Lekcja 32 — Operacje na macierzach

Operacje

Suma i różnica

Dla macierzy o tym samym wymiarze: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Mnożenie przez skalar

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

Iloczyn macierzy

Zdefiniowany tylko gdy liczba kolumn $A$ = liczba wierszy $B$: $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

Własności

• Łączność: $(AB)C = A(BC)$.
• Rozdzielność: $A(B + C) = AB + AC$.
• NIE przemienność: w ogólności $AB \neq BA$.
• Jedynka: $AI = IA = A$.
• Zero: $AO = OA = O$.

Dlaczego iloczyn macierzy jest „dziwny"

Ponieważ odpowiada składaniu przekształceń liniowych: zastosowanie najpierw $B$, a potem $A$ to to samo, co zastosowanie $AB$. Kolejność ma znaczenie, ponieważ składanie ma znaczenie.