Lição 13 — Funções trigonométricas

Naszkicuj $y = 2\sin x$ na $[0, 2\pi]$. Zidentyfikuj amplitudę i okres.

Dla $y = \sin(2x)$, jaki jest okres?

Dla $y = \cos(x/2)$, jaki jest okres?

Naszkicuj $y = \sin(x - \pi/4)$ na $[0, 2\pi]$. Wskaż amplitudę, okres i przesunięcie fazy.

Zidentyfikuj zakres $y = 3\sin x + 1$.

Zidentyfikuj amplitudę, okres, fazę i zakres w $y = 4\sin(3x - \pi)$.

Zidentyfikuj zakres $y = 2\cos x - 1$.

Dla $y = \sin(\pi t)$, jaki jest okres w sekundach?

Dla $y = \cos(2\pi t/T)$, pokaż że okres to $T$.

Naszkicuj $y = \tan x$ na $(-\pi/2,\, \pi/2)$ i opisz asymptoty pionowe.

Rozwiąż $\sin x = 1/2$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\cos x = 0$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\tan x = 1$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\sin x = -\sqrt{2}/2$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\cos(2x) = 1/2$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\sin x = \cos x$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $2\sin x - 1 = 0$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\sin^2 x = 1/4$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\sin(x + \pi/3) = 1/2$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $\tan(2x) = \sqrt{3}$ na $[0, 2\pi)$.

Rozwiąż $2\cos x - \sqrt{3} = 0$ na $[0, 2\pi)$.

Czy funkcja $f(x) = \sin x + 3$ ma okres $2\pi$?

Pływy w Salvadorze oscylują między $0{,}5$ m i $2{,}5$ m z okresem $12$ h. W $t = 0$ pływy są na poziomie średnim i rosnące. Modeluj $h(t)$.

Sieć elektryczna brazylijska: $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ V. Oblicz napięcie skuteczne.

Diabelski młyn: promień 10 m, oś na 12 m od gruntu, 1 pełny obrót co 4 min. Zaczyna od najniższego punktu w $t = 0$. Modeluj wysokość $h(t)$.

Czysty ton referencyjny: $p(t) = A\sin(880\pi t)$. Jaka jest częstość w Hz?

Średnia temperatura miesięczna w Brasílii oscyluje między $18°$C (lipiec, $m = 7$) i $23°$C (styczeń, $m = 1$). Modeluj $T(m)$ z $m$ w miesiącach.

Wahadło o $L = 1$ m, $g = 9{,}81$ m/s². Używając $\omega = \sqrt{g/L}$, oblicz okres.

System masa-sprężyna: $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m. Oblicz częstość kątową $\omega = \sqrt{k/m}$.

W RHS, $x(t) = 5\sin(2\pi t)$ cm. Jaka jest maksymalna prędkość?

Pływy M2 (półdobowe księżycowe): okres $T = 12$ h $25$ min. Częstość w Hz?

Gwiazda cefeida: jasność zmienia się z $T = 5{,}4$ dni, amplituda $0{,}8$ mag wokół $4{,}5$ mag. Modeluj wielkość $m(t)$.

Sygnał GPS L1: nośna $1\,575{,}42$ MHz. Oblicz okres w sekundach.

Długość wahadła jest czterokrotnie zwiększona. Co się dzieje z okresem?

Sprawdź: $\sin x + \sin(x + \pi) = 0$ dla każdego $x$.

Pokaż że $\sin x + \sin(x + 2\pi/3) + \sin(x + 4\pi/3) = 0$. (Fundamentalny wynik w silnikach trójfazowych.)

Pokaż że $A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) = \sqrt{A^2+B^2}\,\sin(\omega t + \varphi)$ z $\tan\varphi = B/A$.

Rozwiąż $\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0$ na $[0, 2\pi)$.

Pokaż identyczność $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Pokaż że $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ używając definicji poprzez okrąg trygonometryczny.