Math ClubMath Club
v1 · padrão canônico

Lekcja 24 — Równanie okręgu

Postać kanoniczna (x-a)² + (y-b)² = r². Postać ogólna. Wzajemne położenie prostej i okręgu. Styczne.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Równania i własności

Postać kanoniczna

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Postać ogólna

Po rozwinięciu: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, gdzie D=−2aD = -2a, E=−2bE = -2b, F=a2+b2−r2F = a^2 + b^2 - r^2.

Środek odzyskany: (a,b)=(−D/2,−E/2)(a, b) = (-D/2, -E/2). Promień: r=D2/4+E2/4−Fr = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F} (poprawny, jeśli dodatni; w przeciwnym razie nie jest to rzeczywisty okrąg).

Prosta i okrąg

Prosta rr może:

  • Nie przecinać okręgu: d(sˊrodek,r)>rd(\text{środek}, r) > r.
  • Być styczna (d=rd = r): dokładnie 1 punkt.
  • Być sieczna (d<rd < r): 2 punkty przecięcia.

Własność stycznej i promienia

Styczna w PP jest prostopadła do promienia CP‾\overline{CP}.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 5Challenge 2Proof 1
  1. Ex. 24.1Application
    Równanie okręgu o środku (0,0)(0,0) i promieniu 55.
    Solve online
  2. Ex. 24.2Application
    Równanie o środku (2,3)(2, 3) i promieniu 44.
    Solve online
  3. Ex. 24.3Application
    Środek (−1,5)(-1, 5), promień 10\sqrt{10}.
    Solve online
  4. Ex. 24.4Application
    Z równania (x−3)2+(y+2)2=16(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 wskaż środek i promień.
    Solve online
  5. Ex. 24.5Application
    Z równania x2+y2−4x+6y−12=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 wskaż środek i promień (uzupełnij kwadrat).
    Solve online
  6. Ex. 24.6Application
    Sprawdź, czy (3,4)(3, 4) należy do okręgu x2+y2=25x^2 + y^2 = 25.
    Solve online
  7. Ex. 24.7Application
    Wzajemne położenie (0,0)(0,0) względem (x−2)2+(y−1)2=4(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 — wewnątrz czy na zewnątrz?
    Solve online
  8. Ex. 24.8ApplicationAnswer key
    Równanie okręgu o średnicy (0,0)(6,8)‾\overline{(0,0)(6,8)}.
    Solve online
  9. Ex. 24.9Application
    Znajdź punkty przecięcia y=xy = x z x2+y2=8x^2 + y^2 = 8.
    Solve online
  10. Ex. 24.10ApplicationAnswer key
    Sprawdź, czy y=x+5y = x + 5 jest styczna, sieczna czy zewnętrzna do x2+y2=16x^2 + y^2 = 16.
    Solve online
  11. Ex. 24.11Application
    Odległość (3,4)(3, 4) od środka (0,0)(0,0) — wewnątrz czy na zewnątrz okręgu r=5r=5?
    Solve online
  12. Ex. 24.12Application
    Okrąg przechodzący przez (0,0),(4,0),(0,3)(0,0), (4,0), (0,3) — wyznacz.
    Solve online
  13. Ex. 24.13ApplicationAnswer key
    Okrąg styczny do osi xx w (3,0)(3, 0) o promieniu 55 — wyznacz równanie.
    Solve online
  14. Ex. 24.14Application
    Wyznacz punkty styczności y=xy = x z x2+y2−4x=0x^2 + y^2 - 4x = 0.
    Solve online
  15. Ex. 24.15Application
    Czy równanie x2+y2+4x−2y+10=0x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0 przedstawia okrąg? (Nie — promień² = -5.)
    Solve online
  16. Ex. 24.16Modeling
    Antena emituje sygnał w promieniu 30 km. Środek w (0,0)(0, 0). Równanie granicy pokrycia.
    Solve online
  17. Ex. 24.17Modeling
    Dwa trzęsienia: epicentrum 1 w (0,0)(0, 0), zasięg 100 km; epicentrum 2 w (120,0)(120, 0), zasięg 150 km. Równania obu granic. Punkty z drganiem od obu?
    Solve online
  18. Ex. 24.18Modeling
    GPS: 3 satelity w (0,0),(10,0),(5,8)(0,0), (10,0), (5,8) mierzą odległości 5,8,65, 8, 6. (Trilateracja — układ 3 okręgów.)
    Solve online
  19. Ex. 24.19ModelingAnswer key
    Minimalny promień zakrętu drogi przy prędkości vv wynosi r=v2/(μg)r = v^2/(\mu g). Dla v=30v = 30 m/s, μ=0,7\mu = 0{,}7, g=9,81g = 9{,}81 oblicz.
    Solve online
  20. Ex. 24.20Modeling
    Okrągła bieżnia lekkoatletyczna o obwodzie 400 m. Promień?
    Solve online
  21. Ex. 24.21ApplicationAnswer key
    Znajdź styczną do x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 w punkcie (3,4)(3, 4).
    Solve online
  22. Ex. 24.22Application
    Styczna zewnętrzna z (7,0)(7, 0) do okręgu x2+y2=9x^2 + y^2 = 9.
    Solve online
  23. Ex. 24.23Application
    Długość stycznej zewnętrznej z (5,0)(5, 0) do okręgu x2+y2=4x^2 + y^2 = 4.
    Solve online
  24. Ex. 24.24ApplicationAnswer key
    Wyznacz punkt na x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 najbliższy (7,0)(7, 0).
    Solve online
  25. Ex. 24.25ApplicationAnswer key
    Środek okręgu przechodzącego przez (1,0),(−1,0),(0,1)(1, 0), (-1, 0), (0, 1).
    Solve online
  26. Ex. 24.26Understanding
    Pokaż, że każde równanie x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 z D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0 jest okręgiem.
    Solve online
  27. Ex. 24.27Understanding
    Pokaż, że dwa okręgi styczne zewnętrznie mają odległość środków =r1+r2= r_1 + r_2.
    Solve online
  28. Ex. 24.28Challenge
    Największy okrąg wpisany w trójkąt o wierzchołkach (0,0),(6,0),(0,8)(0,0), (6,0), (0,8).
    Solve online
  29. Ex. 24.29Challenge
    Wyznacz 4 wspólne styczne okręgów x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 i (x−5)2+y2=4(x-5)^2 + y^2 = 4.
    Solve online
  30. Ex. 24.30Proof
    Udowodnij, że styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
    Solve online

Źródła tej lekcji

Updated on 2026-04-29 · Author(s): Clube da Matemática

Found an error? Open an issue on GitHub or submit a PR — open source forever.