Lekcja 11 — Stosunki trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym kąt ostry $\theta$ ma przyprostokątną naprzeciwko 3 i przylegającą 4. Oblicz $\sin\theta$, $\cos\theta$ i $\tan\theta$. Sprawdź za pomocą tożsamości pitagorejskiej.

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $5$ i $12$. Oblicz przeciwprostokątną i $\sin$, $\cos$, $\tan$ kąta naprzeciwko przyprostokątnej 5.

Przeciwprostokątna $= 13$ i przyprostokątna naprzeciwko $\theta$ wynosi $5$. Oblicz $\sin\theta$ i $\cos\theta$.

Wyprowadź dokładne wartości $\sin 30°$, $\cos 30°$ i $\tan 30°$ z trójkąta 30-60-90. Nie używaj tabeli — zbuduj trójkąt.

Z tego samego trójkąta 30-60-90 z poprzedniego ćwiczenia wyprowadź $\sin 60°$, $\cos 60°$ i $\tan 60°$.

Wyprowadź $\sin 45°$, $\cos 45°$ i $\tan 45°$ z trójkąta 45-45-90. Zbuduj trójkąt i uzasadnij każdy krok.

Jeśli $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ i $\theta$ jest ostry, jaka jest wartość $\theta$?

Jeśli $\cos\theta = 1/2$ i $\theta$ jest ostry, jaka jest wartość $\theta$?

Jeśli $\tan\theta = 1$ i $\theta$ jest ostry, jaka jest wartość $\theta$?

W trójkącie $30°$-$60°$-$90°$ z przeciwprostokątną $10$ oblicz dwie przyprostokątne. Sprawdź za pomocą Pitagorasa.

Jeśli $\sin\theta = 3/5$ i $\theta$ jest ostry, oblicz $\cos\theta$.

Jeśli $\cos\theta = 5/13$ i $\theta$ jest ostry, oblicz $\sin\theta$ i $\tan\theta$.

Jeśli $\tan\theta = 2/3$ i $\theta$ jest ostry, oblicz $\sin\theta$ i $\cos\theta$.

Numerycznie zweryfikuj tożsamość $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ używając wartości godnych uwagi. Następnie zweryfikuj dla $45°$ i dla $60°$.

Pokaż, że $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ z definicji w trójkącie prostokątnym.

Pokaż, że $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ bezpośrednio z trójkąta prostokątnego.

Porównaj $\sin 60°$ i $\cos 60°$. Który jest większy? Dlaczego?

Pokaż, że $0 < \sin\theta < 1$ dla każdego $\theta$ ostrego.

Argumentuj geometrycznie, dlaczego $\sin\theta$ ściśle rośnie w $(0°, 90°)$.

Uzasadnij geometrycznie, dlaczego $\tan\theta \to +\infty$ gdy $\theta \to 90°^-$.

W trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątną $20$ cm i kątem ostrym $35°$ oblicz dwie przyprostokątne. (Użyj $\sin 35° \approx 0{,}574$ i $\cos 35° \approx 0{,}819$.) Zweryfikuj za pomocą Pitagorasa.

Przyprostokątna naprzeciwko $= 6$ i kąt $\theta = 40°$. Oblicz przeciwprostokątną. (Użyj $\sin 40° \approx 0{,}643$.)

Przyległa przyprostokątna $= 10$ i kąt $\theta = 25°$. Oblicz przylegającą przyprostokątną. (Użyj $\tan 25° \approx 0{,}466$.)

Przeciwprostokątna $= 25$, przyległa przyprostokątna $= 7$. Oblicz kąt $\theta$.

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $8$ i $15$. Oblicz przeciwprostokątną i dwa kąty ostre.

W trójkącie równobocznym o boku $\ell$ oblicz wysokość za pomocą trygonometrii i porównaj z wynikiem za pomocą Pitagorasa.

W kwadracie o boku $\ell$ oblicz przekątną za pomocą trygonometrii. Porównaj z Pitagorasa.

Pokaż, że tożsamość $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ jest równoważna twierdzeniu Pitagorasa. (Wyraź przyprostokątne jako funkcję przeciwprostokątnej i kąta i podstaw do $a^2 + b^2 = c^2$.)

W trójkącie prostokątnym z przylegającą przyprostokątną $b$ i przeciwprostokątną $c$ wyraź $\tan\theta$ w funkcji $b$ i $c$.

Oblicz (bez kalkulatora) $\sin 15°$. (Wskazówka: $15° = 45° - 30°$. Użyj formuły różnicy kątów — poszukaj jeśli potrzebne.)

Drabina o długości $5$ m jest przyłożona do ściany, tworząc kąt $70°$ z ziemią. Na jaką wysokość sięga wzdłuż ściany?

Stoisz $50$ m od podstawy wieży. Kąt elewacji do szczytu to $40°$. Oblicz wysokość wieży. (Użyj $\tan 40° \approx 0{,}839$.)

Samolot startuje i osiąga $1\,500$ m wysokości po przebyciu $5$ km odległości poziomej. Jaki jest średni kąt wznoszenia?

Statek obserwuje latarnię morską o wysokości $200$ m pod kątem elewacji $3°$. W jakiej odległości statek jest od podstawy latarni? (Użyj $\tan 3° \approx 0{,}0524$.)

Rampa dostępności ma maksymalne nachylenie $5°$. Aby pokonać różnicę wysokości $80$ cm, jaka jest minimalna długość rampy? (Użyj $\sin 5° \approx 0{,}0872$.) Oblicz też nachylenie w procentach.

Podczas całkowitego zaćmienia Słońca Księżyc ma średnicę kątową $0{,}5°$ widzianą z Ziemi. Biorąc pod uwagę rzeczywistą średnicę Księżyca $3\,474$ km, oszacuj odległość Ziemia-Księżyc. (Użyj $\tan(0{,}25°) \approx 0{,}004363$.)

Siła $200$ N jest stosowana do ciała w kierunku tworzącym $30°$ z poziomem. Oblicz komponent poziomy i pionowy. Sprawdź, czy norma wynikowego wektora wynosi $200$ N.

Blok o masie $50$ kg spoczywa na ramie $20°$. ($g = 10$ m/s².) Oblicz komponent wagi równoległy do rampy i komponent prostopadły (normalny).

Wieża Eiffla ma wysokość $324$ m. Pod jakim kątem elewacji widzisz szczyt stojąc $500$ m od podstawy?

Dron leci na wysokości $100$ m i detektuje osobę na ziemi pod kątem depresji $30°$. Jaka jest odległość pozioma między dronem a osobą?

Geodeta w $A$ widzi szczyt wzgórza pod kątem $25°$ elewacji. Postępuje $100$ m w kierunku wzgórza do $B$ i kąt zmienia się na $40°$. Oblicz wysokość $h$. (Użyj $\tan 25° \approx 0{,}466$ i $\tan 40° \approx 0{,}839$.)

Stalowy kabel wspiera antenę o wysokości $30$ m, przymocowaną do ziemi $12$ m od podstawy anteny. Oblicz długość kabla i kąt, jaki tworzy z ziemią.

W wahadle długości $1$ m nić tworzy kąt $15°$ z pionem na końcu oscylacji. Oblicz wysokość końca powyżej punktu równowagi.

Droga na łuku w kształcie V ma wzniesienie $8\%$ następnie spadek $5\%$. Oblicz kąty wznoszenia i spadania w stopniach.

Słup o wysokości $12$ m rzuca cień na ziemię. Oblicz długość cienia dla kąta elewacji słonecznej $35°$ i również dla $65°$. (Użyj $\tan 35° \approx 0{,}700$ i $\tan 65° \approx 2{,}145$.) Porównaj dwa wyniki i wyjaśnij różnicę.

W trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątną $c$ wyraź pole jako funkcję $c$ i kąta ostrego $\theta$. Dla jakiej wartości $\theta$ pole jest maksymalne?

Udowodnij, że $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ używając formuły sumy $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ z $\alpha = \beta = \theta$.

Rozwiąż: $\sin\theta + \cos\theta = 1$ dla $\theta \in [0°, 90°]$.

Udowodnij $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ z twierdzenia Pitagorasa i definicji stosunków trygonometrycznych.

Pokaż, że $\cos\theta = \sin(90° - \theta)$ dla każdego $\theta \in (0°, 90°)$.