v1 · padrão canônico

Lição 20 — Consolidação Trim 2: trigonometria, sequências e limite intuitivo

Workshop integrador das lições 11-19. Problemas que combinam trigonometria, PA, PG e limite intuitivo — síntese antes do Trim 3.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês — revisão de unidade · Equiv. Klasse 10 alemã — Abschlusstest · Equiv. O-Level Singapore — End-of-topic consolidation

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,\quad a_n = a_1 + (n{-}1)r,\quad S_\infty = \frac{a_1}{1-q},\quad \lim_{n\to\infty}a_n = L

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Synteza rygorystyczna Trim 2

Ta lekcja nie wprowadza nowej zawartości. Konsoliduje narzędzia z Lekcji 11-19 i ustanawia połączenia między nimi.

Trygonometria — struktura

Definition· Fundamentalne tożsamości Trim 2

Niech $\theta \in \mathbb{R}$ (kąt w radianach). Trzy tożsamości centralne to:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad \text{(pitagorejska)}$

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \quad \text{(dodawania)}$

$\sin A + \sin B = 2\sin\!\frac{A+B}{2}\cos\!\frac{A-B}{2} \quad \text{(suma-iloczyn)}$

Dla dowolnych trójkątów ( $ABC$ z bokami $a, b, c$ naprzeciwko kątów $A, B, C$ ):

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \quad \text{(twierdzenie sinusów)}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \quad \text{(twierdzenie cosinusów)}$

"Transformacja suma-iloczyn zmienia dodawanie sinusów w iloczyn sinusów i cosinusów — niezbędne do uproszczenia równań z wielokrotnymi kątami." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.4

Ciągi — struktura

"Kluczowy pomysł: jeśli $|r| < 1$ , szereg geometryczny jest zbieżny do $\dfrac{a}{1-r}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4

"Ciąg $\{a_n\}$ jest zbieżny do $L$ jeśli dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje wskaźnik $N$ taki że $|a_n - L| < \varepsilon$ dla wszystkich $n \geq N$ ." — Active Calculus §8.2

Mapa powiązań między tematami

Mapa zależności między tematami Trim 2. Strzałki wskazują użycie jednego bloku przez inny.

Przykłady rozwiązane

Example— 2· Równanie trygonometryczne z argumentem wielokrotnym

Zadanie. Rozwiąż $\sin(2x) = 1/2$ w $[0, 2\pi)$ .

Strategia. Podstaw $u = 2x$ , rozwiąż $\sin u = 1/2$ w rozszerzonym przedziale $[0, 4\pi)$ , potem podziel przez 2.

Rozwiązanie.

Podstaw $u = 2x$ . Dla $x \in [0, 2\pi)$ , mamy $u \in [0, 4\pi)$ .
Rozwiąż $\sin u = 1/2$ . W 1. ćwiartce: $u_0 = \pi/6$ . W 2.: $u_1 = 5\pi/6$ . Dodając $2\pi$ : $u_2 = \pi/6 + 2\pi = 13\pi/6$ i $u_3 = 5\pi/6 + 2\pi = 17\pi/6$ .
Wróć do $x = u/2$ . $x = \pi/12,\; 5\pi/12,\; 13\pi/12,\; 17\pi/12$ .

Weryfikacja. $\sin(2 \cdot \pi/12) = \sin(\pi/6) = 1/2$ ✓. $\sin(2 \cdot 13\pi/12) = \sin(13\pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2$ ✓.

Źródło. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.5 — CC-BY 4.0.

Example— 3· PG nieskończony — piłka odbijająca się

Zadanie. Piłka spada z 10 m i przy każdym odbicia wznosi się na 70% poprzedniej wysokości. Jaka jest całkowita odległość przebyta (spadki i wzrosty)?

Strategia. Rozdziel na dwa nieskończone PG — spadki i wzrosty. Użyj $S_\infty = a_1/(1-q)$ dla każdego.

Rozwiązanie.

Spadki. $10 + 7 + 4{,}9 + \ldots = 10/(1-0{,}7) = 10/0{,}3 \approx 33{,}33$ m.
Wzrosty. $7 + 4{,}9 + \ldots = 7/(1-0{,}7) = 7/0{,}3 \approx 23{,}33$ m.
Razem. $33{,}33 + 23{,}33 \approx 56{,}67$ m.

Weryfikacja. Skonsolidowany wzór: razem $= h \cdot (1+q)/(1-q) = 10 \cdot 1{,}7/0{,}3 \approx 56{,}67$ m. ✓

Źródło. Active Calculus §8.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Pływy i równanie trygonometryczne

Zadanie. Wysokość pływów w Salvador wynosi $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ (w metrach, $t$ w godzinach). (a) Kiedy $h = 1{,}5$ ? (b) Kiedy $h$ jest maksymalny?

Strategia. (a) Rozwiąż $\sin(\pi t/6) = 0$ . (b) Rozwiąż $\sin(\pi t/6) = 1$ .

Rozwiązanie.

(a) $\sin(\pi t/6) = 0 \Rightarrow \pi t/6 = k\pi \Rightarrow t = 6k$ . W $0 \leq t \leq 24$ : $t = 0, 6, 12, 18, 24$ h.
(b) $\sin(\pi t/6) = 1 \Rightarrow \pi t/6 = \pi/2 + 2k\pi \Rightarrow t = 3 + 12k$ . W ciągu jednego dnia: $t = 3$ h i $t = 15$ h.
Maksymalna wysokość. $h_{\max} = 1{,}5 + 1 = 2{,}5$ m.

Weryfikacja. Okres $T = 2\pi/(\pi/6) = 12$ h — dwie wysokie pływy dziennie, zgodne z rzeczywistością. ✓

Źródło. Stitz–Zeager Precalculus §11.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Suma trygonometryczna przez tożsamość suma-iloczyn

Zadanie. Rozwiąż $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ w $[0, 2\pi)$ .

Strategia. Zgrupuj $\sin x + \sin 3x$ i zastosuj tożsamość suma-iloczyn: $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ .

Rozwiązanie.

Zgrupuj. $\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x$ (z $A = 3x$ , $B = x$ , średnia $= 2x$ , półróżnica $= x$ ).
Podstaw. $2\sin 2x \cos x + \sin 2x = \sin 2x(2\cos x + 1) = 0$ .
Przypadek 1: $\sin 2x = 0$ . $2x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2$ . W $[0, 2\pi)$ : $x = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ .
Przypadek 2: $2\cos x + 1 = 0$ . $\cos x = -1/2 \Rightarrow x = 2\pi/3$ lub $x = 4\pi/3$ .
Zbiór rozwiązań. $x \in \{0,\; \pi/2,\; 2\pi/3,\; \pi,\; 4\pi/3,\; 3\pi/2\}$ .

Weryfikacja. $x = 2\pi/3$ : $\sin(2\pi/3) + \sin(4\pi/3) + \sin(2\pi) = \frac{\sqrt 3}{2} - \frac{\sqrt 3}{2} + 0 = 0$ . ✓

Źródło. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.4 — CC-BY 4.0.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 12Understanding 3Modeling 9Challenge 6Proof 4 1

Ex. 20.1Application
Rozwiąż $\sin(2x) = 1/2$ w $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 20.2Application
Trójkąt z $a = 5$ , $\hat A = 30°$ , $\hat B = 60°$ . Oblicz $b$ twierdzeniem sinusów.
Solve online
Ex. 20.3Application
Trójkąt z bokami 7, 8, 9. Jaki jest największy kąt?
Solve online
Ex. 20.4Application
Określ amplitudę, okres i przesunięcie fazowe dla $y = 2\sin(\pi x/3)$ .
Solve online
Ex. 20.5Application
Oblicz $\sin(\pi/3)$ , $\cos(7\pi/4)$ i $\tan(5\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 20.6Modeling
Pływy w Salvador: $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ (m, $t$ w h). (a) Kiedy $h = 1{,}5$ ? (b) Kiedy $h$ jest maksymalny?
Solve online
Ex. 20.7Modeling
Napięcie sieci: $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ V. Oblicz napięcie skuteczne $V_{ef} = V_0/\sqrt 2$ .
Solve online
Ex. 20.8ModelingAnswer key
Jesteś w odległości 100 m od wieży. Kąt elewacji do szczytu wynosi $30°$ . Oblicz wysokość wieży.
Solve online
Ex. 20.9Application
Rozwiąż $\cos x + \sin x = 1$ w $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 20.10Understanding
Dany trójkąt z $\hat A$ , $a$ (bok naprzeciwko $A$ ) i $b$ (bok przylegający). Które twierdzenie użyć by znaleźć $\hat B$ ? Dlaczego?
Solve online
Ex. 20.11Proof
Udowodnij twierdzenie sinusów $\sin A/a = \sin B/b$ używając wysokości wierzchołka $C$ .
Solve online
Ex. 20.12ApplicationAnswer key
PA z $a_1 = 3$ i $r = 5$ . Oblicz $a_{20}$ i $S_{20}$ .
Solve online
Ex. 20.13ApplicationAnswer key
PG z $a_1 = 4$ i $q = 3$ . Oblicz $a_8$ i $S_8$ .
Solve online
Ex. 20.14Application
Oblicz $\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n$ .
Solve online
Ex. 20.15Application
Określ granicę $a_n = (n+1)/n$ gdy $n \to \infty$ .
Solve online
Ex. 20.16Application
Wstaw 4 wyrazy tworzące PA między 5 i 25.
Solve online
Ex. 20.17Modeling
Wpłacasz R$ 100 co miesiąc przy 5% miesięcznie złożony. Saldo po 12 miesiącach?
Solve online
Ex. 20.18Modeling
Piłka spada z 10 m i przy każdym odbiciu wznosi się na 70% poprzedniej wysokości. Całkowita przebyta odległość?
Solve online
Ex. 20.19Understanding
Pokaż że $0{,}999\ldots = 1$ używając sumy PG nieskończonego. Wynik jest dokładny czy przybliżny?
Solve online
Ex. 20.20Modeling
Bakterie podwajają się co 20 min. Początkowo 1.000. Ile po 3 godzinach?
Solve online
Ex. 20.21ChallengeAnswer key
Ciąg $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = (a_n + 5)/2$ . Do jakiej wartości zbieża się?
Solve online
Ex. 20.22Application
Inflacja miesięczna 0,5% złożona. Jaka jest inflacja skumulowana w 12 miesiącach?
Solve online
Ex. 20.23Challenge
W ile czasu R$ 1.000 podwaja się przy 6% r.a. przy kapitalizacji ciągłej?
Solve online
Ex. 20.24ChallengeAnswer key
Rozwiąż $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ w $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 20.25Modeling
Głębokość nurkowania: $d(t) = 100 + 30\sin(\pi t/30)$ m. Kiedy $d = 130$ m? Jaki jest okres oscylacji?
Solve online
Ex. 20.26Modeling
Dwaj spacerowicze wyruszają z tego samego punktu: jeden idzie 5 km, drugi 8 km w kierunku 60° względem pierwszego. Odległość między nimi?
Solve online
Ex. 20.27Challenge
Zidentyfikuj wzór i określ wyraz ogólny i $S_n$ ciągu $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$
Solve online
Ex. 20.28Answer key
PG nieskończony zbieżny z stosunkiem $1/3$ i sumą $S_\infty = 12$ . Znajdź $a_1$ .
Solve online
Ex. 20.29Modeling
Bakterie podwajają się co 2 godziny. Począwszy od 1.000, w ile czasu osiągają 32.000?
Solve online
Ex. 20.30Understanding
Który z ciągów poniżej NIE jest PA ani PG?
Solve online
Ex. 20.31Challenge
Ciąg $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \cos(a_n)$ (w radianach). Do jakiej wartości zbieża się? (Oblicz pierwsze 4 wyrazy na papierze.)
Solve online
Ex. 20.32ProofAnswer key
Udowodnij że $\lim_{n\to\infty} \sin n/n = 0$ przez twierdzenie o trzech ciągach.
Solve online
Ex. 20.33ProofAnswer key
Udowodnij że w trójkącie równobocznym o boku $\ell$ , pole wynosi $\ell^2\sqrt 3/4$ przez wzór $A = (1/2)ab\sin C$ .
Solve online
Ex. 20.34Challenge
Oblicz $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$ i pokaż że suma wynosi 1.
Solve online
Ex. 20.35Proof
Udowodnij że $\lim_{n\to\infty}(1 + 1/n)^n$ istnieje używając monotonii + ograniczenia z góry przez 3.
Solve online

Źródła

OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2. ed · EN · CC-BY 4.0 · §7–11 (trygonometria, ciągi, szeregi). Główne źródło listy zadań.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9–11. Źródło przykładów modelowania trygonometrycznego i szeregu teleskopowego.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.2–8.3 (ciągi i szeregi). Źródło zadań zbieżności, punktu stałego i piłki odbijającej.

Katalog pełny w /livros.