Lekcja 33 — Macierz transponowana, jednostkowa, odwrotna

Transponowana i odwrotna

Transponowana

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Wiersze są zamieniane z kolumnami. Własności:

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (odwraca kolejność!)

Macierz symetryczna: $A^T = A$.

Jednostkowa

$I_n$: macierz kwadratowa $n \times n$ z 1 na przekątnej i 0 poza nią. Dla każdej $A_{n \times n}$: $AI = IA = A$

Odwrotna

$A_{n \times n}$ jest odwracalna, jeśli istnieje $A^{-1}$ takie, że $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Równoważne:

1. $A$ jest odwracalna.
2. $\det A \neq 0$.
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ma tylko $\mathbf{x} = \mathbf{0}$.
4. Kolumny $A$ są liniowo niezależne.

Odwrotna 2x2

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(Obowiązuje gdy $ad - bc \neq 0$.)

Własności odwrotnej

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (odwraca kolejność!)
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$