v1 · padrão canônico

Lição 40 — Consolidação anual: workshop integrador Ano 1

Workshop final do Ano 1. Problemas que combinam funções, trigonometria, geometria analítica, vetores, matrizes, combinatória e probabilidade.

Used in: Capstone 1.º ano EM · Equiv. Math I+II japonês revisão · Equiv. Abitur-Vorbereitung alemão

\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Synteza aksjomatyczna Roku 1

Cztery filary

Rok 1 zbudował cztery filary stanowiące substrat rachunku różniczkowego, algebry liniowej i prawdopodobieństwa:

Definition· Filar 1 — Funkcje i analiza (Trim 1)

Dziedzina, przeciwdziedzina, złożenie i inverz: $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_D$ .
Funkcje liniowe, kwadratowe, wykładnicze $a^x$ i logarytmiczne $\log_a x$ .
Średnia szybkość zmian:

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

(TVM)

what this means · Iloraz zmian f między dwoma punktami. Dla funkcji liniowej jest stały; dla funkcji nieliniowych zmienia się z przedziałem — a w granicy gdy b → a staje się pochodną.

Intuicyjna granica ciągu: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$ .

"The average rate of change of a function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . We can think of this as the slope of the line connecting the two points $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$ ." — Active Calculus §1.3

Definition· Filar 2 — Trygonometria i ciągi (Trim 2)

Okrąg trygonometryczny, tożsamość fundamentalna: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .
Prawo sinusów: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ .
Prawo cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ .
Ciąg arytmetyczny (AP) i geometryczny (GP):

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}

(PA)

what this means · Suma n pierwszych wyrazów AP z wyrazem pierwszym a₁ i różnicą r.

S_n = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1}

(PG)

what this means · Suma n pierwszych wyrazów GP z ilorazem q ≠ 1. Gdy |q| < 1 i n → ∞, suma zbiega do a₁/(1-q).

Definition· Filar 3 — Geometria analityczna i wektory (Trim 3)

Odległość między punktami: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ .
Równanie prostej: $y = mx + b$ lub postać ogólna $ax + by + c = 0$ .
Stożki: okrąg, elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , hiperbola, parabola.
Iloczyn skalarny i kąt między wektorami:

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta

(PE)

what this means · Iloczyn skalarny jest zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są prostopadłe. Kąt θ otrzymujemy dzieląc iloczyn skalarny przez iloczyn modułów.

"The dot product is distributive over addition and satisfies $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$ where $\theta$ is the angle between $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.4

Definition· Filar 4 — Algebra liniowa, kombinatoryka i prawdopodobieństwo (Trim 4)

Macierze, wyznacznik (reguła Sarrusa lub rozwinięcie Laplace'a), inverz $A \cdot A^{-1} = I$ .
Systemy $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ : eliminacja Gaussa, reguła Cramera.
Zliczanie strukturalne:

\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}

(Comb)

what this means · Liczba podzbiorów wielkości p zbioru n elementów. Kolejność nie ma znaczenia. Wariacja A_n^p = n!/(n-p)! liczy gdy kolejność ma znaczenie.

Prawdopodobieństwo warunkowe i Twierdzenie Bayesa:

P(A|B) = \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B|A)\,P(A) + P(B|\bar{A})\,P(\bar{A})}

(Bayes)

what this means · Bayes odwraca warunkowe: biorąc pod uwagę że B zaszło, jakie jest prawdopodobieństwo A? Mianownik to prawdopodobieństwo całkowite B, obliczone prawem prawdopodobieństwa całkowitego.

"Bayes' theorem gives a mathematical rule for revising an estimate or forecast in light of experience and new information." — OpenIntro Statistics §3.2

Mapa po trimestrach

Trim	Tematy centralne	Lekcje
1	Zbiory, funkcje, szybkość zmian, wykładnicze/log	1–10
2	Trygonometria, ciągi (AP/GP), intuicyjna granica	11–20
3	Geometria analityczna, stożki, wektory, systemy liniowe	21–30
4	Macierze, wyznaczniki, kombinatoryka, prawdopodobieństwo	31–40

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Funkcja złożona + szybkość zmian (Trim 1)

Problem: Niech $f(x) = x^2 - 1$ i $g(x) = 2x + 3$ . (a) Oblicz $(f \circ g)(x)$ . (b) Oblicz $\text{TVM}_{[0,2]}$ z $h = f \circ g$ .

Strategia: Najpierw złożenie; potem zastosuj definicję TVM. Dwa pojęcia z Trim 1 połączone łańcuchowo.

Rozwiązanie:

Złożenie: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+3) = (2x+3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 8$ .
TVM na przedziale $[0, 2]$ :

$\text{TVM}_{[0,2]} = \frac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \frac{(4 \cdot 4 + 24 + 8) - (0 + 0 + 8)}{2} = \frac{48 - 8}{2} = 20.$

Weryfikacja: $h(0) = 4(0) + 12(0) + 8 = 8$ . $h(2) = 4(4) + 12(2) + 8 = 16 + 24 + 8 = 48$ . $\frac{48-8}{2} = 20$ . Poprawnie.

Źródło. Stitz–Zeager Precalculus §4.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Prawo cosinusów + tożsamość trygonometryczna (Trim 2)

Problem: W trójkącie z $a = 7$ , $b = 5$ i $C = 120°$ , określ bok $c$ i $\cos A$ .

Strategia: Prawo cosinusów na $c$ ; potem drugie zastosowanie na $\cos A$ . Łańcuchuje dwa użycia tej samej prawa.

Rozwiązanie:

Oblicz $c$ :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 49 + 25 - 2(7)(5)\cos(120°).$

$\cos(120°) = -\frac{1}{2}, \text{ zatem } c^2 = 74 - 70 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 74 + 35 = 109.$

$c = \sqrt{109} \approx 10{,}44.$

Oblicz $\cos A$ (prawo cosinusów: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ ):

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 109 - 49}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{109}} = \frac{85}{10\sqrt{109}}.$

Weryfikacja: $85 / (10\sqrt{109}) \approx 85/104{,}4 \approx 0{,}814$ , zatem $A \approx 35{,}4°$ . Kąt mniejszy niż $C = 120°$ — zgodnie z bokiem przeciwnym $a = 7 < c = \sqrt{109}$ .

Źródło. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.2 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Stożek + system liniowy (Trim 3 skrzyżowany z Trim 4)

Problem: Określ punkty przecięcia elipsy $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ z linią $y = x - 1$ .

Strategia: Zamieniając linię w równanie stożka generujemy równanie kwadratowe. System stożek + linia — klasyczny problem geometrii analitycznej.

Rozwiązanie:

Zamień $y = x - 1$ :

$\frac{x^2}{25} + \frac{(x-1)^2}{9} = 1.$

MMC = 225, pomnóż wszystko przez 225:

$9x^2 + 25(x-1)^2 = 225.$

$9x^2 + 25x^2 - 50x + 25 = 225 \implies 34x^2 - 50x - 200 = 0 \implies 17x^2 - 25x - 100 = 0.$

Rozwiąż Bhaskara:

$\Delta = 625 + 4 \cdot 17 \cdot 100 = 625 + 6800 = 7425.$

$x = \frac{25 \pm \sqrt{7425}}{34} = \frac{25 \pm 15\sqrt{33}}{34}.$

Współrzędne $y$ : $y = x - 1$ w każdym przypadku.

Weryfikacja: dwa punkty spełniają obie równania (sprawdzić numerycznie podstawiając $x \approx 3{,}28$ i $x \approx -1{,}81$ ).

Źródło. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §12.3 — CC-BY 4.0.

Example— 4· Wyznacznik + prawdopodobieństwo warunkowe (Trim 4)

Problem: Macierz $A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & k-1 \end{pmatrix}$ ma wyznacznik zero dla $k = ?$ . Następnie: w urnie z 4 kulkami czerwonymi i 6 niebieskimi, wyjmujemy jedną kulkę bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo że druga będzie niebieska, biorąc pod uwagę że pierwsza była czerwona?

Strategia: Dwa problemy z Trim 4 w sekwencji — wyznacznik i prawdopodobieństwo warunkowe.

Rozwiązanie:

Część 1 — Wyznacznik:

$\det A = k(k-1) - 6 = k^2 - k - 6 = (k-3)(k+2) = 0.$

Zatem $k = 3$ lub $k = -2$ .

Część 2 — Prawdopodobieństwo warunkowe:

Zdarzenie $B_2$ : druga kulka jest niebieska. Zdarzenie $V_1$ : pierwsza kulka jest czerwona.

$P(B_2 | V_1) = \frac{\text{niebieskie pozostałe}}{\text{total pozostałe}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$

Weryfikacja: Po wyjęciu jednej kulki czerwonej, pozostało $10 - 1 = 9$ kulek, z których 6 jest niebieskich. Poprawnie.

Źródło. OpenStax College Algebra 2e §11.4 i §11.5 — CC-BY 4.0.

Example— 5· Problem integracyjny (Trim 1 + 2 + 3 + 4)

Problem: Firma modeluje jej miesięczny zysk (w tysiącach reali) przez $L(t) = 10 + 3t - t^2/10$ , gdzie $t$ to miesiąc ( $t = 1, 2, \ldots, 12$ ). (a) Oblicz TVM z $L$ między $t = 2$ i $t = 8$ . (b) Wektor $\mathbf{v} = (L(3),\, L(6))$ wskazuje na którą ćwiartkę? (c) Ile strategie marketingu są możliwe jeśli firma wybiera 2 z 5 dostępnych kanałów (kolejność nie ma znaczenia)?

Strategia: Część (a) używa Trim 1 (TVM). Część (b) używa Trim 3 (wektory na płaszczyźnie). Część (c) używa Trim 4 (kombinacje). Wyraźnie problem integracyjny.

Rozwiązanie:

Część (a) — TVM:

$L(2) = 10 + 6 - 0{,}4 = 15{,}6$ . $L(8) = 10 + 24 - 6{,}4 = 27{,}6$ .

$\text{TVM}_{[2,8]} = \frac{27{,}6 - 15{,}6}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2.$

Zysk rośnie średnio 2 tysiące reali na miesiąc w tym okresie.

Część (b) — Wektor:

$L(3) = 10 + 9 - 0{,}9 = 18{,}1$ i $L(6) = 10 + 18 - 3{,}6 = 24{,}4$ .

$\mathbf{v} = (18{,}1;\, 24{,}4)$ . Obie współrzędne dodatnie: pierwsza ćwiartka.

Część (c) — Kombinacje:

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = 10 \text{ możliwych strategii}.$

Źródło. OpenStax College Algebra 2e §11.3 i §11.5 — CC-BY 4.0.

Exercise list

50 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 9Modeling 9Challenge 3Proof 1 1

Ex. 40.1Application
Jaka jest maksymalna dziedzina $f(x) = \log_2(x^2 - 9)$ ?
Solve online
Ex. 40.2ApplicationAnswer key
Oblicz średnią szybkość zmian $f(x) = x^2 - 3x$ na przedziale $[1, 4]$ .
Solve online
Ex. 40.3ApplicationAnswer key
Niech $f(x) = x^2$ i $g(x) = 2x + 1$ . Oblicz $(f \circ g)(2)$ i $(g \circ f)(2)$ .
Solve online
Ex. 40.4Application
Znajdź funkcję odwrotną do $f(x) = \dfrac{x - 3}{2}$ .
Solve online
Ex. 40.5Application
Rozwiąż równanie wykładnicze $4^x = 32$ .
Solve online
Ex. 40.6Modeling
Kolonia bakterii zaczyna z 100 jednostkami i podwaja się każde 30 minut. Ile bakterii będzie po 3 godzinach?
Solve online
Ex. 40.7Modeling
Kapitał R$ 1.000 jest inwestowany na 10% rocznie (odsetki złożone). Jaka jest suma po 7 latach?
Solve online
Ex. 40.8Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{n + 1}$ .
Solve online
Ex. 40.9ApplicationAnswer key
Dla $f(x) = x^2 - 6x + 5$ , określ wierzchołek i pierwiastkami funkcji.
Solve online
Ex. 40.10Understanding
Czy średnia szybkość zmians $f(x) = x^2$ jest stała dla dowolnych przedziałów $[a, b]$ ?
Solve online
Ex. 40.11UnderstandingAnswer key
Jaka jest dziedzina $g(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$ ?
Solve online
Ex. 40.12UnderstandingAnswer key
Jaka jest odwrotna do $f(x) = 3^x$ , i jaka jest dziedzina $f^{-1}$ ?
Solve online
Ex. 40.13Application
Oblicz $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ .
Solve online
Ex. 40.14Application
Rozwiąż $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ na $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 40.15Application
W trójkącie z $a = 5$ , $b = 7$ i $C = 60°$ , oblicz bok $c$ używając prawa cosinusów.
Solve online
Ex. 40.16Modeling
Wysokość pływu (w metrach) jest modelowana przez $h(t) = 2 + 1{,}5\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ . Jakie są wysokości maksymalna i minimalna?
Solve online
Ex. 40.17Application
W AP z $a_1 = 3$ i różnicą $r = 5$ , oblicz $a_{20}$ i $S_{20}$ .
Solve online
Ex. 40.18ApplicationAnswer key
W GP z $a_1 = 2$ i ilorazem $q = 3$ , oblicz $S_8$ .
Solve online
Ex. 40.19Application
Oblicz sumę $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$
Solve online
Ex. 40.20ApplicationAnswer key
Oblicz $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$ używając formuły Gaussa.
Solve online
Ex. 40.21Modeling
Okres prostego wahadła o długości $L = 1$ m jest dany przez $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , z $g = 9{,}8$ m/s². Oblicz $T$ .
Solve online
Ex. 40.22Understanding
Substancja radioaktywna ma półżycie 5 dni. Zaczynając ze 100 g, ile pozostaje po 25 dniach?
Solve online
Ex. 40.23Application
Oblicz odległość między punktami $(2, 3)$ i $(8, 11)$ .
Solve online
Ex. 40.24Application
Określ równanie linii która przechodzi przez punkty $(0, 4)$ i $(2, 0)$ .
Solve online
Ex. 40.25Application
Napisz równanie okręgu z centrum $(2, -1)$ i promieniem $5$ .
Solve online
Ex. 40.26Application
Oblicz iloczyn skalarny wektorów $(3, 4)$ i $(1, 2)$ , i kąt między nimi.
Solve online
Ex. 40.27Application
Oblicz wyznacznik $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 40.28Answer key
Rozwiąż system $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ używając reguły Cramera.
Solve online
Ex. 40.29Application
Oblicz $A^{-1}$ dla $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 40.30Understanding
Które z poniższych tożsamości macierzowych są prawdziwe dla kompatybilnych macierzy $A$ i $B$ ?
Solve online
Ex. 40.31Modeling
Samolot leci z szybkością 600 km/h w kierunku północnym. Jest wiatr z szybkością 80 km/h w kierunku wschodnim. Jaka jest wypadkowa szybkość i efektywny kierunek?
Solve online
Ex. 40.32Understanding
Zidentyfikuj stożek $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ i określ jego półosie i ogniska.
Solve online
Ex. 40.33ChallengeAnswer key
Ile punktów wspólnych ma linia $y = x - 1$ z okręgiem $x^2 + y^2 = 25$ ? Uzasadnij dyskryminantą i znajdź punktami.
Solve online
Ex. 40.34UnderstandingAnswer key
Sklasyfikuj system $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 7 \end{cases}$ (możliwy/niemożliwy; unikalne rozwiązanie/nieskończone).
Solve online
Ex. 40.35UnderstandingAnswer key
Czy jest prawdą że $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ dla odwracalnych macierzy kwadratowych $A$ i $B$ ?
Solve online
Ex. 40.36ChallengeAnswer key
Dla których wartości $k$ macierz $\begin{pmatrix} k & 1 \\ 4 & k \end{pmatrix}$ jest osobliwa (wyznacznik zero)?
Solve online
Ex. 40.37Application
Oblicz $5!$
Solve online
Ex. 40.38Application
Oblicz $\dbinom{8}{3}$ .
Solve online
Ex. 40.39Application
Ile anagramów (zmian wszystkich liter) ma słowo "PROBLEM" z 8 różnymi literami?
Solve online
Ex. 40.40Modeling
Restauracja oferuje 5 opcji przystawki, 4 dania główne i 3 desery. Ile odrębnych menu 3-daniowych (jedno każde) jest możliwych?
Solve online
Ex. 40.41Modeling
W Mega-Senie gracz wybiera 6 liczb spośród 60. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia 6 wylosowanych liczb?
Solve online
Ex. 40.42Application
Rzuca się uczciwą monetę 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 3 orłów?
Solve online
Ex. 40.43Application
$X \sim \mathrm{Bin}(6,\ 0{,}5)$ . Oblicz $P(X = 3)$ .
Solve online
Ex. 40.44Modeling
Rzadka choroba z $P(D) = 0{,}001$ . Test z czułością $99\%$ i specyficznością $95\%$ . Biorąc pod uwagę że test dał pozytyw, jakie jest prawdopodobieństwo mieć chorobę?
Solve online
Ex. 40.45Application
Urna ma 4 kule czerwone i 6 niebieskich. Wyjmujemy jedną bez zwrotu. Biorąc pod uwagę że pierwsza była czerwona, jakie jest prawdopodobieństwo że druga będzie niebieska?
Solve online
Ex. 40.46Understanding
Jaka jest tożsamość Pascala dla współczynników dwumianowych?
Solve online
Ex. 40.47Modeling
Ze 5 kandydatów, ile odrębnych komisji 2-członkowych może być utworzonych (kolejność nie ma znaczenia)?
Solve online
Ex. 40.48Application
$P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}4$ i $P(A \cap B) = 0{,}1$ . Oblicz $P(A \cup B)$ .
Solve online
Ex. 40.49Challenge
Rozwiąż $\sin x + \cos x = 1$ w $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 40.50Proof
Udowodnij tożsamość Pascala $\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}$ używając argumentu kombinatorycznego (zliczanie przez przypadki). Pokaż każdy krok podziału.
Solve online

Źródła tej lekcji

Workshop łączy źródła całego Roku 1. Wszystkie źródła poniżej są otwarte i mają licencję kompatybilną z użytkiem edukacyjnym niekomercyjnym.

Stitz–Zeager Precalculus — Stitz, Zeager · 2013, v3.07 · EN · CC-BY-NC-SA. §1–§11: funkcje, trygonometria, ciągi, stożki.
OpenStax College Algebra 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed. · EN · CC-BY 4.0. §2–§11: funkcje, systemy, macierze, kombinatoryka, prawdopodobieństwo.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed. · EN · CC-BY 4.0. §7–§12: trygonometria, wektory, stożki, ciągi.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA. §1.2–§1.3: intuicyjne granice i szybkość zmian.
OpenIntro Statistics, 4th ed. — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. §3.1–§3.4: prawdopodobieństwo klasyczne, warunkowe, Bayes, dwumianowe.
Book of Proof — Richard Hammack · 3ª ed. · EN · CC-BY-ND. §3.4: kombinatoryka, tożsamość Pascala.

Pełny katalog w /livros.

Lição 40 — Consolidação anual: workshop integrador Ano 1

Synteza aksjomatyczna Roku 1

Cztery filary

Czerwona nić

Mapa po trimestrach

Przykłady rozwiązane

Exercise list

Źródła tej lekcji

Następnie: Rok 2 — Rachunek Różniczkowy