v1 · padrão canônico

Lição 38 — Combinações e binômio de Newton

Combinação C(n,r): selecionar r objetos de n sem importar a ordem. Triângulo de Pascal, identidade de Pascal, teorema do binômio de Newton.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math I japonês cap. 2 · Equiv. Klasse 10–11 alemã Stochastik

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rigorystyczna

Właściwości fundamentalne

Definition· Właściwości współczynników dwumiennych

Właściwość	Formuła
Przypadki skrajne	$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
Przypadek jednostkowy	$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$
Symetria	$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$
Rekursja Pascala	$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$
Suma całkowita	$\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$
Suma naprzemiennie	$\displaystyle\sum_{r=0}^{n} (-1)^r \binom{n}{r} = 0$ dla $n \geq 1$

Trójkąt Pascala

Rekursja Pascala $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$ generuje trójkąt. Każdy wpis to suma dwóch bezpośrednio powyżej.

Trójkąt Pascala — wiersze 0 do 6. Wiersz 4 (wyróżniony) zawiera współczynniki $(a+b)^4$ .

Twierdzenie dwumianu Newtona

"Współczynnik dwumianowy $\binom{n}{r}$ to liczba podzbiorów $r$ elementów ze zbioru z $n$ elementami." — Hammack, Book of Proof 3ª ed., §3.3

"Każda liczba w trójkącie Pascala to suma dwóch liczb bezpośrednio powyżej." — Levin, Discrete Mathematics: An Open Introduction, §1.2

Przykłady rozwiązane

Example· Bezpośrednie obliczenie kombinacji

Problem: Nauczyciel chce wybrać 3 uczniów z klasy 10 do reprezentowania szkoły na olimpiadzie. Na ile sposobów może dokonać tego wyboru?

Strategia: Kolejność wybranych nie ma znaczenia — dowolna grupa 3 uczniów reprezentuje szkołę równie dobrze. Używamy formuły kombinacji.

Rozwiązanie:

Identyfikuj $n$ i $r$ : $n = 10$ (razem uczniów), $r = 3$ (uczniów do wybrania).
Zastosuj formułę: $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10!}{3!\cdot 7!}$
Upraszczaj — anuluj $7!$ : $= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Wniosek: Istnieje 120 różnych grup 3 uczniów.

Weryfikacja: $\binom{10}{3} = \binom{10}{7}$ (symetria) $= \frac{10!}{7!\cdot3!} = 120$ . Spójne.

Źródło. Hammack, Book of Proof 3ª ed., §3.3, ex. 3 — licencja CC-BY-ND.

Example· Kombinacja vs. permutacja — bezpośredni kontrast

Problem: Klub ma 8 członków. (a) Na ile sposobów można wybrać kierownictwo 3 stanowisk (prezes, wiceprezes i skarbnik)? (b) Na ile sposobów można wybrać komisję 3 członków bez rozróżnienia stanowisk?

Strategia: (a) Kolejność ma znaczenie: trzy stanowiska to różne. Używamy permutacji. (b) Kolejność nie ma znaczenia: dowolna grupa 3 jest równoważna. Używamy kombinacji.

Rozwiązanie:

(a) Kierownictwo (permutacja): $P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

(b) Komisja (kombinacja): $\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$

Relacja między wynikami: $P(8, 3) = 3! \cdot \binom{8}{3}$ ponieważ $336 = 6 \cdot 56$ . Każda komisja 3 może być zorganizowana na $3! = 6$ różnych sposobów poprzez przypisanie stanowisk.

Źródło. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §13.5, example 4 — licencja CC-BY 4.0.

Example· Tożsamość Pascala i trójkąt

Problem: (a) Zweryfikuj tożsamość Pascala dla $n = 6$ , $r = 2$ : $\binom{5}{1} + \binom{5}{2} = \binom{6}{2}$ . (b) Skonstruuj wiersze 0 do 5 trójkąta Pascala i zlokalizuj $\binom{5}{2}$ .

Strategia: (a) Oblicz każdy dwumian i zweryfikuj równość numerycznie. (b) Zastosuj rekursję: każdy wpis to suma dwóch powyżej.

Rozwiązanie:

(a) Weryfikacja numeryczna: $\binom{5}{1} = 5, \qquad \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\cdot 3!} = 10, \qquad \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\cdot 4!} = 15$

$\binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 5 + 10 = 15 = \binom{6}{2} \checkmark$

(b) Trójkąt Pascala (wiersze 0 do 5):

\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}

W wierszu 5, trzeci wpis (pozycja $r = 2$ ) to $\binom{5}{2} = 10$ .

Weryfikacja: Tożsamość Pascala jest widoczna wizualnie: każda liczba to suma dwóch powyżej.

Źródło. Hammack, Book of Proof 3ª ed., §3.4 — licencja CC-BY-ND.

Example· Rozwinięcie dwumianem Newtona — wyraz ogólny

Problem: Rozwiń $(2x - 3)^4$ dwumianem Newtona i znajdź współczynnik $x^2$ .

Strategia: Identyfikuj $a = 2x$ , $b = -3$ , $n = 4$ . Zastosuj $T_{r+1} = \binom{4}{r}(2x)^{4-r}(-3)^r$ . Dla wyrazu $x^2$ , wykładnik $x$ musi być 2, dlatego $4 - r = 2$ , czyli $r = 2$ .

Rozwiązanie:

$r$	$\binom{4}{r}$	$(2x)^{4-r}$	$(-3)^r$	Wyraz
0	1	$16x^4$	1	$16x^4$
1	4	$8x^3$	$-3$	$-96x^3$
2	6	$4x^2$	$9$	$216x^2$
3	4	$2x$	$-27$	$-216x$
4	1	$1$	$81$	$81$

$(2x - 3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$

Współczynnik $x^2$ : $\binom{4}{2}(2)^2(-3)^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = \mathbf{216}$ .

Weryfikacja (przypadek szczególny): Dla $x = 1$ : $(2 - 3)^4 = 1$ . Obliczając rozwinięcie: $16 - 96 + 216 - 216 + 81 = 1$ . $\checkmark$

Źródło. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §13.6, example 3 — licencja CC-BY 4.0.

Example· Prawdopodobieństwo rąk pokera

Problem: W talii 52 kart (4 kolory, 13 kart na kolor), oblicz: (a) całkowitą liczbę rąk 5 kart; (b) liczbę rąk z dokładnie 2 asami; (c) prawdopodobieństwo, że ręka ma dokładnie 2 asy.

Strategia: Używaj kombinacji do zliczania podzbiorów. Talia ma 4 asy i 48 asów-nie. Dla (b): wybierz 2 z 4 asów i 3 z 48 pozostałych kart.

Rozwiązanie:

(a) Całkowita liczba rąk: $\binom{52}{5} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{120} = 2\,598\,960$

(b) Ręce z dokładnie 2 asami: $\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3} = 6 \cdot 17\,296 = 103\,776$

(c) Prawdopodobieństwo: $P(\text{dokładnie 2 asy}) = \frac{103\,776}{2\,598\,960} \approx 0{,}0399 \approx 4\%$

Interpretacja: Około 4 na każde 100 rąk pokera będzie mieć dokładnie 2 asy.

Weryfikacja: $\binom{48}{3} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46}{6} = \frac{103\,776}{6} = 17\,296$ . Prawidłowe.

Źródło. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §13.5, example 6 — licencja CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 3Modeling 9Challenge 1Proof 1

Ex. 38.1Application
Oblicz $\binom{5}{2}$ .
Solve online
Ex. 38.2ApplicationAnswer key
Oblicz $\binom{8}{3}$ .
Solve online
Ex. 38.3Application
Oblicz $\binom{10}{5}$ .
Solve online
Ex. 38.4Application
Jaka jest wartość $\binom{n}{0}$ dla każdego $n \geq 0$ ? Uzasadnij kombinatorycznie.
Solve online
Ex. 38.5Application
Jaka jest wartość $\binom{n}{1}$ dla każdego $n \geq 1$ ? Uzasadnij kombinatorycznie.
Solve online
Ex. 38.6ApplicationAnswer key
Oblicz $\binom{20}{18}$ używając symetrii $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ .
Solve online
Ex. 38.7ApplicationAnswer key
Zweryfikuj numerycznie tożsamość Pascala: $\binom{6}{2} + \binom{6}{3} = \binom{7}{3}$ . Oblicz wszystkie trzy dwumiany.
Solve online
Ex. 38.8Application
Na ile różnych sposobów można wybrać komisję 4 członków z grupy 10 osób?
Solve online
Ex. 38.9Application
Mega-Sena losuje 6 liczb z 60 dostępnych. Ile różnych prostych obstawień istnieje?
Solve online
Ex. 38.10Application
Ile grup 4 można utworzyć z 15 studentów?
Solve online
Ex. 38.11Application
Ile różnych podzbiorów (włącznie z pustym i całym zbiorem) ma zbiór $\{a, b, c, d, e\}$ ?
Solve online
Ex. 38.12ApplicationAnswer key
Ile różnych rąk 5 kart można wylosować z talii 52 kart?
Solve online
Ex. 38.13Application
Jaki jest współczynnik $x^3$ w rozwinięciu $(1 + x)^5$ dwumianem Newtona?
Solve online
Ex. 38.14Application
Jaki jest współczynnik $x^4 y^2$ w rozwinięciu $(x + y)^6$ ?
Solve online
Ex. 38.15Application
Rozwiń $(x + 1)^4$ dwumianem Newtona. Napisz wszystkie wyrazy.
Solve online
Ex. 38.16Application
Rozwiń $(2x - 3)^3$ dwumianem Newtona.
Solve online
Ex. 38.17ApplicationAnswer key
Jaki jest wyraz środkowy (4. wyraz, $T_4$ ) z $(a + b)^6$ ?
Solve online
Ex. 38.18Application
Jaki jest współczynnik $x^7$ w rozwinięciu $(2x + 3)^{10}$ ?
Solve online
Ex. 38.19Application
Znajdź wartość $p$ taką że $\binom{20}{p} = \binom{20}{p-2}$ .
Solve online
Ex. 38.20Application
Jaki jest współczynnik $x^{10}$ w rozwinięciu $(1 + x)^{20}$ ?
Solve online
Ex. 38.21Application
Zweryfikuj jawnie dla $n = 5$ że $\displaystyle\sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r} = 2^5$ . Wymień wszystkie wyrazy.
Solve online
Ex. 38.22Application
Ile różnych trójkątów można utworzyć łącząc 3 wierzchołkami ośmiokąta foremnego?
Solve online
Ex. 38.23Application
Ile przekątnych ma wielokąt 10 boków?
Solve online
Ex. 38.24Application
Oblicz $\binom{9}{3}$ .
Solve online
Ex. 38.25Application
Napisz wszystkie wartości 7. wiersza (indeks 6) trójkąta Pascala.
Solve online
Ex. 38.26ApplicationAnswer key
Jaki jest współczynnik $x^5$ w rozwinięciu $(1 + x)^{10}$ ?
Solve online
Ex. 38.27Understanding
Jaka jest fundamentalna różnica między kombinacją $\binom{n}{r}$ a permutacją $P(n, r)$ ?
Solve online
Ex. 38.28Modeling
Z grupy 10 mężczyzn i 8 kobiet, ile komisji 5 osób można utworzyć z dokładnie 3 mężczyznami i 2 kobietami?
Solve online
Ex. 38.29ModelingAnswer key
Ile rozwiązań całkowitych nieujemnych ma równanie $x + y + z = 10$ ?
Solve online
Ex. 38.30Modeling
W talii 52 kart, ile rąk 5 kart ma dokładnie 2 asy?
Solve online
Ex. 38.31Modeling
Ile różnych ścieżek istnieje z $(0, 0)$ do $(5, 3)$ używając tylko kroków jednostkowych w prawo lub w górę?
Solve online
Ex. 38.32Modeling
Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej Mega-Seny z jednym kuponem (6 liczb z 60)?
Solve online
Ex. 38.33ModelingAnswer key
W badaniu rynkowym analityk musi wybrać 5 produktów do analizy z portfela 20. Na ile sposobów może dokonać tego wyboru?
Solve online
Ex. 38.34Modeling
Moneta uczciwa jest rzucana 10 razy. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 5 orłów używając rozkładu dwumianowego $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .
Solve online
Ex. 38.35Modeling
Na ile sposobów 8 identycznych cukierków można rozdzielić między 3 dzieci (każde dziecko może otrzymać zero lub więcej cukierków)?
Solve online
Ex. 38.36ModelingAnswer key
W klasie 30 uczniów, ile zespołów 5 można utworzyć?
Solve online
Ex. 38.37Understanding
Dlaczego $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ ? Jaka jest prawidłowa interpretacja kombinatoryczna?
Solve online
Ex. 38.38Understanding
Jaka jest najelegantsza metoda wykazania że $\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$ ?
Solve online
Ex. 38.39ChallengeAnswer key
Jaki jest współczynnik wyrazu niezależnego od $x$ w rozwinięciu $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{10}$ ?
Solve online
Ex. 38.40Proof
Wykaż twierdzenie dwumianu przez indukcję w $n$ . Wyraźnie identyfikuj gdzie tożsamość Pascala jest używana w kroku indukcji.
Solve online

Źródła

Book of Proof, 3ª ed. — Richard Hammack · 2018 · EN · CC-BY-ND · §3.1 (Listy i kombinacje), §3.3 (Podzbiory), §3.4 (Trójkąt Pascala i dwumian). Źródło podstawowe.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §13.5 (Zasady zliczania), §13.6 (Twierdzenie dwumianu).
Discrete Mathematics: An Open Introduction, 3ª ed. — Oscar Levin · 2019 · EN · CC-BY-SA · §1.2–§1.3 (Współczynniki dwumianu i tożsamości kombinatoryczne).

Lição 38 — Combinações e binômio de Newton

Definicja rigorystyczna

Kombinacja prosta

Relacja z permutacjami

Właściwości fundamentalne

Trójkąt Pascala

Twierdzenie dwumianu Newtona

Przykłady rozwiązane

Exercise list

Źródła