Lekcja 14 — Równania i nierówności trygonometryczne

Struktura rozwiązań

Równania z sinusem

Dla $\sin x = a$ z $a \in [-1, 1]$: $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Gdzie $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ jest funkcją odwrotną główną.

Równania z cosinusem

Dla $\cos x = a$ z $a \in [-1, 1]$: $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Gdzie $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$.

Równania z tangensem

Dla $\tan x = a$ z $a \in \mathbb{R}$: $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Gdzie $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$.

Przepis ogólny

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne $f(x) = 0$:

1. Sprowadź do równań podstawowych $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ za pomocą tożsamości.
2. Wypisz wszystkie rozwiązania w przedziale $[0, 2\pi)$ (lub $[-\pi, \pi]$).
3. Uogólnij dodając $2k\pi$ (lub $k\pi$ dla tangensa).