Lekcja 23 — Wzajemne położenie prostych

Kryteria i wzory

Równoległość i prostopadłość

Dane proste $r: y = m_r x + n_r$ i $s: y = m_s x + n_s$:

• Równoległe (nie pokrywające się): $m_r = m_s$ i $n_r \neq n_s$.
• Pokrywające się: $m_r = m_s$ i $n_r = n_s$.
• Przecinające się: $m_r \neq m_s$.
• Prostopadłe: $m_r \cdot m_s = -1$ (zakładając, że żadna nie jest pionowa).

Przypadki z prostymi pionowymi: $x = a$ jest pionowa, $y = b$ jest pozioma. Pionowe między sobą są równoległe; pionowa z poziomą są prostopadłe.

Kąt między prostymi

$\tan\theta = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right|$

(Zakładając, że żadna nie jest pionowa.)

Odległość punkt-prosta

Punkt $P_0 = (x_0, y_0)$ i prosta $Ax + By + C = 0$:

$d(P_0, r) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Odległość między prostymi równoległymi

Dla $r: Ax + By + C_1 = 0$ i $s: Ax + By + C_2 = 0$: $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$