Lekcja 34 — Wyznaczniki 2x2 i 3x3

Obliczanie i własności

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 (Sarrus)

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

(Reguła „3 iloczyny opadające − 3 iloczyny wstępujące".)

Własności

1. $\det(I) = 1$.
2. $\det(A^T) = \det(A)$.
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
4. $\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$ dla $A_{n \times n}$.
5. $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
6. Zamiana 2 wierszy/kolumn zmienia znak.
7. Jeśli $A$ ma 2 równe wiersze/kolumny, $\det A = 0$.
8. Dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego nie zmienia wyznacznika.

Interpretacja geometryczna

• $|\det A|$ = objętość równoległościanu rozpiętego przez kolumny $A$.
• $\det A > 0$: orientacja zachowana. $\det A < 0$: orientacja odwrócona.
• $\det A = 0$: kolumny liniowo zależne (równoległościan „spłaszczony").

Kryterium odwracalności

$A$ odwracalna $\iff \det A \neq 0$.