v1 · padrão canônico

Lição 19 — Limite intuitivo de sequências

Para onde vai 1/n? E (1+1/n)^n? Conceito intuitivo de limite de sequências — primeira ponte explícita para o cálculo formal do Trim 5.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês — preview cap. 6 · Equiv. Klasse 11 alemã — Folgen

\lim_{n \to \infty} a_n = L

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Pojęcie i właściwości

Pytanie centralne

"Dany ciąg $(a_n)$ , do jakiej wartości (jeśli istnieje) dążą wyrazy gdy $n \to \infty$ ?"

Gdy ta wartość istnieje, mówimy, że ciąg zbiega i piszemy $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ .

"A sequence $\{a_n\}$ converges to a real number $L$ if, and only if, for every $\varepsilon > 0$ there exists an integer $N$ such that if $n > N$ , then $|a_n - L| < \varepsilon$ ." — OpenStax Calculus Volume 2, §5.1

Limity notabiliów

Ciąg	Limit	Uzasadnienie intuicyjne
$1/n$	$0$	wyrazy coraz mniejsze
$1/n^k$ z $k > 0$	$0$	j.w., szybciej
$q^n$ z $\\|q\\| < 1$	$0$	ciąg geometryczny malejący (Lekcja 18)
$q^n$ z $\\|q\\| > 1$	nie istnieje	ciąg geometryczny wybucha
$(1 + 1/n)^n$	$e \approx 2{,}71828$	liczba Eulera
$\sqrt[n]{n}$	$1$	przez logarytm
$n^k / a^n$ z $a > 1$	$0$	exponential zwycięża wielomian
$n! / n^n$	$0$	$n^n$ wybucha szybciej niż silnia

Operacje na limitach

Jeśli $\lim a_n = A$ i $\lim b_n = B$ (oba skończone):

\lim(a_n \pm b_n) = A \pm B,\quad \lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B,\quad \lim\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\ (B \neq 0)

(1)

what this means · Limit sumy to suma limitów — obowiązuje dla wszystkich przypadków, gdy oba limity istnieją i są skończone.

Ciągi, które NIE zbiegają

Dążą do $\pm\infty$ : $a_n = n$ , $a_n = 2^n$ .
Oscylują bez ograniczeń: $a_n = (-1)^n$ — alternuje między $1$ i $-1$ .
Ograniczone ale bez limitu: $a_n = \sin n$ — ograniczone ale nie zbiega.

Twierdzenie o trzech ciągach (Sandwich)

"Squeeze Theorem: if $a_n \leq b_n \leq c_n$ for all $n \geq N$ and $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L$ , then $\lim_{n\to\infty} b_n = L$ ." — Lebl, Basic Analysis I, §2.1

Kryterium monotoniczności i ograniczoności

Figury: zbieżność i rozbieżność

Po lewej: ciąg zbieżny — wyrazy skupiają się wokół L. Po prawej: ciąg rozbieżny przez oscylację — żadna wartość nie jest „celem".

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Limit 1/n — przykład założycielski

Problem: Oblicz $\lim_{n \to \infty} 1/n$ .

Strategia: Obserwuj ciąg numerycznie. Wyrazy zmniejszają się indefinicie — intuicyjny limit to $0$ . Aby potwierdzić: dając każdy cel $\varepsilon > 0$ , wystarczy $n > 1/\varepsilon$ , aby $1/n < \varepsilon$ .

Rozwiązanie:

Wypisz kilka wyrazów. $1,\ 1/2,\ 1/3,\ 1/4,\ \ldots,\ 1/100,\ \ldots,\ 1/10^6,\ \ldots$
Obserwuj tendencję. Dla każdego $\varepsilon > 0$ , wystarczy wziąć $n > 1/\varepsilon$ , aby $1/n < \varepsilon$ .
Zaključ. $\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$ .

Weryfikacja: $1/10^6 = 10^{-6}$ , $1/10^{12} = 10^{-12}$ . Zbliża się do zera nigdy go nie dotykając.

Źródło. Active Calculus §8.1 (Sequences) — licencja CC-BY-NC-SA. Kanoniczny przykład otwarcia pojęcia zbieżności.

Example— 2· Limit stosunku wielomianów

Problem: Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n + 5}{n + 2}$ .

Strategia: Podziel licznik i mianownik przez $n$ (największą potęgę obecną). To izoluje wyrazy dążące do zera.

Rozwiązanie:

Podziel wszystko przez $n$ . $\dfrac{3n + 5}{n + 2} = \dfrac{3 + 5/n}{1 + 2/n}$ .
Weź limit. Ponieważ $5/n \to 0$ i $2/n \to 0$ : $\dfrac{3 + 0}{1 + 0} = 3$ .
Zaključ. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n + 5}{n + 2} = 3$ .

Weryfikacja: $n = 1\,000$ : $(3\,005)/(1\,002) \approx 2{,}999$ . $n = 10^6$ : $\approx 2{,}999999$ . Zbiega do $3$ .

Sztuczka. Dla $\lim P(n)/Q(n)$ z $\deg P = \deg Q$ , limit to stosunek współczynników wyższego stopnia. Tu: $3/1 = 3$ .

Źródło. Lebl — Basic Analysis I §2.2 — licencja CC-BY-SA. Twierdzenie o limitach ciągów.

Example— 3· Różnica pierwiastków — technika sprzężenia

Problem: Oblicz $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .

Strategia: Forma nieoznaczona $\infty - \infty$ . Pomnóż przez sprzężenie $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ , aby usunąć pierwiastek.

Rozwiązanie:

Pomnóż przez sprzężenie. $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ .
Przeanalizuj mianownik. $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to +\infty$ .
Zaključ. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$ .

Weryfikacja: $n = 100$ : $\sqrt{101} - 10 \approx 0{,}0499$ . $n = 10\,000$ : $\approx 0{,}005$ . Dąży do zera.

Źródło. Lebl — Basic Analysis I §2.2 — licencja CC-BY-SA. Standardowa technika dla form $\infty - \infty$ z pierwiastkami.

Example— 4· Liczba e poprzez (1+1/n)^n

Problem: Wykaż intuicyjnie, że $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n = e \approx 2{,}71828$ .

Strategia: Oblicz numerycznie dla rosnącego $n$ . Kryterium monotoniczności i ograniczoności gwarantuje, że limit istnieje.

Rozwiązanie:

Oblicz kilka wyrazów.

$n$ $(1 + 1/n)^n$
$1$ $2$
$10$ $2{,}5937$
$100$ $2{,}7048$
$1\,000$ $2{,}7169$
$10^6$ $2{,}71828$
Obserwuj monotoniczność i ograniczoność. Można wykazać (poprzez dwumian Newtona), że ciąg jest rosnący i ograniczony górnie przez $3$ . Według twierdzenia o monotoniczności i ograniczoności, limit istnieje.
Zidentyfikuj limit. Wartość numeryczna $e \approx 2{,}71828\ldots$ jest zdefiniowana jako ten limit (równoważnie seria $\sum 1/k!$ ).

Weryfikacja: SymPy: sp.limit((1 + 1/n)**n, n, sp.oo) zwraca E.

Dlaczego to ważne? Uogólnienie: $\lim_{n \to \infty} (1 + r/n)^n = e^r$ . Dla kapitalizacji ciągłej przy stopie $r$ , czynnik roczny to $e^r$ . Połączenie z odsetkami będzie sformalizowane w Trim 5.

Źródło. Active Calculus §8.1 — licencja CC-BY-NC-SA. Dowód rygorystyczny w Lebl §2.4.

Example— 5· Punkt stały rekurencji — metoda Herona

Problem: Rozważ $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$ . Do jakiej wartości zbiega?

Strategia: Jeśli $a_n \to L$ , to też $a_{n+1} \to L$ . Przejdź do limitu w rekurencji, aby otrzymać równanie algebraiczne w $L$ (równanie punktu stałego).

Rozwiązanie:

Załóż, że limit $L$ istnieje. $a_{n+1} \to L$ (ten sam ciąg, przesunięty o 1).
Przejdź do limitu. $L = (L + 2/L)/2 \Rightarrow 2L = L + 2/L \Rightarrow L = 2/L \Rightarrow L^2 = 2$ .
Rozwiąż. $L = \pm\sqrt{2}$ . Ponieważ $a_1 = 1 > 0$ i rekurencja zachowuje dodatniość, $L = \sqrt{2} \approx 1{,}41421$ .

Weryfikacja numeryczna:

$n$	$a_n$
$1$	$1{,}000000$
$2$	$1{,}500000$
$3$	$1{,}416667$
$4$	$1{,}414216$
$5$	$1{,}414214$

Połączenie. To jest iteracja Newton-Raphsona dla $f(x) = x^2 - 2$ . Zbieżność kwadratyczna: poprawne cyfry podwajają się za każdą iteracją. Algorytm Herona z Aleksandrii (I w. n.e.), ponownie odkryty przez Newtona w XVII w.

Źródło. Active Calculus §8.1 i OpenStax Calculus Volume 2 §5.1 — licencje CC-BY-NC-SA.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 10Modeling 7Challenge 1Proof 2

Ex. 19.1Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} 1/n$ .
Solve online
Ex. 19.2ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{n \to \infty} 1/n^2$ .
Solve online
Ex. 19.3ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (1/2)^n$ .
Solve online
Ex. 19.4Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} 2^n$ (lub uzasadnij że rozbieża).
Solve online
Ex. 19.5Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (n+1)/n$ .
Solve online
Ex. 19.6ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (3n + 5)/(n + 2)$ .
Solve online
Ex. 19.7Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} n/2^n$ .
Solve online
Ex. 19.8Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} 5/n^3$ .
Solve online
Ex. 19.9Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (2n^2 + 3)/(n^2 + 1)$ .
Solve online
Ex. 19.10Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (-1)^n/n$ używając twierdzenia o trzech ciągach.
Solve online
Ex. 19.11Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online
Ex. 19.12ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$ .
Solve online
Ex. 19.13Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} 1/\sqrt{n}$ .
Solve online
Ex. 19.14Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (3n - 1)/(2n + 5)$ .
Solve online
Ex. 19.15Application
Oblicz $\lim_{n \to \infty} \sin(n)/n$ używając twierdzenia o trzech ciągach.
Solve online
Ex. 19.16Understanding
Zdecyduj czy $a_n = (-1)^n + 1/n$ zbiega czy rozbieża. Uzasadnij.
Solve online
Ex. 19.17Understanding
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (-1)^n$ lub uzasadnij że nie istnieje.
Solve online
Ex. 19.18Understanding
Określ czy $a_n = 2 + (-0{,}5)^n$ zbiega i jeśli tak, do jakiej wartości.
Solve online
Ex. 19.19UnderstandingAnswer key
Określ czy $a_n = \cos(n\pi)$ zbiega. Uzasadnij.
Solve online
Ex. 19.20Understanding
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (1 + 2/n)^n$ .
Solve online
Ex. 19.21Understanding
Ciąg $a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + \ldots + 1/n$ (częściowe sumy harmoniczne) zbiega?
Solve online
Ex. 19.22Understanding
Oblicz $\lim_{n \to \infty} n \sin(1/n)$ .
Solve online
Ex. 19.23Understanding
Zdecyduj czy $a_n = n!/n^n$ zbiega.
Solve online
Ex. 19.24Understanding
Oblicz $\lim_{n \to \infty} \sin(n)/n$ i porównaj z $\lim_{n \to \infty} n\sin(1/n)$ z poprzedniego ćwiczenia.
Solve online
Ex. 19.25Understanding
Oblicz $\lim_{n \to \infty} (n+1)^2/n^3$ .
Solve online
Ex. 19.26ModelingAnswer key
Rozładowujący się kondensator: $V_n = V_0 \cdot (0{,}9)^n$ za każdy przedział czasu. Do jakiej wartości dąży $V_n$ ?
Solve online
Ex. 19.27Modeling
Iteracja: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$ . Do jakiej wartości zbiega?
Solve online
Ex. 19.28Modeling
Prawo chłodzenia: $T_n = 25 + 50 \cdot (0{,}9)^n$ . Do jakiej wartości dąży temperatura?
Solve online
Ex. 19.29Modeling
Roczna stopa 10% składana $n$ razy w roku daje czynnik $(1 + 0{,}1/n)^n$ . Oblicz limit i końcową kwotę dla R$ 10.000 zainwestowanych przez 1 rok.
Solve online
Ex. 19.30Modeling
Pole wielokąta foremnego o $n$ bokach wpisanego w koło jednostkowe: $A_n = (n/2)\sin(2\pi/n)$ . Oblicz $\lim A_n$ .
Solve online
Ex. 19.31ModelingAnswer key
W statystyce, średnia z próby $\bar X_n$ dąży do jakiej wartości gdy $n \to \infty$ ? Jakie prawo to gwarantuje?
Solve online
Ex. 19.32ModelingAnswer key
Błąd metody Eulera z $n$ krokami maleje jak $C/n$ . Do jakiej wartości dąży? Co to mówi o spójności metody?
Solve online
Ex. 19.33Proof
Udowodnij że jeśli limit ciągu istnieje, to jest jedyny.
Solve online
Ex. 19.34Challenge
$a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Do jakiej wartości zbiega?
Solve online
Ex. 19.35Proof
Wykaż że jeśli $a_n \to L$ i $L > 0$ , to istnieje $N$ takie że $a_n > L/2$ dla każdego $n \geq N$ . (Użyj $\varepsilon = L/2$ .)
Solve online

Źródła

Jedynie książki, które bezpośrednio zasiały tekst i ćwiczenia tej lekcji.

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, wyd. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.1 (Sequences). Źródło pierwotne — podejście „mostu" do limitów formalnych.
Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024, v6.0 · EN · CC-BY-SA · §2.1–2.2 (Sequences and Limits, Squeeze Theorem, Uniqueness). Źródło twierdzeń technicznych i dowodów.
OpenStax — Calculus Volume 2 — Edwin Herman, Gilbert Strang et al. · 2022 · EN · CC-BY-NC-SA · §5.1 (Sequences), §5.3 (Divergence Tests). Wizualne i tabelaryczne ujęcie.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3.ª ed · EN · libre · cap. 7 (Convergence). Źródło ćwiczenia 19.34 (zagnieżdżony pierwiastek).

$n$	$(1 + 1/n)^n$
$1$	$2$
$10$	$2{,}5937$
$100$	$2{,}7048$
$1\,000$	$2{,}7169$
$10^6$	$2{,}71828$