Lekcja 35 — Rozwiązywanie układów za pomocą macierzy

Metody rozwiązywania

Postać macierzowa

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ z $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

Metoda 1 — Eliminacja Gaussa

Operacje elementarne (nie zmieniają rozwiązania):

1. Zamiana dwóch wierszy.
2. Pomnożenie wiersza przez niezerowy skalar.
3. Dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego.

Cel: trójkątny widok macierzy rozszerzonej $[A | \mathbf{b}]$ aż do postaci schodkowej. Następnie podstawienie wsteczne.

Metoda 2 — Cramer

Dla $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ z $\det A \neq 0$: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

gdzie $A_i$ to $A$ z $i$-tą kolumną zastąpioną przez $\mathbf{b}$.

Metoda 3 — Odwrotność

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$. $A^{-1}$ można obliczyć przez $[A | I] \to [I | A^{-1}]$ za pomocą eliminacji.

Kiedy używać której

• Cramer: ładny teoretycznie, ale $O(n^4)$ — używany tylko dla $n \leq 3$.
• Gauss: $O(n^3)$, standard w praktyce.
• Jawna odwrotność: tylko gdy trzeba rozwiązać wiele układów z tym samym $A$.

Klasyfikacja

• Oznaczony: jednoznaczne rozwiązanie ($\det A \neq 0$).
• Nieoznaczony: nieskończenie wiele rozwiązań ($\det A = 0$ + spójny).
• Sprzeczny: brak rozwiązania ($\det A = 0$ + niespójny).