v1 · padrão canônico

Lição 42 — Propriedades algébricas dos limites

Leis do limite (soma, produto, quociente, potência, raiz), substituição direta, formas indeterminadas 0/0 por fatoração e racionalização, e Teorema do Confronto.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês (極限の性質) · Equiv. Oberstufe Grenzwertregeln alemão

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Właściwości operacyjne i Twierdzenie o Trzech Ciągach

Niech $\lim_{x \to a} f(x) = L$ i $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , gdzie $L, M \in \mathbb{R}$ . Następujące prawa obowiązują dla $x \to a$ , $x \to a^+$ , $x \to a^-$ , $x \to \pm\infty$ .

Prawa algebraiczne granic

Definition· Prawa granic (Boelkins §1.4 / OpenStax §2.3)

Prawo	Sformułowanie	Ograniczenie
Suma / różnica	$\lim (f \pm g) = L \pm M$	brak
Wielokrotność stałej	$\lim (c \cdot f) = cL$	$c \in \mathbb{R}$
Iloczyn	$\lim (f \cdot g) = L \cdot M$	brak
Iloraz	$\lim (f/g) = L/M$	$M \neq 0$
Potęga	$\lim f^n = L^n$	$n \in \mathbb{N}$
Pierwiastek	$\lim \sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{L}$	$L \geq 0$ gdy $n$ parzyste
Wartość bezwzględna	$\lim \lvert f \rvert = \lvert L \rvert$	brak

"Jeśli $\lim_{x\to a} f(x) = L$ i $\lim_{x\to a} g(x) = M$ , to $\lim_{x\to a}[f(x) + g(x)] = L + M$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.4

"Jeśli $\lim_{x\to c} f(x) = L$ i $\lim_{x\to c} g(x) = K$ , to $\lim_{x\to c}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot K$ ." — APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.1

Właściwość podstawienia bezpośredniego

Złożenie

Jeśli $\lim_{x \to a} g(x) = b$ i $f$ jest ciągła w $b$ , to: $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b) = f\!\left(\lim_{x \to a} g(x)\right).$

Kontrprzykład bez ciągłości. Weź $g(x) = 0$ jako stałą i $f$ z nieciągłością w $0$ . Wtedy $\lim g = 0$ ale $\lim f(g(x)) = f(0) \neq \lim_{t \to 0} f(t)$ .

Twierdzenie o Trzech Ciągach

"Jeśli $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ dla wszystkich $x \neq a$ w otwartym przedziale zawierającym $a$ i $\lim_{x\to a} g(x) = L = \lim_{x\to a} h(x)$ , to $\lim_{x\to a} f(x) = L$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.7

Zastosowanie klasyczne. Dla $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0$ : zauważ że $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ , zatem $-x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2$ . Ponieważ $\lim_{x \to 0}(\pm x^2) = 0$ , granica wynosi $0$ .

Formy nieokreślone i techniki rozwiązywania

Gdy podstawienie bezpośrednie daje $0/0$ lub $\infty/\infty$ , właściwości algebraiczne nie stosują się bezpośrednio:

Diagram wyboru techniki dla każdego typu nieokreśloności.

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Podstawienie bezpośrednie w wielomianie

Problem. Oblicz $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$ .

Strategia. Wielomiany są ciągłe w każdym punkcie. Zastosuj właściwość podstawienia bezpośredniego.

Rozwiązanie.

Weryfikuj że funkcja jest ciągła w $x = 3$ . Każdy wielomian jest ciągły na $\mathbb{R}$ . Granica to po prostu wartość funkcji w $x = 3$ .
Podstaw $x = 3$ : $\lim_{x \to 3}(2x^2 - 5x + 1) = 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4.$
Dlaczego to działa. Przez prawa algebraiczne: $\lim x^2 = 9$ (prawo potęgi), $\lim 2x^2 = 18$ (wielokrotność stałej), $\lim 5x = 15$ , $\lim 1 = 1$ (stała). Sumując: $18 - 15 + 1 = 4$ .

Weryfikacja. Dla $x = 3{,}01$ : $2(3{,}01)^2 - 5(3{,}01) + 1 = 18{,}1202 - 15{,}05 + 1 = 4{,}0702 \approx 4$ . Spójne.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Forma nieokreślona 0/0 przez rozkład na czynniki

Problem. Oblicz $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Strategia. Podstawienie bezpośrednie daje $0/0$ . Licznik to różnica kwadratów — rozłóż na czynniki i anuluj wspólny czynnik $(x - 2)$ .

Rozwiązanie.

Spróbuj podstawienia bezpośredniego. $\dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$ — nieokreśloność. Manipulacja algebraiczna jest niezbędna.
Rozłóż licznik na czynniki. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .
Anuluj wspólny czynnik. Dla $x \neq 2$ : $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$
Oblicz granicę. Zastosuj podstawienie bezpośrednie: $\lim_{x \to 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4.$

Weryfikacja. Dla $x = 2{,}01$ : $\dfrac{(2{,}01)^2 - 4}{2{,}01 - 2} = \dfrac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01 \approx 4$ . Spójne.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.17 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Forma nieokreślona 0/0 przez racjonalizację

Problem. Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .

Strategia. Podstawienie daje $0/0$ . Wyeliminuj pierwiastek w liczniku mnożąc przez sprzężenie $(\sqrt{x+4} + 2)$ .

Rozwiązanie.

Spróbuj podstawienia bezpośredniego. $\dfrac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \dfrac{0}{0}$ — nieokreśloność.
Pomnóż przez sprzężenie. Dla $x \neq 0$ : $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{(x+4) - 4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}.$
Anuluj $x$ (ważne ponieważ $x \neq 0$ ): $= \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}.$
Zastosuj podstawienie bezpośrednie: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}.$

Weryfikacja. Dla $x = 0{,}01$ : $\dfrac{\sqrt{4{,}01} - 2}{0{,}01} \approx \dfrac{0{,}0025}{0{,}01} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ . Spójne.

Źródło. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Twierdzenie o Trzech Ciągach z funkcją oscylującą

Problem. Udowodnij że $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0$ .

Strategia. Funkcja $\cos(1/x)$ oscyluje nieskończenie gdy $x \to 0$ — nie możemy obliczyć jej granicy bezpośrednio. Ale $|\cos(1/x)| \leq 1$ zawsze. Użyj Trzech Ciągach.

Rozwiązanie.

Ustal ograniczenia. Dla każdego $x \neq 0$ : $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1.$
Pomnóż przez $x^2 \geq 0$ (nie odwraca nierówności): $-x^2 \leq x^2 \cos(1/x) \leq x^2.$
Oblicz granice ograniczeń: $\lim_{x \to 0}(-x^2) = 0 \quad \text{i} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$
Zastosuj Twierdzenie o Trzech Ciągach. Ponieważ $f(x) = x^2 \cos(1/x)$ jest uwięzione między $-x^2$ i $x^2$ , obie zmierzające do $0$ : $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0. \quad \blacksquare$

Dlaczego Trzech Ciągach jest niezbędne. Prawo iloczynu wymagałoby że $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ istnieje — ale nie istnieje (oscyluje między $-1$ i $1$ ). Trzech Ciągach omija tę trudność.

Źródło. APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.7 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Granica funkcji wymiernej w nieskończoności

Problem. Oblicz $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4}$ .

Strategia. Forma $\infty/\infty$ — stopnie licznika i mianownika są oba równe $2$ . Podziel wszystko przez $x^2$ aby ujawnić współczynniki wiodące.

Rozwiązanie.

Identyfikuj stopnie. Licznik: stopień 2. Mianownik: stopień 2. Forma $\infty/\infty$ .
Podziel licznik i mianownik przez $x^2$ : $\frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4} = \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2}.$
Oblicz każdy człon. Gdy $x \to \infty$ : $1/x \to 0$ i $1/x^2 \to 0$ .
Zastosuj prawa algebraiczne: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 3.$

Wynik ogólny. Gdy stopnie są równe, granica to stosunek współczynników wiodących.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.20 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 7Modeling 2Challenge 1Proof 1

Ex. 42.1Application
Oblicz $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x - 1)$ .
Solve online
Ex. 42.2Application
Oblicz $\lim_{x \to 1}\sqrt{x^2 + 3}$ .
Solve online
Ex. 42.3ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0}\dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$ .
Solve online
Ex. 42.4Application
Oblicz $\lim_{x \to -1}(x^3 + 2x^2 - x + 4)$ .
Solve online
Ex. 42.5Application
Oblicz $\lim_{x \to 1}(x^3 + 2x^2 + 3x)$ .
Solve online
Ex. 42.6Application
Oblicz $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ .
Solve online
Ex. 42.7Application
Oblicz $\lim_{x \to -2}\dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$ .
Solve online
Ex. 42.8ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 1}\sqrt[3]{x^2 + 7}$ .
Solve online
Ex. 42.9Application
Oblicz $\lim_{x \to 2}(x^2 - 1)(3x + 2)$ .
Solve online
Ex. 42.10Application
Oblicz $\lim_{x \to 0}(2x + 3)^4$ .
Solve online
Ex. 42.11Application
Oblicz $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 42.12Application
Oblicz $\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2 + 2x}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.13Application
Oblicz $\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ .
Solve online
Ex. 42.14Application
Oblicz $\lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Solve online
Ex. 42.15Application
Oblicz $\lim_{x \to 5}\dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}$ .
Solve online
Ex. 42.16Application
Oblicz $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 42.17ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ .
Solve online
Ex. 42.18Application
Oblicz $\lim_{x \to 4}\dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$ .
Solve online
Ex. 42.19ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Solve online
Ex. 42.20ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.21ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.22Application
Oblicz $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.23Application
Oblicz $\lim_{x \to \infty}\dfrac{2x + 1}{x + 3}$ .
Solve online
Ex. 42.24Application
Oblicz $\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 - x + 2}{x^2 + 4}$ .
Solve online
Ex. 42.25Application
Oblicz $\lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 5}{x^3 - 2}$ .
Solve online
Ex. 42.26ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 7}\dfrac{x^2 - 5x - 14}{x - 7}$ .
Solve online
Ex. 42.27Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x)$ .
Solve online
Ex. 42.28Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} x \cos(1/x)$ .
Solve online
Ex. 42.29Application
Oblicz $\lim_{x \to \infty}\dfrac{\sin x}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.30Understanding
By obliczyć $\lim_{x \to 5}(3x^2 - x + 7)$ , czy wystarczy podstawić $x = 5$ bezpośrednio?
Solve online
Ex. 42.31UnderstandingAnswer key
Które stwierdzenie jest poprawne o prawie ilorazu granic?
Solve online
Ex. 42.32UnderstandingAnswer key
Jaka jest $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$ , i dlaczego prawo iloczynu się nie stosuje?
Solve online
Ex. 42.33Understanding
Co się dzieje gdy próbujemy zastosować prawo ilorazu do $\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ bezpośrednio?
Solve online
Ex. 42.34Understanding
Która technika jest najwłaściwsza by obliczyć $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x)$ ?
Solve online
Ex. 42.35UnderstandingAnswer key
Co forma nieokreślona $0/0$ wskazuje algebraicznie o liczniku i mianowniku?
Solve online
Ex. 42.36Understanding
Wiadomo że $3 - x^2 \leq f(x) \leq 3 + x^2$ dla każdego $x \neq 0$ . Wyznacz $\lim_{x \to 0} f(x)$ i uzasadnij.
Solve online
Ex. 42.37Modeling
W inżynierii sterowania funkcja transferu systemu to $H(s) = \dfrac{s + 2}{s^2 + 3s + 2}$ . Oblicz zysk DC: $\lim_{s \to 0} H(s)$ .
Solve online
Ex. 42.38Modeling
Pozycja cząstki to $s(t) = t^2$ metrów. Oblicz chwilową prędkość w $t = 1$ : $\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{\Delta t}$ .
Solve online
Ex. 42.39Challenge
Oblicz $\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos x - \cos 2x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 42.40Proof
Dowód. Udowodnij poprzez $\varepsilon$ - $\delta$ że $\lim_{x \to 0} 3x = 0$ , weryfikując w ten sposób prawo wielokrotności stałej w tym szczególnym przypadku.
Solve online

Źródła

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws) oraz §2.4 (Continuity) · CC-BY-NC-SA 4.0. Pierwsze źródło dla ćwiczeń aplikacyjnych, rozkładu na czynniki, racjonalizacji i granic w nieskończoności.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §1.3 (Finding Limits Analytically) · CC-BY-NC 4.0. Pierwsze źródło dla ćwiczeń Trzech Ciągach i wyzwań.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. Odniesienie dla motywacji konceptualnej, działań odkrywczych i ćwiczenia 42.36.