Lekcja 18 — Ciągi geometryczne (PG)

Definicja i wzory

Wyraz ogólny

$a_n = a_1 q^{n-1}$

Suma pierwszych $n$ wyrazów

Dla $q \neq 1$: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Dowód: $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$. Pomnożyć przez $q$: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ Odejmując: $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$, więc $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$. ∎

Suma nieskończona (PG zbieżny)

Jeśli $|q| < 1$, $q^n \to 0$ gdy $n \to \infty$. Zatem:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

To szereg geometryczny, kluczowy element w szeregach Taylora (Trim 9).

Zachowanie

• $q > 1$: PG rośnie wykładniczo.
• $q = 1$: stały.
• $0 < q < 1$: malejący, dąży do 0.
• $q = -1$: oscyluje $a_1, -a_1, a_1, \ldots$
• $q < -1$: oscyluje z rosnącą amplitudą.