v1 · padrão canônico

Lição 41 — Limite formal: definição ε-δ

A definição ε-δ de limite. Cauchy 1821, Weierstrass 1872. O ponto onde o cálculo se torna rigoroso.

Used in: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis) · A-Level Further Maths — Limits

\forall\varepsilon>0,\;\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja ścisła

Definicja epsilon-delta granicy

"Mówimy, że granica funkcji $f(x)$ , gdy $x$ zbliża się do $a$ , równa się $L$ , …jeśli potrafimy uczynić wartości $f(x)$ dowolnie bliskimi $L$ …ograniczając $x$ do bycia wystarczająco bliskim $a$ (z obydwu stron) ale nie równym $a$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2

Metoda epsilon-delta: jak konstruować dowód

Napisz $|f(x) - L|$ i manipuluj algebraicznie, aż pojawi się wielokrotność $|x - a|$ .
Ogranicze $|x - a| < 1$ (lub inną stałą) aby kontrolować dodatkowe czynniki.
Wybierz $\delta = \min\bigl(1,\; \varepsilon / C\bigr)$ gdzie $C$ to uzyskany współczynnik.
Sprawdź, że łańcuch $0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$ się zamyka.

Dowód modelowy: $\lim_{x \to 2}(3x + 1) = 7$

Szkic: $|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$ . Aby $3|x-2| < \varepsilon$ , wystarczy $|x-2| < \varepsilon/3$ .

Dowód formalny: Dany $\varepsilon > 0$ , weź $\delta = \varepsilon/3$ . Jeśli $0 < |x - 2| < \delta$ , wtedy $|f(x) - 7| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \quad \square$

Granica w nieskończoności i nieskończoność jako granica

Definition· Cztery rodzaje granic

Typ	Definicja
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow f(x)>M$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow f(x)>M$

Właściwości algebraiczne granic

Niech $\lim_{x \to a} f(x) = L$ i $\lim_{x \to a} g(x) = M$ . Wtedy:

\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M, \qquad \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M

what this means · Dodawanie i mnożenie granic. Demonstrowalne bezpośrednio przez epsilon-delta używając nierówności trójkąta.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M\neq 0

what this means · Iloraz granic: ważny gdy granica mianownika jest niezerowa.

Granice godne uwagi

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac{1}{2},\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad \lim_{x\to\infty}\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{\!x}=e

what this means · Cztery fundamentalne granice rachunku, używane w całej uproszczeniu symboli nieoznaczonych.

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Obliczenie intuicyjne przez tabelę numeryczną (zastosowanie)

Problem. Oszacuj numerycznie $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ i potwierdź algebraicznie.

Strategia. Gdy podstawienie bezpośrednie daje $0/0$ , tabela numeryczna sugeruje wartość a rozbicie potwierdza.

Rozwiązanie:

Tabela wartości blisko $x = 2$ (z $x \neq 2$ ):

$x$	$(x^2-4)/(x-2)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

Tabela sugeruje $\lim = 4$ .

Potwierdzenie algebraiczne: Dla $x \neq 2$ , $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$ Zatem $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2) = 4$ .

Weryfikacja: rozbicie skraca czynnik $(x-2)$ który powodował symbol nieoznaczony. Wartość $f(2)$ jest niezdefiniowana, ale granica istnieje i równa się 4.

Źródło. Active Calculus §1.2, Preview Activity 1.2.1 — licencja CC-BY-SA.

Example— 2· Dowód formalny epsilon-delta dla funkcji liniowej (formalny)

Problem. Udowodnij ściśle poprzez epsilon-delta że $\displaystyle\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ .

Strategia. Wyrażamy $|f(x) - L|$ w kategoriach $|x - a|$ , identyfikujemy związek liniowy i wybieramy $\delta = \varepsilon / C$ .

Rozwiązanie:

Szkic (by orientować wybór $\delta$ ): $|f(x) - 13| = |5x - 2 - 13| = |5x - 15| = 5|x - 3|.$ Aby $5|x-3| < \varepsilon$ , potrzebujemy $|x - 3| < \varepsilon/5$ .

Dowód formalny: Niech $\varepsilon > 0$ będzie dane. Weź $\delta = \varepsilon/5$ . Załóż $0 < |x - 3| < \delta$ . Wtedy: $|(5x - 2) - 13| = 5|x - 3| < 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.$ Zatem, z definicji, $\displaystyle\lim_{x\to 3}(5x - 2) = 13$ . $\square$

Uwaga: dla funkcji liniowych $f(x) = mx + b$ , związek $|f(x) - (ma+b)| = |m|\cdot|x-a|$ jest zawsze bezpośredni. $\delta = \varepsilon/|m|$ działa bez dodatkowych ograniczeń.

Weryfikacja: Biorąc $\varepsilon = 0{,}1$ : $\delta = 0{,}02$ . Dla $|x - 3| < 0{,}02$ , mamy $|5x - 15| = 5|x-3| < 5(0{,}02) = 0{,}1 = \varepsilon$ . Zgadza się.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.5, Example 2.39 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Granice jednostronne i istnienie granicy (zrozumienie)

Problem. Rozważ funkcję $f(x) = |x|/x$ dla $x \neq 0$ . Oblicz granice jednostronne w $x = 0$ i określ czy $\lim_{x \to 0} f(x)$ istnieje.

Strategia. Oblicz osobno granicę prawostronną i lewostronną. Granica dwustronna istnieje tylko jeśli oba się zgadzają.

Rozwiązanie:

Zauważ że: $f(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}$

Granica prawostronna ( $x \to 0^+$ , czyli $x > 0$ ): $f(x) = 1$ dla każdego $x > 0$ , zatem $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .

Granica lewostronna ( $x \to 0^-$ , czyli $x < 0$ ): $f(x) = -1$ dla każdego $x < 0$ , zatem $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ .

Jako że $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ , granice jednostronne są różne.

Wniosek: $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ nie istnieje.

Weryfikacja: wykres $f$ to „schody" ze skokiem w $x = 0$ . To najprostsza możliwa nieciągłość skokowa.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2, Example 2.7 — licencja CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Granica w nieskończoności funkcji wymiernej (zastosowanie)

Problem. Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7}$ .

Strategia. Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ w wyrażeniu ( $x^2$ ) i użyj faktu że $k/x^n \to 0$ gdy $x \to \infty$ dla każdej stałej $k$ i $n > 0$ .

Rozwiązanie:

Podziel wszystko przez $x^2$ : $\frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7} = \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2}.$

Gdy $x \to +\infty$ : $5/x \to 0$ , $1/x^2 \to 0$ , $7/x^2 \to 0$ . Zatem: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2} = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}.$

Reguła ogólna: dla $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}$ , wynik zależy od $n$ vs. $m$ :

$n < m$ : granica $= 0$ .
$n = m$ : granica $= a_n/b_m$ .
$n > m$ : granica $= \pm\infty$ (zależy od znaków).

Weryfikacja: W $x = 1000$ : $(3 \cdot 10^6 + 5000 - 1)/(2 \cdot 10^6 - 7) \approx 3005000/1999993 \approx 1{,}5025$ — zbiega do $3/2$ . ✓

Źródło. APEX Calculus §1.6, Example 1.6.1 — licencja CC-BY-NC.

Example— 5· Granica która nie istnieje — oscylacja (wyzwanie)

Problem. Wykaż że $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ nie istnieje.

Strategia. Użyj scharakteryzowania sekwencyjnego Heinego: jeśli granica istniała, każda sekwencja $x_n \to 0$ z $x_n \neq 0$ by dała $f(x_n) \to L$ . Wskazujemy dwie sekwencje z obrazami zbiegającymi do różnych wartości.

Rozwiązanie:

Rozważ dwie sekwencje: $x_n = \frac{1}{2n\pi} \quad \text{i} \quad y_n = \frac{2}{(4n+1)\pi}, \quad n \in \mathbb{N}.$

Obydwie spełniają $x_n \to 0$ i $y_n \to 0$ (mianowniki rosną bez granic).

Dla $x_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right) = \sin(2n\pi) = 0 \quad \text{dla każdego } n.$ Zatem $f(x_n) \to 0$ .

Dla $y_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right) = \sin\!\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right) = \sin\!\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \text{dla każdego } n.$ Zatem $f(y_n) \to 1$ .

Jako że dwie sekwencje zbiegające do $x_n \to 0$ dają różne granice ( $0$ i $1$ ), poprzez scharakteryzowanie Heinego granica $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$ nie istnieje. $\square$

Uwaga: wykres oscyluje nieskończenie między $-1$ a $1$ gdy $x \to 0$ — żadna konkretna wartość nie jest uprzywilejowana.

Źródło. Active Calculus §1.2, Activity 1.2.3 — licencja CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 10Modeling 7Challenge 3Proof 2

Ex. 41.1Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1)$ .
Solve online
Ex. 41.2Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .
Solve online
Ex. 41.3Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Solve online
Ex. 41.4Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.5Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x + 5}$ .
Solve online
Ex. 41.6Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$ .
Solve online
Ex. 41.7Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.8ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.9ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 41.10Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{\!x}$ .
Solve online
Ex. 41.11Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.12ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.13Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.14Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ .
Solve online
Ex. 41.15Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 41.16Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Solve online
Ex. 41.17Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$ .
Solve online
Ex. 41.18Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.19UnderstandingAnswer key
Aby $\lim_{x \to a} f(x)$ istniała, czy jest konieczne że $f(a)$ jest określone?
Solve online
Ex. 41.20Understanding
W jakim warunku granica $\lim_{x \to a} f(x)$ istnieje?
Solve online
Ex. 41.21Understanding
Czy granica $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ istnieje? Oblicz granice jednostronne i wnioskuj.
Solve online
Ex. 41.22UnderstandingAnswer key
Czy granica $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ istnieje?
Solve online
Ex. 41.23Understanding
Która sytuacja opisuje funkcję bez granicy w $x = 2$ ?
Solve online
Ex. 41.24UnderstandingAnswer key
Napisz z pamięci definicję epsilon-delta $\lim_{x \to a} f(x) = L$ i wyjaśnij rolę każdego kwantyfikatora.
Solve online
Ex. 41.25Understanding
Rozważ $f(x) = 1$ dla $x > 0$ i $f(x) = -3$ dla $x \leq 0$ . Oblicz granice jednostronne w $x = 0$ i określ czy granica dwustronna istnieje.
Solve online
Ex. 41.26UnderstandingAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ uzasadniając poprzez twierdzenie o trzech ciągach.
Solve online
Ex. 41.27Understanding
Funkcja $f(x) = (x^2 - 9)/(x-3)$ nie jest określona w $x = 3$ . Oblicz $\lim_{x \to 3} f(x)$ i wyjaśnij dlaczego granica istnieje.
Solve online
Ex. 41.28Understanding
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ i wyjaśnij dlaczego wynik różni się od $\lim_{x\to 0}1/x$ .
Solve online
Ex. 41.29Modeling
W obwodzie RC, napięcie na kondensatorze to $V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/\tau})$ , gdzie $\tau > 0$ . Oblicz $\lim_{t \to +\infty} V(t)$ i interpretuj wynik fizycznie.
Solve online
Ex. 41.30Modeling
Pozycja obiektu to $s(t) = t^2$ metrów. Używając definicji granicy, oblicz prędkość chwilową $v(t) = \lim_{h \to 0}\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$ .
Solve online
Ex. 41.31Modeling
W farmakokinetyce, stężenie leku to $C(t) = C_0 e^{-kt}$ z $k > 0$ . Oblicz $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ i interpretuj wynik.
Solve online
Ex. 41.32Modeling
W teorii sterowania, funkcja przesyłu systemu pierwszego rzędu to $H(s) = K/(s+1)$ . Oblicz wzmacniacz DC $\lim_{s \to 0} H(s)$ i powiedz co reprezentuje.
Solve online
Ex. 41.33ModelingAnswer key
W modelach wzrostu populacji, tempo wzrostu na osobę zanika szerint $r(x) = (\ln x)/x$ . Oblicz $\lim_{x \to +\infty} r(x)$ i interpretuj.
Solve online
Ex. 41.34Modeling
Błąd obcięcia Taylora spełnia $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)-hf'(0)}{h^2}$ . Dla $f(x) = e^x$ , oblicz tę granicę i interpretuj.
Solve online
Ex. 41.35ModelingAnswer key
Co reprezentuje $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ gdy granica istnieje? Daj nazwę, interpretację geometryczną i interpretację fizyczną.
Solve online
Ex. 41.36ProofAnswer key
Udowodnij ściśle poprzez epsilon-delta że $\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ . Pokaż szkic, wybór $\delta$ i dowód formalny.
Solve online
Ex. 41.37Proof
Udowodnij poprzez epsilon-delta że $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ . Pokaż dlaczego jest konieczny $\min$ w wyborze $\delta$ .
Solve online
Ex. 41.38Challenge
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 41.39Challenge
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ .
Solve online
Ex. 41.40Challenge
Udowodnij poprzez epsilon-delta że $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$ . Pokaż pełną strategię: szkic, ograniczenie, wybór $\delta$ i dowód formalny.
Solve online

Fontes

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.1–1.3 · CC-BY-SA. Fonte primária. Exemplos 1, 3, 5 e exercícios dos Blocos A, C adaptados desta obra.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §2.2–2.5 · CC-BY-NC-SA. Definição formal §2.5, exercícios Blocos A, B, D.
APEX Calculus — Gregory Hartman · Virginia Military Institute · 2023 · §1.1–1.6 · CC-BY-NC. Exercícios de limites no infinito e desafios Bloco D.