v0 · legado, reescrita em curso

Lição 15 — Lei dos senos e lei dos cossenos

Resolução de triângulos quaisquer (não retângulos). Aplicações em topografia, navegação e física.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 図形と計量) · Trigonometry — US precalc

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Dowody i zastosowanie

"Prawo sinusów można zastosować do rozwiązywania trójkątów nieprostokątnych." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1

"Prawo cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Możemy je użyć do znalezienia brakującego boku, gdy znamy dwa boki i zawarty między nimi kąt." — Stitz–Zeager, Precalculus §11.3

Notacja trójkąta i koła opisanego

Trójkąt $ABC$ wpisany w koło o promieniu $R$ . Bok naprzeciw większego kąta jest zawsze większy.

Kiedy użyć której prawa

Definition· Przewodnik wyboru prawa

Dane znane	Szukana	Prawo do użycia
2 kąty + 1 bok (AAS, ASA)	pozostałe boki	Sinusów
2 boki + kąt naprzeciw (SSA)	pozostałe (może być niejednoznaczne)	Sinusów
2 boki + kąt między nimi (SAS)	trzeci bok	Cosinusów
3 boki (SSS)	dowolny kąt	Cosinusów odwrotnie

Przypadek niejednoznaczny SSA (dane $a$ , $b$ , $A$ z $A < 90°$ ): oblicz $h = b\sin A$ .

$a < h$ : żaden trójkąt
$a = h$ lub $a \geq b$ : dokładnie 1 trójkąt
$h < a < b$ : 2 trójkąty

Pole trójkąta

\text{Pole} = \tfrac{1}{2}ab\sin C

what this means · Pole bezpośrednio z dwóch boków i zawartego kąta. Gdy C = 90° odzyskujemy 'przyprostokątna × przyprostokątna / 2'.

\text{Pole} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

what this means · Wzór Herona: pole tylko z trzema bokami, bez potrzeby kątów. Półobwód: s = (a+b+c)/2.

Przykłady rozwiązane

Pięć przykładów z rosnącą trudnością — od najbardziej bezpośredniego (prawo sinusów AAS) do modelowania rzeczywistego (kinematyka odwrotna ramienia robota). Każdy przykład cytuje źródło: problem oryginalny zawsze pochodzi z otwartej książki.

Example— 1· Prawo sinusów AAS (zastosowanie)

Problem: W trójkącie $ABC$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ i bok $a = 8$ . Oblicz bok $b$ .

Strategia: Mamy dwa kąty i bok naprzeciw jednego z nich (przypadek AAS). Prawo sinusów rozwiązuje bezpośrednio: układasz proporcję i wyznaczasz $b$ .

Rozwiązanie:

Zastosuj prawo sinusów. $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ , czyli $\dfrac{8}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$ .
Podstaw wartości godne uwagi. $\sin 30° = 1/2$ , $\sin 45° = \sqrt 2 / 2$ .
Wyznacz $b$ . $b = 8 \cdot \dfrac{\sin 45°}{\sin 30°} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt 2 / 2}{1/2} = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31$ .

$b = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31.$

Weryfikacja: Skoro $B > A$ , powinniśmy mieć $b > a$ . Istotnie $11{,}31 > 8$ . Zgadza się.

Źródło. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.1 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 2· Prawo cosinusów SAS (zastosowanie)

Problem: Trójkąt ma boki $a = 5$ , $b = 7$ i kąt między nimi $C = 60°$ . Oblicz trzeci bok $c$ .

Strategia: Mamy dwa boki i kąt między nimi (SAS). To dokładnie przypadek prawa cosinusów na znalezienie boku naprzeciw danego kąta.

Rozwiązanie:

Zastosuj prawo. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ .
Podstaw. $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \tfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ .
Wyciągnij pierwiastek. $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ .

Weryfikacja: $c$ powinien być między $|a - b| = 2$ a $a + b = 12$ (nierówność trójkąta). $6{,}24 \in (2, 12)$ . Zgadza się.

Źródło. Stitz–Zeager — Precalculus §11.3 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Prawo cosinusów odwrotnie — znalezienie kąta z 3 boków (pośredni)

Problem: Trójkąt ma boki $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Oblicz kąt $C$ .

Strategia: SSS — trzy boki znane. Użyj prawa cosinusów rozwiązanego na $\cos C$ i zastosuj $\arccos$ .

Rozwiązanie:

Przepisz prawo cosinusów. $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ .
Podstaw. $\cos C = \dfrac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .
Zastosuj arccos. $C = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46°$ .

$C \approx 78{,}46°.$

Weryfikacja: Ponieważ trójkąt jest „prawie" równoramienny a $c$ jest największym bokiem, powinniśmy oczekiwać że $C$ jest największym kątem. Przez prawo cosinusów: $A = \arccos((36+49-25)/(2\cdot 6 \cdot 7)) = \arccos(60/84) \approx 44{,}42°$ , $B \approx 57{,}12°$ . Suma: $44{,}42 + 57{,}12 + 78{,}46 \approx 180°$ . Zgadza się.

Źródło. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.2 — licencja CC-BY 4.0.

Fontes

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson i in. (OpenStax) · 2022, 2. ed · EN · CC-BY 4.0 · §10.1–10.2: prawo sinusów i cosinusów. Główne źródło.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2–11.3: trójkąty nieprostokątne.
University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · cap. 2: wektory i dodawanie wektorów. Główne źródło bloku C (modelowanie).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: trygonometria stosowana.