Lição 36 — Princípio Fundamental da Contagem

Osoba ma 3 koszule i 4 spodnie. Na ile różnych sposobów może wybrać jedną koszulę i jedne spodnie do ubrania się?

Menu ma 5 dań głównych, 3 dodatki i 4 desery. Ile różnych posiłków (1 danie + 1 dodatek + 1 deser) jest możliwych?

Ile haseł 3-cyfrowych numerycznych jest możliwych, z dozwolonymi powtórzeniami?

Ile haseł 3-cyfrowych numerycznych jest możliwych jeśli cyfry nie mogą się powtarzać?

Ile liczb całkowitych 4-cyfrowych ma pierwszą cyfrę różną od zera?

Tablica pojazdu w starym standardzie ma 3 litery (A-Z) następnie 4 cyfry (0-9), z dozwolonymi powtórzeniami w obu. Ile różnych tablic jest możliwych?

Stowarzyszenie ma 8 członków. Ile różnych kadr prezesa, sekretarza i skarbnika można utworzyć (jedna osoba nie może zajmować dwóch stanowisk)?

Trzy monety są rzucane jednocześnie. Ile różnych wyników jest możliwych?

Dwie zwykłe kostki (ścianami 1 do 6) są rzucane. Ile par uporządkowanych $(d_1, d_2)$ wyników jest możliwych?

Na ile sposobów można ułożyć 5 różnych książek na półce?

Ile anagramów (przearanżowań liter) ma słowo AMOR, używając wszystkich 4 liter?

Ile podzbiorów ma zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (łącznie zbiór pusty i sam siebie)?

Trzy różne nagrody (1., 2. i 3. miejsce) będą rozprowadzane pośród 5 kandydatów. Każdy kandydat może otrzymać najwyżej jedną nagrodę. Ile różnych podziałów jest możliwych?

Ile ciągów binarnych (sekwencji 0 i 1) długości 10 istnieje?

Ile funkcji $f: \{1, 2, 3\} \to \{a, b\}$ istnieje?

Liczba 5-cyfrowa jest palindromiczna (palindrom) gdy czytana w obydwu kierunkach jest równa (np.: 12321). Ile palindromicznych liczb 5-cyfrowych istnieje?

Ile sekwencji DNA długości 10 jest możliwych? (Używaj bazy A, T, C, G — 4 bazy.)

Ile liczb 4-cyfrowych z różnymi cyframi (bez powtórzeń) ma pierwszą cyfrę różną od zera?

Na ile sposobów można wybrać przedstawiciela i wiceprzedstawiciela różnych w klasie 6 uczniów (kolejność ma znaczenie: reprezentant $\neq$ wiceprzedstawiciel)?

Test Prawda lub Fałsz ma 4 pytania. Ile różnych wzorów odpowiedzi jest możliwych?

Ile liczb całkowitych 3-cyfrowych ma środkową cyfrę parzystą (0, 2, 4, 6 lub 8)?

Ile haseł 4-cyfrowych zaczyna się cyfrą 1 i kończy cyfrą 9?

Ile PINów 4-cyfrowych ma wszystkie cyfry różne (bez powtórzeń)?

Student może jechać ze szkoły do domu autobusem (3 dostępne linie) lub metrem (2 linie). Na ile różnych sposobów może zrobić trasę?

Jeśli $A$ i $B$ są zbiorami z niepustą częścią wspólną, jaka jest poprawna formuła dla $|A \cup B|$?

Na konkurencji 6 sportowców rywalizuje o medale złoty, srebrny i brązowy (3 różne pozycje). Na ile sposobów podium może być utworzone?

Ile anagramów (przearanżowań używających wszystkich liter) ma słowo 6 liter, wszystkie różne?

Dwie zwykłe kostki (ścianami 1 do 6) są rzucane. Ile par uporządkowanych $(d_1, d_2)$ skutkuje sumą parzystą?

Hasło ma 6 znaków alfanumerycznych (a-z małe lub 0-9), z dozwolonymi powtórzeniami. Napisz wyrażenie dla liczby haseł zawierających przynajmniej jedną cyfrę numeryczną.

Ile ścieżek istnieje na płaszczyźnie kartezjańskiej z $(0, 0)$ do $(3, 2)$, poruszając się tylko prawo $(+1, 0)$ lub góra $(0, +1)$ na każdym kroku?

Ile liczb całkowitych 3-cyfrowych (między 100 i 999) nie zawiera cyfry 0?

W talii 52 kart (26 czerwonych, 26 czarnych; 4 króle razem), ile kart jest czerwonych lub króli? Jaka formuła się stosuje i dlaczego?

Algorytm szyfrowania AES-128 używa kluczy 128 bitów (każdy bit to 0 lub 1). Ile różnych kluczy istnieje? Uzasadnij używając reguły mnożenia.

Bankomat wymaga PIN 4 cyfr. Ile różnych PINów zaczyna się cyfrą 1?

Restauracja oferuje 8 dań: 3 z mięsem i 5 wegetariańskich. Klient wegetarianin wybiera dokładnie 1 danie. Ile opcji ma?

Adres sieci IPv4 jest reprezentowany przez 32 bity (każdy bit to 0 lub 1). Ile różnych adresów IPv4 istnieje?

5 różnych książek zostanie ułożonych na półce. 2 z tych książek muszą być zawsze razem (obok siebie). Na ile sposobów ułożenie można zrobić?

5 różnych książek zostanie ułożonych na półce. Na ile sposobów książki A i B są rozdzielone (nigdy obok siebie)?

Niech $A$ ma $m$ elementów i $B$ ma $n$ elementów, z $m \leq n$. Określ liczbę funkcji injektywnych $f: A \to B$. Uzasadnij przez regułę mnożenia.

Z 5 różnych książek (A, B, C, D, E) ułożonych na półce, ile ułożeń istnieje gdzie A i B są rozdzielone I C i D są rozdzielone? (Wyzwanie: zastosuj inkluzja-ekskluzja dwa razy.)