Lekcja 26 — Wektory na płaszczyźnie

Wektory w ℝ²

Operacje

• Suma: $\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$.
• Skalar: $\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2)$.
• Odejmowanie: $\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$.

Moduł (norma)

$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Wektor jednostkowy

$\hat v = \vec v / |\vec v|$ ma moduł 1. Wersor.

Wektory kanoniczne

$\hat\imath = (1, 0)$, $\hat\jmath = (0, 1)$. Każdy wektor: $\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath$.

Własności

• Przemienność: $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$.
• Łączność: $(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$.
• Tożsamość: $\vec 0 = (0, 0)$, $\vec v + \vec 0 = \vec v$.
• Przeciwny: $\vec v + (-\vec v) = \vec 0$.
• Rozdzielność: $\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha \vec u + \alpha \vec v$.

Te 8 własności charakteryzuje przestrzeń wektorową — formalnie omówione w algebrze liniowej (Trim 12).

Reguła równoległoboku

$\vec u + \vec v$ to przekątna równoległoboku utworzonego przez $\vec u$ i $\vec v$.