Lekcja 12 — Koło trygonometryczne i radiany

Konwertuj $60°$ na radiany.

Konwertuj $225°$ na radiany.

Konwertuj $120°$ na radiany.

Konwertuj $\pi/3$ rad na stopnie.

Konwertuj $7\pi/4$ rad na stopnie.

Konwertuj $1$ rad na stopnie (wynik przybliżony).

Znajdź kąt współterminalny w $[0, 2\pi)$ dla (a) $11\pi/4$ i (b) $-\pi/6$.

Konwertuj $-150°$ na radiany.

Konwertuj $\pi/12$ rad na stopnie.

Konwertuj $400°$ na radiany. Jaki jest kąt współterminalny w $[0, 2\pi)$?

Oblicz $\sin(\pi/6)$ i $\cos(\pi/6)$.

Oblicz $\sin(2\pi/3)$ i $\cos(2\pi/3)$.

Oblicz $\sin(\pi)$ i $\cos(\pi)$.

Oblicz $\sin(3\pi/2)$ i $\cos(3\pi/2)$.

Oblicz $\sin(7\pi/6)$ i $\cos(7\pi/6)$.

Oblicz $\sin(11\pi/6)$.

Oblicz $\cos(5\pi/4)$.

Oblicz $\sin(5\pi/3)$.

Oblicz $\tan(\pi/3)$.

Oblicz $\cos(-\pi/4)$ używając parzystości i poprzez redukcję do ćwiartki. Potwierdź, że obie metody się zgadzają.

Oblicz $\tan(7\pi/6)$.

Oblicz $\cos(29\pi/6)$. (Zredukuj przez okresowość zanim zidentyfikujesz ćwiartką.)

Oblicz $\sin(-13\pi/4)$.

Numerycznie weryfikuj, że $\cos^2(\pi/3) + \sin^2(\pi/3) = 1$.

Użyj tożsamości parzystości aby obliczyć $\sin(-\pi/4)$ bez używania ćwiartki. Zinterpretuj geometrycznie.

Udowodnij, że $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ używając wzoru sumy. Podaj interpretację geometryczną.

Udowodnij, że $\cos(\pi/2 - \theta) = \sin\theta$ używając wzoru różnicy kosinusa. Wyjaśnij, dlaczego to uzasadnia nazwę "kosinus".

Wyprowadź tożsamość $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ ze wzoru sumy.

W której ćwiartce znajduje się kąt $\theta$ taki, że $\sin\theta > 0$ i $\cos\theta < 0$?

Określ wszystkie $\theta \in [0, 2\pi)$ takie, że $\sin\theta = \cos\theta$. (Wskazówka: kiedy tangens = 1?)

Udowodnij, że $(1 + \tan^2\theta)\cos^2\theta = 1$ dla każdego $\theta$ z $\cos\theta \neq 0$.

Użyj tożsamości $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ aby obliczyć $\sin(5\pi/6)$ bez używania ćwiartki.

Krążek winylowy obraca się z prędkością 33 rpm. Oblicz prędkość kątową w rad/s.

Wahadło opisuje łuk 30°. Długość łuku jeśli nitka ma $1{,}5$ m?

Brazylijska sieć elektryczna ma częstotliwość $f = 60$ Hz. Jaka jest prędkość kątowa $\omega = 2\pi f$ w rad/s?

Silnik przemysłowy obraca się z prędkością $1\,800$ rpm. Prędkość kątowa w rad/s?

Koło roweru o promieniu $35$ cm. Prędkość liniowa $20$ km/h. Jaka jest prędkość kątowa w rad/s?

Faza oscylatora to $\theta(t) = \omega t + \varphi$, z $\omega = 2\pi$ rad/s i $\varphi = \pi/4$. Oblicz $\theta(0)$ i $\theta(1)$. Jaki jest kąt współterminalny dla $\theta(1)$ w $[0, 2\pi)$?

Weryfikuj, że trzy wektory jednostkowe równomiernie rozłożone co $120°$ sumują się do zera: $\sum_{k=0}^{2}\cos(2\pi k/3) = 0$ i $\sum_{k=0}^{2}\sin(2\pi k/3) = 0$.

Wyzwanie. Udowodnij, że suma $N$-tych pierwiastków jedności wynosi zero: $\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik/N} = 0$ dla $N \geq 2$. Użyj sumy progresji geometrycznej. Zinterpretuj geometrycznie jako wierzchołki wielokąta regularnego.