Lekcja 29 — Układy równań liniowych 2x2 i 3x3

Metody i teoria

Metody rozwiązywania

1. Podstawianie: wyznaczyć jedną zmienną i podstawić do drugiej.
2. Dodawanie (eliminacja): łączyć równania, aby wyeliminować zmienną.
3. Cramer: stosunek wyznaczników.
4. Eliminacja Gaussa: trójkątowanie macierzy.

Cramer 2x2

Dla $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ z $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Cramer 3x3

Wyznacznik 3x3 (Sarrus): $\det A = \sum$ iloczyny przekątnych głównych $-$ iloczyny przekątnych pobocznych.

Klasyfikacja według wyznacznika

• $D \neq 0$: rozwiązanie jednoznaczne.
• $D = 0$ + układ niesprzeczny: nieskończenie wiele rozwiązań (podprzestrzeń afiniczna).
• $D = 0$ + układ sprzeczny: brak rozwiązania.