v1 · padrão canônico

Lição 17 — Progressões aritméticas (PA)

Sequência com diferença constante. Termo geral, soma de termos (Gauss), aplicações financeiras e físicas.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

a_n = a_1 + (n-1)\,r, \qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja i wzory

Wyraz ogólny

a_n = a_1 + (n-1)\,r

(1)

what this means · Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego. Między a₁ i aₙ jest dokładnie n−1 skoków wielkości r.

Dowodzić można przez indukcję na $n$ . Równoważne $a_n = a_p + (n-p)\,r$ dla każdego indeksu $p$ .

"Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym różnica między dowolnymi dwoma wyrazami kolejnymi jest stała." — OpenStax College Algebra 2e, §9.2

Suma pierwszych $n$ wyrazów

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,[\,2a_1 + (n-1)r\,]}{2}

(2)

what this means · Suma Gaussa. Każda para wyrazów równoodległych od krańców sumuje się do a₁ + aₙ. Z n/2 parami suma całkowita to n(a₁ + aₙ)/2.

Dowód (Gauss jako dziecko, $\sim$ 1789): napiszmy $S_n$ dwukrotnie — w porządku rosnącym i malejącym:

$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 \end{aligned}$

Dodając wyraz po wyrazie: $2 S_n = n\,(a_1 + a_n)$ , ponieważ każda para sumuje się do $a_1 + a_n$ . ∎

Własności

Średnia arytmetyczna: trzy wyrazy kolejne spełniają $a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2$ .
Rosnący jeśli $r > 0$ , malejący jeśli $r < 0$ , stały jeśli $r = 0$ .
Suma wyrazów skrajnych = suma wyrazów równoodległych: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots$

Suma potęg (wstęp)

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Przykłady rozwiązane

Example— 2· Znaleźć a₁ i r z dwóch wyrazów

Problem: W PA $a_5 = 17$ i $a_{10} = 32$ . Wyznacz $a_1$ i $r$ .

Strategia: ułóż układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi stosując wyraz ogólny. Odejmowanie eliminuje $a_1$ .

Rozwiązanie:

Napiszcie wyraz ogólny w dwóch punktach.
- $a_5 = a_1 + 4r = 17$
- $a_{10} = a_1 + 9r = 32$
Odejmij pierwszy od drugiego. $5r = 15 \Rightarrow r = 3$ .
Zastąp, aby znaleźć $a_1$ . $a_1 + 4 \cdot 3 = 17 \Rightarrow a_1 = 5$ .

Weryfikacja: PA $5, 8, 11, 14, 17, \ldots$ — $a_5 = 17$ ✓ i $a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$ ✓.

Źródło. Stitz–Zeager Precalculus §9.2 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Suma ze wzorem Gaussa

Problem: Oblicz $S = 7 + 11 + 15 + 19 + \ldots + 99$ .

Strategia: zidentyfikuj PA, znajdź $n$ (liczba wyrazów) stosując wyraz ogólny, potem zastosuj wzór Gaussa.

Rozwiązanie:

Zidentyfikuj $a_1$ i $r$ . $a_1 = 7$ , $r = 11 - 7 = 4$ .
Znajdź $n$ używając $a_n = 99$ . $99 = 7 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow 92 = 4(n-1) \Rightarrow n = 24$ .
Zastosuj wzór Gaussa. $S_{24} = \dfrac{24 \cdot (7 + 99)}{2} = \dfrac{24 \cdot 106}{2} = 12 \cdot 106 = 1\,272$ .

Weryfikacja: para wyrazów skrajnych $7 + 99 = 106$ ; $12$ par daje $12 \cdot 106 = 1\,272$ . ✓ Alternatywa: średnia $= 106/2 = 53$ , razem $= 53 \cdot 24 = 1\,272$ . ✓

Źródło. OpenStax College Algebra 2e §9.4 — licencja CC-BY 4.0.

Example— 4· Ile wyrazów sumować, aby przekroczyć 1000?

Problem: Ile wyrazów PA $1, 4, 7, 10, \ldots$ trzeba zsumować, aby $S_n \geq 1\,000$ ?

Strategia: $a_1 = 1$ , $r = 3$ , więc $S_n = n(2 + (n-1) \cdot 3)/2 = n(3n - 1)/2$ . Rozwiąż $n(3n-1)/2 \geq 1\,000$ .

Rozwiązanie:

Ułóż nierówność. $\dfrac{n(3n - 1)}{2} \geq 1\,000 \iff 3n^2 - n - 2\,000 \geq 0$ .
Rozwiąż równanie $3n^2 - n - 2\,000 = 0$ . Przez deltę: $n = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24\,000}}{6} = \dfrac{1 \pm \sqrt{24\,001}}{6}$ .
Przybliż $\sqrt{24\,001} \approx 154{,}92$ . Pierwiastek dodatni: $n \approx (1 + 154{,}92)/6 \approx 25{,}99$ .
Ponieważ $n$ jest całkowity, weź $n = 26$ . Potwierdź: $S_{26} = 26 \cdot (3 \cdot 26 - 1)/2 = 26 \cdot 77/2 = 1\,001 \geq 1\,000$ . ✓ Zaś $S_{25} = 25 \cdot 74/2 = 925 < 1\,000$ .

Weryfikacja: $a_{26} = 1 + 25 \cdot 3 = 76$ i $S_{26} = 26 \cdot (1 + 76)/2 = 26 \cdot 38{,}5 = 1\,001$ . ✓

Źródło. Stitz–Zeager Precalculus §9.2, ćwiczenia 9.2 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Spadek swobodny — dystans w n-tej sekundzie (modelowanie rzeczywiste)

Problem: W spadku swobodnym od spoczynku dystans przebywany w $n$ -tej sekundzie to $d_n = g(2n - 1)/2$ , z $g = 9{,}81 \text{ m/s}^2$ . (a) Pokaż, że $(d_n)$ jest PA. (b) Oblicz całkowity dystans przebywany w 5 sekund.

Strategia: sprawdzić, że $d_{n+1} - d_n$ jest stała (definicja PA). Potem zsumuj pierwsze 5 wyrazów.

Rozwiązanie:

Oblicz różnicę $d_{n+1} - d_n$ . $d_{n+1} - d_n = \dfrac{g[2(n+1) - 1]}{2} - \dfrac{g(2n - 1)}{2} = \dfrac{g \cdot 2}{2} = g$ . Stała $= g$ , więc PA z różnicą $r = g$ . ✓
Zidentyfikuj $a_1 = d_1$ . $d_1 = g \cdot 1/2 = 4{,}905$ m.
Oblicz $a_5 = d_5$ . $d_5 = g \cdot 9/2 = 44{,}145$ m.
Suma ze wzorem Gaussa. $S_5 = 5 \cdot (d_1 + d_5)/2 = 5 \cdot (4{,}905 + 44{,}145)/2 = 5 \cdot 24{,}525 = 122{,}625$ m.

Weryfikacja fizyczna: w spadku swobodnym, $S(t) = g t^2/2$ . Z $t = 5$ : $S(5) = 9{,}81 \cdot 25/2 = 122{,}625$ m. ✓ Zgadza się z sumą przez zasadę liczb nieparzystych Galileusza (dystanse na sekundę tworzą $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ razy $g/2$ ).

Źródło. OpenStax College Physics 2e §2.7 (Falling Objects) — licencja CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 2Modeling 10Challenge 3Proof 3

Ex. 17.1Application
PA z $a_1 = 1$ i $r = 3$ . Oblicz $a_{10}$ .
Solve online
Ex. 17.2Application
PA z $a_1 = 100$ i $r = -7$ . Oblicz $a_{15}$ .
Ex. 17.3Application
W PA, $a_5 = 17$ i $a_{10} = 32$ . Wyznacz $a_1$ i $r$ .
Solve online
Ex. 17.4Application
W PA, $a_3 = 10$ i $a_8 = 35$ . Wyznacz wyraz ogólny.
Solve online
Ex. 17.5Application
Ile wyrazów ma skończona PA $5, 8, 11, \ldots, 200$ ?
Solve online
Ex. 17.6Application
PA ma wyraz ogólny $a_n = 4n - 1$ . Jakie są $a_1$ i $r$ ?
Solve online
Ex. 17.7ApplicationAnswer key
PA z $a_1 = 5$ , $a_{19} = 95$ . Oblicz $r$ .
Solve online
Ex. 17.8ApplicationAnswer key
Wyznacz $x$ takie, że $3x - 1$ , $x + 5$ , $2x + 9$ tworzą, w tej kolejności, PA.
Solve online
Ex. 17.9Application
W PA, $a_2 + a_8 = 26$ i $a_3 = 10$ . Oblicz $a_1$ i $r$ .
Solve online
Ex. 17.10ApplicationAnswer key
Wstaw 4 średnie arytmetyczne między 3 i 18.
Solve online
Ex. 17.11ApplicationAnswer key
Oblicz $1 + 2 + 3 + \ldots + 10$ .
Solve online
Ex. 17.12Application
Oblicz $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ — klasyczny problem Gaussa.
Solve online
Ex. 17.13Application
Oblicz sumę parzystych: $2 + 4 + 6 + \ldots + 100$ .
Solve online
Ex. 17.14ApplicationAnswer key
Oblicz sumę liczb nieparzystych: $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ .
Solve online
Ex. 17.15Application
Oblicz sumę 30 pierwszych wyrazów PA $5, 9, 13, 17, \ldots$
Solve online
Ex. 17.16Application
W PA, $a_1 = 4$ i $a_{20} = 80$ . Oblicz $S_{20}$ .
Solve online
Ex. 17.17Application
Oblicz $\sum_{k=1}^{50} (2k - 1)$ .
Solve online
Ex. 17.18Application
Ile wyrazów PA $1, 4, 7, 10, \ldots$ sumuje się na razem $\geq 1\,000$ ?
Solve online
Ex. 17.19Application
Oblicz sumę wielokrotności 3 między 1 i 100.
Solve online
Ex. 17.20Application
Suma pierwszych $n$ wyrazów PA to $S_n = 3n^2 + n$ . Wyznacz wyraz ogólny $a_n$ .
Solve online
Ex. 17.21Modeling
Oszczędzasz 50 zł w pierwszym miesiącu, 60 zł w drugim, 70 zł w trzecim, itd. Ile zaoszczędzisz w 2 latach (24 miesiące)?
Solve online
Ex. 17.22Modeling
Teatr ma 20 rzędów: pierwszy ma 25 miejsc, każdy następny rząd ma 3 więcej. Ile łącznie miejsc?
Solve online
Ex. 17.23Modeling
W spadku swobodnym, $d_n = g(2n-1)/2$ z $g \approx 9{,}81$ m/s². Sprawdź, że tworzy PA i oblicz całkowity dystans w 5 s.
Solve online
Ex. 17.24ModelingAnswer key
Zegar bije godziny: 1 uderzenie o 1, 2 o 2, ..., 12 o 12. Ile uderzeń w 12 godzin?
Solve online
Ex. 17.25Modeling
Pensja początkowa 3.500 zł/miesiąc z roczną podwyżką 300 zł. Oblicz całkowity zarobek (miesięczne wynagrodzenia zsumowane) w 10 lat.
Solve online
Ex. 17.26Modeling
Palieta budynku ma 0,5 m w pierwszym poziomie, 1 m w drugim, 1,5 m w trzecim, itd. Ile poziomów dla całkowitej głębokości $\geq$ 50 m?
Solve online
Ex. 17.27Modeling
Inflacja miesięczna: $0{,}5\%$ , $0{,}6\%$ , $0{,}7\%$ , $\ldots$ Oblicz przybliżoną inflację skumulowaną (przez liniową sumę PA) w 12 miesięcy.
Solve online
Ex. 17.28Application
Suma liczb od 1 do 1.000. Użyj Gaussa.
Solve online
Ex. 17.29Modeling
W pierwszej godzinie 50 zadań; każda następna godzina daje 5 mniej z powodu zmęczenia. Ile zadań w 8 godzin?
Solve online
Ex. 17.30ModelingAnswer key
W szeregu drzew sadzonych co 5 m, ile płotu, aby połączyć 100 drzew w sekwencji?
Solve online
Ex. 17.31Proof
Udowodnij przez indukcję, że $\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .
Solve online
Ex. 17.32Proof
Udowodnij przez indukcję, że jeśli $(a_n)$ jest PA z różnicą $r$ , to $a_n = a_1 + (n-1)\,r$ .
Solve online
Ex. 17.33ChallengeAnswer key
Znajdź PA 5 wyrazów taką, że $a_1 + a_5 = 12$ i $a_2 \cdot a_4 = 30$ .
Solve online
Ex. 17.34ProofAnswer key
Pokaż, że w PA, $a_p + a_q = a_m + a_n$ zawsze, gdy $p + q = m + n$ .
Solve online
Ex. 17.35Challenge
Użyj wzoru na sumę, aby obliczyć $1 + 2 + 3 + \ldots + 1\,000\,000$ .
Solve online
Ex. 17.36Modeling
Piramida ma 1 cegłę na szczycie i rośnie 1 na poziom aż do bazy. Ile cegieł razem, jeśli baza ma 60 rzędów?
Solve online
Ex. 17.37Application
Oblicz sumę pierwszych 100 liczb nieparzystych.
Solve online
Ex. 17.38Understanding
"W każdej PA ciąg różnic $a_{n+1} - a_n$ jest stały." Prawdziwe czy fałszywe?
Solve online
Ex. 17.39Understanding
W skończonej PA z 49 wyrazami, jaka jest pozycja wyrazu środkowego? Jaki jest związek między wyrazem środkowym a sumą $S_{49}$ ?
Solve online
Ex. 17.40ChallengeAnswer key
W malejącej PA ( $r < 0$ ) z $a_1 > 0$ , znajdź największe $n$ takie, że $S_n > 0$ . Wyraź jako funkcja $a_1$ i $|r|$ .
Solve online

Źródła

OpenStax — College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, wyd. 2 · EN · CC-BY 4.0 · §9.2 (Arithmetic Sequences), §9.4 (Series and Their Notations). Główne źródło ćwiczeń i Przykładów 1, 3 i 5.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.1–9.2 (Sequences and Summation Notation). Źródło Przykładu 2 i ćwiczeń strukturalnych.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018, wyd. 3 · EN · wolne · rozdz. 10 (Mathematical Induction). Źródło dowodów 17.31, 17.32, 17.34.
OpenStax — College Physics 2e — Paul Peter Urone et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.7 (Falling Objects). Źródło Przykładu 5 i ćwiczenia 17.23 (spadek swobodny).
Wikilivros — Matemática elementar (Progressões aritméticas) — żywy · PT-BR · CC-BY-SA. Odniesienie w języku portugalskim dla średnich arytmetycznych i ćwiczeń praktycznych.

Definicja i wzory

Wyraz ogólny

Suma pierwszych nnn wyrazów

Własności

Suma potęg (wstęp)

Przykłady rozwiązane

Źródła

Suma pierwszych $n$ wyrazów