v1 · padrão canônico

Lição 45 — Limites fundamentais do cálculo

Os cinco limites atômicos do cálculo: sin(x)/x, (1-cos x)/x, definição de e, (e^x-1)/x e ln(1+x)/x. Todo limite trigonométrico ou exponencial se reduz a esses cinco por manipulação algébrica.

Used in: 2.º ano EM (Trim. 5) · Equiv. Math II japonês (cap. 3 — limites especiais) · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrisch) · Equiv. H2 Math singapurense (Special limits)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna i dowody

Pięć limitów atomowych

Definition· Limity fundamentalne rachunku różniczkowego

Oto następujące limity, wszystkie dające się wykazać bez reguły L'Hôpitala:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

(LF1)

what this means · Podstawowy limit trygonometryczny. Nieoznaczoność 0/0. Wykazane przez porównanie z polami sektorów kołowych.

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

(LF2)

what this means · Wniosek z LF1 poprzez tożsamość 1 - cos x = 2 sin²(x/2). Wynik to zero, nie jeden.

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}71828\ldots

(LF3)

what this means · Definiuje liczbę Eulera e. Ciąg (1 + 1/n)^n jest rosnący i ograniczony z góry przez 3.

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

(LF4)

what this means · Nieoznaczoność 0/0. Stwierdza, że pochodna e^x w x=0 wynosi 1. Wyprowadzona z LF3 przez podstawienie.

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

(LF5)

what this means · Nieoznaczoność 0/0. Wyprowadzona z LF4 przez podstawienie y = ln(1+x).

Dowód LF1 — Twierdzenie o trzech ciągach

"Twierdzenie o trzech ciągach (zwane też twierdzeniem kanapkowym) jest potężnym narzędziem do obliczania granic funkcji, które trudno jest ocenić bezpośrednio." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Dowód $\lim_{x \to 0^+} \sin x / x = 1$ :

Rozpatrzmy koło jednostkowe. Dla $x \in (0, \pi/2)$ porównajmy trzy pola:

Trójkąt $OAP$ (wpisany): pole $= \tfrac{1}{2}\sin x$ .
Sektor kołowy $OAP$ : pole $= \tfrac{1}{2}x$ .
Trójkąt $OAT$ (opisany): pole $= \tfrac{1}{2}\tan x$ .

Ponieważ trójkąt wpisany $\subset$ sektor $\subset$ trójkąt opisany:

\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}

what this means · Nierówność trzech pól, ważna dla x w (0, pi/2).

Dzielimy przez $\sin x / 2 > 0$ i bierzemy odwrotności (odwracają nierówności):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$

Gdy $x \to 0^+$ : $\cos x \to 1$ i $1 \to 1$ . Przez twierdzenie o trzech ciągach, $\sin x / x \to 1$ .

Przez symetrię ( $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ ), wynik obowiązuje też dla $x \to 0^-$ . ∎

Dowód LF2

Używając tożsamości $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2}$

Gdy $x \to 0$ : pierwszy czynnik $\to \sin 0 = 0$ a drugi $\to 1$ (z LF1). Zatem iloczyn $\to 0$ . ∎

Dowód LF5

Niech $y = \ln(1+x)$ , czyli $e^y = 1 + x$ , zatem $x = e^y - 1$ . Gdy $x \to 0$ , mamy $y \to 0$ . Dlatego:

$\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{y}{e^y - 1} \xrightarrow{y \to 0} \frac{1}{1} = 1$

używając LF4 w mianowniku. ∎

Tabela ważnych wariantów

Limit	Wartość	Wyprowadza się z
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/x$	$k$	LF1
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/\sin(mx)$	$k/m$	LF1
$\lim_{x \to 0} \tan x / x$	$1$	LF1
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2$	$1/2$	LF2
$\lim_{x \to 0} \arcsin x / x$	$1$	LF1 (funkcja odwrotna)
$\lim_{x \to 0} \arctan x / x$	$1$	LF1 (funkcja odwrotna)
$\lim_{x \to 0} (e^{kx} - 1)/x$	$k$	LF4
$\lim_{x \to 0} (a^x - 1)/x$	$\ln a$	LF4
$\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^x$	$e^a$	LF3
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$	$e$	LF3
$\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x}$	$0$	wzrost względny
$\lim_{x \to \infty} (\ln x)/x$	$0$	wzrost względny

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Limit trygonometryczny poprzez porównanie

Problem: Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ .

Strategia: Podstawowy limit LF1 stwierdza, że $\sin(u)/u \to 1$ gdy $u \to 0$ . Musimy przepisać wyrażenie tak, by argument sinusa zgadzał się z mianownikiem.

Rozwiązanie:

Zidentyfikuj argument: wewnątrz sinusa mamy $3x$ , ale mianownik to $5x$ . Musimy stworzyć stosunek $\sin(3x)/(3x)$ .
Manipulacja algebraiczna: pomnóż i podziel przez $3$ :

$\frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}$

Zastosuj LF1: gdy $x \to 0$ , mamy $3x \to 0$ . Przez podstawienie $u = 3x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$

Kombinuj:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$

Weryfikacja: Dla $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}003)/0{,}005 \approx 0{,}002999.../0{,}005 \approx 0{,}5999...$ . Konsystentne z $3/5 = 0{,}6$ .

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.21 — licencja CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limit z (1 - cos x) poprzez tożsamość trygonometryczną

Problem: Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ .

Strategia: Tożsamość $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ przekształca limit w iloczyn dwóch czynników obejmujących LF1.

Rozwiązanie:

Zastosuj tożsamość: $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ .
Przepisz limit:

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{x^2}$

Wymuś formę LF1: zauważ, że $x^2 = 4 \cdot (x/2)^2$ :

$\frac{\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2$

Oblicz:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Weryfikacja: Dla $x = 0{,}1$ : $(1 - \cos 0{,}1)/0{,}01 \approx 0{,}04998...$ , konsystentne z $0{,}5$ .

Źródło. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — licencja CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Definicja e poprzez odsetki złożone

Problem: Inwestycja R$ 1,00 zarabia 100% rocznie. Oblicz ostateczną kwotę przy kapitalizacji (a) rocznej, (b) miesięcznej, (c) dziennej i (d) ciągłej.

Strategia: Kwota z $n$ kapitalizacjami/rok wynosi $(1 + 1/n)^n$ . W miarę gdy $n \to \infty$ , ten iloczyn zbiega do $e$ .

Rozwiązanie:

Kapitalizacja	$n$	$(1 + 1/n)^n$
Roczna	1	$2{,}000000$
Pół-roczna	2	$2{,}250000$
Kwartalna	4	$2{,}441406$
Miesięczna	12	$2{,}613035$
Dzienna	365	$2{,}714567$
Co godzinę	8760	$2{,}718127$
Ciągła	$\infty$	$e \approx 2{,}718282$

Różnica między kapitalizacją dzienną i ciągłą wynosi zaledwie R$ 0,000001 na każdy zainwestowany real. To uzasadnia model ciągły $V(T) = V_0 e^{rT}$ jako doskonałe przybliżenie w praktyce finansowej.

Formalizacja: Przez LF3,

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §3.9 — licencja CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Redukcja złożonego limitu do podstawowego

Problem: Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x}$ .

Strategia: Rozkład wyrażenia na stosunki formy LF1. Użyj $\tan x = \sin x / \cos x$ do wyodrębnienia znanych czynników.

Rozwiązanie:

Podstaw $\tan x$ :

$\frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = \frac{\sin(x^2)}{x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

Zidentyfikuj czynniki:

$= \underbrace{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sin x}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\cos x}_{\to 1}$

Dla pierwszego czynnika: $u = x^2 \to 0$ gdy $x \to 0$ , czyli $\sin(x^2)/x^2 \to 1$ .

Dla drugiego: $x/\sin x = 1/(\sin x / x) \to 1$ .

Limit:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Weryfikacja: Dla $x = 0{,}01$ : $\sin(0{,}0001)/(0{,}01 \cdot \tan 0{,}01) \approx 1{,}000...$ . Potwierdzone.

Źródło. APEX Calculus, §1.3, Exercises 1.3 — licencja CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Nieoznaczoność 1^∞ poprzez podstawienie

Problem: Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x$ .

Strategia: Podstawa dąży do $1$ a wykładnik do $\infty$ : nieoznaczoność $1^\infty$ . Napisz $A^B = e^{B \ln A}$ i oblicz wykładnik oddzielnie.

Rozwiązanie:

Przepisz jako eksponencjał:

$\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \exp\!\left(x \ln\frac{x+3}{x-1}\right)$

Uproszcz argument logarytmu:

$\ln\frac{x+3}{x-1} = \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right)$

Oblicz $x \ln(1 + 4/(x-1))$ : niech $u = 4/(x-1)$ ; gdy $x \to \infty$ , $u \to 0^+$ . Wtedy $x - 1 = 4/u$ i $x = 4/u + 1$ :

$x \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right) = \left(\frac{4}{u} + 1\right) \cdot u \cdot \frac{\ln(1+u)}{u} = (4 + u) \cdot \underbrace{\frac{\ln(1+u)}{u}}_{\to 1} \xrightarrow{u \to 0} 4$

Ostateczny limit:

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = e^4$

Weryfikacja: Dla $x = 10^4$ : $((10^4 + 3)/(10^4 - 1))^{10^4} \approx e^4 \approx 54{,}598$ . Potwierdzone.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Exercises — licencja CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 4Modeling 7Challenge 1

Ex. 45.1Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ . (Odp: 3.)
Solve online
Ex. 45.2Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 45.3ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.4Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ . (Odp: $1/2$ .)
Solve online
Ex. 45.5Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.6Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.7ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x}$ . (Odp: $e^3$ .)
Solve online
Ex. 45.8Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.9Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.10Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.11Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x}$ . (Odp: $\ln 3$ .)
Solve online
Ex. 45.12Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.13Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.14Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.15Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.16Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ .
Solve online
Ex. 45.17ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ . (Odp: $0$ .)
Solve online
Ex. 45.18Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x$ .
Solve online
Ex. 45.19Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.20ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.21Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$ . (Odp: $e^{-1/2}$ .)
Solve online
Ex. 45.22Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.23ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x}$ .
Solve online
Ex. 45.24ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 1} x^{1/(x-1)}$ .
Solve online
Ex. 45.25ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.26Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$ .
Solve online
Ex. 45.27Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2}\right)$ . (Odp: $-1/2$ .)
Solve online
Ex. 45.28ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{1/x}$ .
Solve online
Ex. 45.29Modeling
Kapitał R$ 1000 jest inwestowany z ciągłą stopą $5\%$ rocznie przez 10 lat. Oblicz ostateczną kwotę używając $V = V_0 e^{rT}$ , który to jest $\displaystyle\lim_{n \to \infty} V_0\!\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nT}$ z $r = 0{,}05$ i $T = 10$ . (Użyj $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ .)
Solve online
Ex. 45.30ModelingAnswer key
Izotop promieniotwórczy ma okres półrozpadu 5 lat. Jaki ułamek $N(12)/N_0$ pozostaje po 12 latach? Użyj $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ z $\lambda = \ln 2 / 5$ . (Odp: $\approx 0{,}188$ .)
Solve online
Ex. 45.31Modeling
Równanie wahadła prostego to $\ddot{\theta} + (g/L)\sin\theta = 0$ . Uzasadnij matematycznie, dlaczego jest ważne zastępowanie $\sin\theta$ przez $\theta$ dla małych oscylacji, i oblicz błąd względny dla $\theta = 10°$ .
Solve online
Ex. 45.32Modeling
W optyce paraksjalnej używa się $\sin\theta \approx \theta$ i $\tan\theta \approx \theta$ . Oblicz błąd względny każdej aproksymacji dla $\theta = 5°$ i zweryfikuj, że oba są poniżej $0{,}5\%$ .
Solve online
Ex. 45.33Modeling
Rzadkie zdarzenia: $n$ prób z prawdopodobieństwem $p = \lambda/n$ każda. Pokaż, że $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ dąży do rozkładu Poissona $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ gdy $n \to \infty$ z ustalonym $\lambda$ . Który limit podstawowy jest używany?
Solve online
Ex. 45.34Modeling
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}$ . (Odp: $e^{-1/6}$ .)
Solve online
Ex. 45.35ModelingAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\bigl(\ln(x+1) - \ln x\bigr)$ .
Solve online
Ex. 45.36Understanding
Dlaczego $\sin(x)/x$ nie jest zdefiniowana w $x = 0$ , ale jej limit gdy $x \to 0$ istnieje i wynosi $1$ ?
Solve online
Ex. 45.37Understanding
Jaki jest zasadniczy warunek do zastosowania Twierdzenia o trzech ciągach?
Solve online
Ex. 45.38Understanding
Co definiuje limit $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ , i jaki jest jego związek z serią $\sum_{k=0}^\infty 1/k!$ ?
Solve online
Ex. 45.39Understanding
Jaki jest precyzyjny związek między $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ a pochodną $e^x$ ?
Solve online
Ex. 45.40Challenge
Wyzwanie. Oblicz $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ . (Odp: $1/2$ .)
Solve online

Źródła

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · 2016 · CC-BY-NC-SA 4.0. Źródło pierwotne. §2.3 (Prawa granic i Twierdzenie o trzech ciągach), §3.5 (Pochodne funkcji trygonometrycznych — geometryczne uzasadnienie sin(x)/x), §3.9 (Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych — definicja e poprzez LF3).
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC 4.0. §1.3 (Analityczne wyznaczanie granic). Ćwiczenia z manipulacji algebraicznej, warianty LF1 i LF3, wyzwanie z tangensem minus sinus.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA 4.0. §2.2 (Funkcje sinus i cosinus — modelowanie wahadła i promieniotwórczości), §2.6 (Pochodne funkcji odwrotnych — limity arcsin i arctan). Ćwiczenia z modelowania.