcja 10 — Konsolidacja Kwartał 1: warsztat integracyjny

Znajdź maksymalną dziedzinę $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$. Wyraź w notacji przedziałowej.

Rozwiąż $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Określ równanie linii przechodzącej przez wierzchołek paraboli $y = x^2 - 4 x + 7$ ze nachyleniem $2$.

Niech $f(x) = 2^x$ i $g(x) = \log_2 x$. Oblicz $f(g(8))$ i $g(f(3))$. Co ujawniają wyniki o relacji między $f$ i $g$?

Oblicz tempo zmian $f(x) = 2 x + 3$ w przedziale $[1, 4]$.

Niech $f(x) = x^2 + 1$ i $g(x) = \sqrt{x}$. Określ $(f \circ g)(x)$ i dziedzinę tego złożenia.

Znajdź odwrotność $f(x) = 3^{x + 1}$.

Dla $f(x) = 3^x$, oblicz tempo zmian w $[0, 2]$ i porównaj z tempem zmian w $[2, 4]$. Jaki jest wniosek koncepcyjny?

Określ dziedzinę $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$. Wyraź w notacji przedziałowej.

Określ $a$ tak aby $f(x) = (a - 1) x^2 + 3 x - 2$ miał wierzchołek przy $x = 1$.

Czy funkcja $f(x) = (1/2)^{x - 1}$ rośnie czy maleje? Uzasadnij i określ zbiór wartości.

Rozwiąż $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5$.

Jaka jest maksymalna dziedzina $f(x) = \sqrt{x-3}/(x-5)$?

Określ odwrotność $f(x) = 2x - 5$ i sprawdź że $f(f^{-1}(x)) = x$.

Dla $f(x) = 3^x$, oblicz tempo zmian w przedziałach $[0, 2]$ i $[2, 4]$.

Niech $f(x) = 2x - 1$ i $g(x) = \sqrt{x}$. Oblicz $(g \circ f)(x)$ i określ jego dziedzinę.

Rozwiąż $2^{x+1} = 16$.

Dla $f(x) = x^2 - 5x + 6$: (a) znajdź pierwiastkami; (b) określ wierzchołek; (c) naszkicuj wykres wskazując wklęsłość i zbiór wartości.

Znajdź wszystkie $x > 0$ takie że $x^{\log_{10} x} = 100 x$.

Dane $A = [1, 4)$ i $B = [2, 5]$, określ $A \cup B$ i $A \cap B$.

Styl ENEM. Basen napełniany w dwóch etapach: w pierwszych 2 h, przepływ 500 L/h; potem, 800 L/h. Modeluj $V(t)$ jako funkcję wieloczęściową i określ całkowity czas napełnienia 6.000 L.

Miasto ma $P(t) = 50\,000 \cdot (1{,}025)^t$ (lata, od 2020). W jakim roku populacja osiąga 100.000?

Kondensator: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, z $\tau = 0{,}5$ s i $V_0 = 12$ V. (a) Napięcie przy $t = 1$ s. (b) Czas spadku do 1 V. (c) Okres półtrwania (czas spadku o połowę).

Dochód rodzinny $R$ (w PLN) rośnie liniowo z edukacją $e$ (lata nauki): $R = 800 + 200 e$. (a) O ile dochód rośnie rocznie edukacji? (b) Dla którego $e$ dochód osiąga 5.000 PLN?

Przedsiębiorstwo ma koszt $C(q) = 50 + 20 q + 0{,}5 q^2$ i przychód $R(q) = 60 q$. (a) Kiedy zysk wynosi zero? (b) Jaka ilość maksymalizuje zysk?

Kultura $A$ rośnie ze stopą $r_A = 0{,}05$/h; kultura $B$ z $r_B = 0{,}10$/h. Przy $t = 0$: $A = 1.000$ komórek, $B = 200$. Kiedy $A$ i $B$ mają tę samą wielkość?

Poziom dźwięku: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ dB. Dane $I = 10^{-6}$ W/m² i $I_0 = 10^{-12}$ W/m², oblicz $L$. Jaka jest fizyczna interpretacja skali logarytmicznej tutaj?

Samochód pokonuje 60 km w 1 h i potem 90 km w 1,5 h. Oblicz całkowitą średnią prędkość.

Lek ma okres półtrwania 3 h. Bierzesz 100 mg teraz i kolejną dawkę 100 mg za 6 h. Modeluj całkowitą stężenie $C(t)$ dla $t \geq 0$. Oblicz $C(6)$ i $C(12)$.

$P(t) = 200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t})$ (model logistyczny). (a) Pojemność nośnika ($t \to \infty$). (b) W jakim czasie $t$ populacja osiąga 100 (połowę pojemności)?

Pracownik A: stała płaca 3.000 PLN/miesiąc. Pracownik B: płaca $0{,}1 \cdot V$ (V = sprzedaż miesięczna). Dla którego wolumenu $V$ płaca B przekracza A?

Średni koszt: $C(q) = (1\,000 + 5 q)/q$. Przepisz jako suma i określ zachowanie gdy $q \to \infty$.

Inwestycja 1.000 PLN zarabia odsetki ciągłe na 5% rocznie: $M(t) = 1000 e^{0{,}05 t}$. Oblicz tempo zmian w pierwszym roku $[0, 1]$ i w dziesiątym roku $[10, 11]$. Dlaczego tempo zmian jest większe w dziesiątym roku?

W jakim czasie kapitał podwaja się przy 5% rocznie odsetek składanych? Użyj logarytmu. Potwierdź "regułą 72" ($n \approx 72/r$).

Węgiel-14 ma okres półtrwania 5.730 lat. Próbka zachowuje 75% oryginalnego węgla. Jaki jest szacunkowy wiek próbki?

Dla $f(x) = x^2$, oblicz tempo zmian w przedziale $[1, 4]$. Zinterpretuj geometrycznie jako nachylenie linii siecznej.

Chemia: $p_H = -\log_{10}[\text{H}^+]$. Roztwór soku pomarańczowego ma $[\text{H}^+] = 2 \times 10^{-4}$ mol/L. Oblicz pH.

Pokaż że tempo zmian $f(x) = x^2$ w przedziale $[a, b]$ to $a + b$. Użyj tego wyniku aby obliczyć tempo zmian w przedziałach $[1, 3]$ i $[0, 4]$.

Styl EJU. Dla $f(x) = x^2 - 6 x + 8$: (a) pierwiastkami; (b) wierzchołek; (c) największy przedział gdzie $f$ jest injektywna; (d) odwrotność w tym przedziale.

Rozwiąż system $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 16 \end{cases}$ z $x, y > 0$.

Rozwiąż system nierówności $\begin{cases} 1 \leq x < 4 \\ (x - 3)^2 \leq 1 \end{cases}$. Wyraź rozwiązanie w notacji przedziałowej.

Dla $f(x) = (2 x - 1)/(x + 3)$: (a) określ dziedzinę i zbiór wartości; (b) sprawdź czy jest injektywna; (c) znajdź odwrotność $f^{-1}$.

Określ $a$ takie że $f(x) = e^{2 x} + a e^x + 1$ ma minimum równe zeru w $\mathbb{R}$.

Suneung-styl. Dla $f(x) = a x + b$ takie że $f(f(x)) = 4 x + 9$, znajdź wszystkie pary $(a, b)$.

Most do rachunku. Oblicz tempo zmian $f(x) = x^2$ w przedziale $[x_0, x_0 + h]$ jako funkcja $x_0$ i $h$. Co się dzieje gdy $h \to 0$? Co to wyrażenie reprezentuje?

Znajdź wszystkie $x > 0$ takie że $x^{\log_{10} x} = 100 x$. (Zastosuj log obu stron i podstaw $u = \log x$.)

Abitur-styl. Uprość $\log_2 x \cdot \log_x 8$ dla $x > 0, x \neq 1$. (Użyj reguły zmiana bazy.)

Określ dziedzinę i zbiór wartości $f(x) = \ln(\ln x)$.

Wyzwanie integracyjne. (a) Pokaż że $f(x) = e^x$ może być rozłożona jako suma części parzystej i nieparzystej. (b) Zidentyfikuj te części kanonicznymi nazwami matematycznymi.

Udowodnij że każda funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ może być napisana jako suma funkcji parzystej i nieparzystej.

Udowodnij że jeśli $a, b > 0$ i $a + b = c$ (stała), wtedy $a^2 + b^2$ jest minimum gdy $a = b = c/2$.

Udowodnij że $\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y$ dla $x, y > 0$ i $b > 0, b \neq 1$.

Udowodnij że złożenie dwóch funkcji injektywnych jest injektywne.

Udowodnij że $f(x) = a^x$ jest ściśle rosnąca gdy $a > 1$, używając definicji funkcji rosnącej.

Udowodnij że średnie tempo zmian $f(x) = ax + b$ zawsze równa $a$, niezależnie od wybranego przedziału. Skontrastuj z zachowaniem funkcji kwadratowej.