Lekcja 27 — Iloczyn skalarny

Definicja i własności

Własności

• Przemienność: $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$.
• Rozdzielność: $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$.
• Liniowość po skalarze: $(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v)$.
• Dodatniość: $\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0$, z równością $\iff \vec u = \vec 0$.

Ortogonalność

$\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$ (ortogonalne ⟺ iloczyn skalarny zero).

Kąt

$\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}$

Rzut

Rzut $\vec u$ na kierunek $\vec v$: $\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v$

Główne zastosowanie — praca mechaniczna

$W = \vec F \cdot \vec d$ — praca siły to jej iloczyn skalarny z przesunięciem.