v1 · padrão canônico

Lição 16 — Sequências numéricas

Sequência como função de domínio ℕ. Recorrências, monotonia, limitação. Antessala dos limites.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math B japonês (cap. 数列) · Calculus I — US — preview

(a_n)_{n \in \mathbb{N}}, \quad a_n = f(n)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja i właściwości

Jak opisać ciąg

Wzór jawny (wyraz ogólny): $a_n = 2n + 1$ — wyrazy $3, 5, 7, 9, \ldots$
Rekurencja: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2$ — ten sam rezultat.
Opis: "n-ta liczba pierwsza" — $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (bez wzoru zamkniętego).

Monotoniczność

Rosnący: $a_{n+1} > a_n \quad \forall n$ .
Niemalejący: $a_{n+1} \geq a_n$ .
Malejący: $a_{n+1} < a_n$ .
Stały: $a_{n+1} = a_n$ .

Ograniczoność

$(a_n)$ jest ograniczony jeśli istnieje $M > 0$ takie że $|a_n| \leq M$ dla każdego $n$ . Ograniczony z góry jeśli $a_n \leq M_+$ ; z dołu jeśli $a_n \geq M_-$ .

Zbieżność intuicyjna (sformalizowana w Lekcji 41)

$(a_n)$ zbiega do $L$ jeśli " $a_n$ przybliża się arbitralnie do $L$ gdy $n$ jest duże". Formalnie: $\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$

Słynne ciągi

Nazwa	Definicja	Wyrazy
Naturalne	$a_n = n$	$1, 2, 3, \ldots$
Kwadraty	$a_n = n^2$	$1, 4, 9, 16, \ldots$
Harmoniczny	$a_n = 1/n$	$1, 1/2, 1/3, \ldots$
Fibonacci	$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , $F_1 = F_2 = 1$	$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
Geometryczny	$a_n = q^n$	$q, q^2, q^3, \ldots$

"A sequence is just a list of numbers, but in Math 2E we make this list infinite." — Active Calculus §8.2

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Wypisanie wyrazów ze wzoru jawnego

Problem: Wypisz 5 pierwszych wyrazów ciągu $a_n = 2n + 1$ .

Strategia: Podstawić $n = 1, 2, 3, 4, 5$ i obliczyć każdy $a_n$ .

Rozwiązanie:

$a_1 = 2(1) + 1 = 3$ .
$a_2 = 2(2) + 1 = 5$ .
$a_3 = 2(3) + 1 = 7$ .
$a_4 = 2(4) + 1 = 9$ .
$a_5 = 2(5) + 1 = 11$ .

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 = 3, 5, 7, 9, 11.$

Weryfikacja: Różnica między wyrazami kolejnymi jest stała $= 2$ — cecha progresji arytmetycznej z $a_1 = 3$ i różnicą $d = 2$ . Zgadza się z $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$ . OK.

Źródło. Active Calculus §8.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Obliczenie wyrazów z rekurencji

Problem: Oblicz 6 pierwszych wyrazów ciągu Fibonacciego, zdefiniowanego przez $F_1 = F_2 = 1$ i $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ .

Strategia: Zastosuj rekurencję wielokrotnie, sumując dwa ostatnie wyrazy aby uzyskać następny.

Rozwiązanie:

$F_1 = 1$ (dane).
$F_2 = 1$ (dane).
$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$ .
$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$ .
$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$ .
$F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$ .

$F_1, \ldots, F_6 = 1, 1, 2, 3, 5, 8.$

Weryfikacja: Stosunek $F_{n+1}/F_n$ dąży do złotej proporcji $\phi = (1 + \sqrt 5)/2 \approx 1{,}618$ . $F_6/F_5 = 8/5 = 1{,}6$ . Zmierza dobrze.

Źródło. Hammack — Book of Proof §10.4 — wolne.

Example— 3· Znalezienie wzoru jawnego z wyrazów

Problem: Znajdź wyraz ogólny ciągu $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{16}, \tfrac{1}{32}, \ldots$

Strategia: Zidentyfikuj wzorzec. Każdy wyraz to połowa poprzedniego — ciąg geometryczny o ilorazie $1/2$ . Wyraz $a_n$ powinien mieć $2^n$ w mianowniku.

Rozwiązanie:

Obserwuj wzorzec. $a_1 = 1/2 = 1/2^1$ . $a_2 = 1/4 = 1/2^2$ . $a_3 = 1/8 = 1/2^3$ .
Domniemaj. $a_n = 1/2^n$ .
Sprawdź. $a_4 = 1/2^4 = 1/16$ . $a_5 = 1/2^5 = 1/32$ . Oba się zgadzają.

$a_n = \frac{1}{2^n}.$

Weryfikacja: Iloraz $a_{n+1}/a_n = (1/2^{n+1})/(1/2^n) = 1/2$ . Potwierdza obserwowany iloraz.

Źródło. Lebl — Basic Analysis Vol. I §2.1 — CC-BY-SA.

Example— 4· Monotoniczność i ograniczoność

Problem: Wykaż że ciąg $a_n = \dfrac{n+1}{n}$ jest malejący i ograniczony z dołu przez 1.

Strategia: Aby wykazać malejenie, pokazać $a_{n+1} - a_n < 0$ . Aby wykazać ograniczoność z dołu przez 1, pokazać $a_n > 1$ dla każdego $n$ .

Rozwiązanie:

Przepisz. $a_n = 1 + 1/n$ .
Wykaż że maleje. $a_{n+1} - a_n = (1 + 1/(n+1)) - (1 + 1/n) = 1/(n+1) - 1/n = (n - (n+1))/(n(n+1)) = -1/(n(n+1)) < 0$ . Zatem $a_{n+1} < a_n$ dla każdego $n \geq 1$ .
Wykaż ograniczoność z dołu. Ponieważ $1/n > 0$ dla każdego $n \geq 1$ , $a_n = 1 + 1/n > 1$ . Zatem $a_n > 1$ jest kresem dolnym.
Ciąg jest też ograniczony z góry przez $a_1 = 2$ (pierwszy wyraz, maksimum ciągu malejącego).

$a_n \in (1, 2]\ \text{dla każdego}\ n \geq 1,\ \text{i malejący.}$

Weryfikacja: $a_1 = 2$ , $a_2 = 3/2 = 1{,}5$ , $a_3 = 4/3 \approx 1{,}333$ , $a_{10} = 1{,}1$ , $a_{1000} = 1{,}001$ . Każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego i większy od 1. Gdy $n$ rośnie, $a_n \to 1$ . Zgadza się z teorią.

Źródło. Lebl — Basic Analysis Vol. I §2.1 — CC-BY-SA.

Example— 5· Stygnięcie kawy jako rekurencja (modelowanie realne)

Problem: Temperatura stygnącej kawy następuje $T_n = 65 \cdot (0{,}9)^n + 25$ , gdzie $n$ to czas w minutach i temperatura początkowa to $T_0 = 65 + 25 = 90$ °C. Do jakiej wartości dąży $T_n$ gdy $n \to \infty$ ?

Strategia: Część $(0{,}9)^n$ to ciąg geometryczny o ilorazie między 0 a 1, więc dąży do 0. Granica całego ciągu to wyraz stały.

Rozwiązanie:

Zidentyfikuj strukturę. $T_n = A \cdot q^n + B$ z $A = 65$ , $q = 0{,}9$ , $B = 25$ .
Zachowanie $q^n$ . Ponieważ $|q| = 0{,}9 < 1$ , $q^n \to 0$ gdy $n \to \infty$ .
Podstaw intuicyjnie. $T_n \to 65 \cdot 0 + 25 = 25$ °C.
Interpretacja fizyczna. Wyraz $25$ °C to temperatura otoczenia. Kawa stygnnie asymptotycznie do tej temperatury (Prawo Newtona stygnięcia w postaci dyskretnej).

$\lim_{n \to \infty} T_n = 25\ °\text{C}.$

Weryfikacja: $T_0 = 65 + 25 = 90$ °C. $T_5 = 65 \cdot (0{,}9)^5 + 25 \approx 65 \cdot 0{,}59 + 25 \approx 63{,}4$ °C — zgodne z chwilową kawą po 5 min. Granica pozostaje $25$ °C.

Źródło. Active Calculus §8.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

38 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 18Modeling 1Proof 2

Ex. 16.1Application
Wypisz 5 pierwszych wyrazów $a_n = 2n + 1$ .
Solve online
Ex. 16.2Application
Wypisz 5 pierwszych wyrazów $a_n = (-1)^n / n$ .
Solve online
Ex. 16.3Application
Wypisz 5 pierwszych wyrazów $a_n = n^2 - n$ .
Solve online
Ex. 16.4Application
Znajdź wyraz ogólny $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$
Solve online
Ex. 16.5Application
Znajdź wyraz ogólny $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$
Solve online
Ex. 16.6Application
Znajdź wyraz ogólny $1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \ldots$
Solve online
Ex. 16.7Application
Znajdź wyraz ogólny $-1, 1, -1, 1, -1, \ldots$
Solve online
Ex. 16.8Application
Oblicz $a_{20}$ dla $a_n = 3n - 1$ .
Solve online
Ex. 16.9Application
Dla którego $n$ zachodzi $a_n = 100$ jeśli $a_n = 2n - 4$ ?
Solve online
Ex. 16.10Application
Ile wyrazów ciągu $a_n = 5n - 1$ jest mniejszych od $200$ ?
Solve online
Ex. 16.11Application
Ciąg: $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 3 a_n + 1$ . Oblicz 5 pierwszych wyrazów.
Solve online
Ex. 16.12Application
Fibonacci: $F_1 = F_2 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Oblicz do $F_{10}$ .
Solve online
Ex. 16.13Application
Ciąg: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2n$ . Oblicz do $a_5$ .
Solve online
Ex. 16.14Understanding
Wykaż że ciąg Fibonacciego spełnia $F_n^2 - F_{n-1} F_{n+1} = (-1)^{n-1}$ (tożsamość Cassini). Sprawdź dla $n = 2$ i $n = 3$ .
Solve online
Ex. 16.15Application
Znajdź wzór jawny dla $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = 2 a_n$ .
Solve online
Ex. 16.16Application
Ciąg: $a_1 = 5$ , $a_{n+1} = a_n - 2$ . Określ wyraz ogólny $a_n$ .
Solve online
Ex. 16.17ProofAnswer key
Wykaż przez indukcję że $a_n = 2^n - 1$ spełnia $a_1 = 1$ i $a_{n+1} = 2 a_n + 1$ .
Solve online
Ex. 16.18Understanding
Ciąg $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$ (iteracja Newtona dla $\sqrt 2$ ). Oblicz $a_2, a_3, a_4$ i porównaj z $\sqrt 2 \approx 1{,}4142$ .
Solve online
Ex. 16.19Understanding
Wykaż że ciąg $a_{n+1} = a_n^2 - 2$ z $a_1 = 3$ eksploduje (idzie do nieskończoności).
Solve online
Ex. 16.20UnderstandingAnswer key
Zamodeluj ciąg "liczba par królików w $n$ -tym miesiącu" (Fibonacci) i uzasadnij rekurencję.
Solve online
Ex. 16.21Understanding
Wykaż że $a_n = (n+1)/n$ jest malejący i ograniczony z dołu przez $1$ .
Solve online
Ex. 16.22Understanding
Wykaż że $a_n = 2 - 1/n$ jest rosnący i ograniczony z góry przez $2$ .
Solve online
Ex. 16.23UnderstandingAnswer key
Czy ciąg $a_n = (-1)^n n$ jest ograniczony? Rosnący?
Solve online
Ex. 16.24UnderstandingAnswer key
Wykaż że $a_n = 1/n^2$ jest malejący i ograniczony przez $1$ .
Solve online
Ex. 16.25Understanding
Dla którego $n$ zachodzi $a_n = 1/n < 0{,}001$ ?
Solve online
Ex. 16.26Understanding
Wykaż że $a_n = (1 + 1/n)^n$ jest rosnący. (Trudne — podgląd liczby $e$ .)
Solve online
Ex. 16.27Understanding
Czy ciąg $a_n = \sin(n)$ ( $n$ w radianach) jest ograniczony? Zbieżny?
Solve online
Ex. 16.28UnderstandingAnswer key
Dla ciągu $a_n = n/(n+1)$ , od którego $n$ zachodzi $a_n > 0{,}99$ ?
Solve online
Ex. 16.29UnderstandingAnswer key
Do której wartości "zbliża się" $a_n = 1/n$ gdy $n \to \infty$ ?
Solve online
Ex. 16.30UnderstandingAnswer key
Do której wartości zbliża się $a_n = (n + 5)/n$ gdy $n \to \infty$ ?
Solve online
Ex. 16.31UnderstandingAnswer key
Czy ciąg $a_n = (-1)^n$ zbiega? Uzasadnij intuicyjnie.
Solve online
Ex. 16.32Understanding
Do której wartości zbliża się $a_n = (3n^2 + 2)/(n^2 + 1)$ ?
Solve online
Ex. 16.33Understanding
Czy ciąg $a_n = 2^n$ jest zbieżny? Uzasadnij.
Solve online
Ex. 16.34UnderstandingAnswer key
Do czego zbliża się ciąg $a_n = (1/2)^n$ ? Oblicz 4 pierwsze wyrazy do ilustracji.
Solve online
Ex. 16.35Modeling
Zamodeluj temperaturę stygnącej kawy: $T_n = 65 \cdot 0{,}9^n + 25$ każdą minutę. Do której wartości zmierza?
Solve online
Ex. 16.36Application
Wypisz 5 pierwszych wyrazów $a_n = \dfrac{2n}{n^2+1}$ .
Solve online
Ex. 16.37Application
Ciąg $a_n = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}$ (sumy częściowe). Wypisz 5 pierwszych wyrazów.
Solve online
Ex. 16.38Proof
Wykaż przez indukcję że $F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ .
Solve online

Źródła

Basic Analysis: Introduction to Real Analysis (Vol. I) — Jiří Lebl · 2024, v6.0 · EN · CC-BY-SA · §2.1: ciągi, monotoniczność, ograniczoność, zbieżność.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.2: ciągi i zbieżność intuicyjna.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3ª ed · EN · libre · cap. 10: indukcja matematyczna i rekurencje.
Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §11.1: wprowadzenie do ciągów i notacji.