v1 · padrão canônico

Lição 46 — TVI e Taxa de Variação Média

Teorema do Valor Intermediário (existência de raízes, bisseção) e Taxa de Variação Média (inclinação da secante, ponte para a derivada).

Used in: 2.º ano do EM (cálculo intro) · Equiv. Math II japonês §5 · Equiv. Analysis/Klasse 11 alemã

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e teoremas

Twierdzenie o Wartości Pośredniej (TWP)

"Jeśli $f$ jest ciągła na $[a, b]$ i $k$ jest dowolną wartością pomiędzy $f(a)$ i $f(b)$ , to istnieje przynajmniej jedna liczba $c$ w $(a, b)$ taka, że $f(c) = k$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Theorem 2.13

Wniosek (istnienie pierwiastka). Jeśli $f \in C([a, b])$ i $f(a) \cdot f(b) < 0$ , to istnieje $c \in (a, b)$ z $f(c) = 0$ .

f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists\, c \in (a,b) : f(c) = 0

what this means · Produto negativo equivale a sinais opostos: f(a) e f(b) estão em lados opostos de zero, logo f precisa cruzar zero em algum ponto interior.

Dowód (szkic via zupełność). Załóżmy $f(a) < 0 < f(b)$ . Definiujemy $S = \{x \in [a, b] : f(x) < 0\}$ . Zbiór $S$ jest niepusty ( $a \in S$ ) i ograniczony z góry przez $b$ . Przez zupełność $\mathbb{R}$ , istnieje $c = \sup S \in [a, b]$ . Przez ciągłość $f$ , jeśli $f(c) \neq 0$ otrzymujemy sprzeczność. Zatem $f(c) = 0$ . $\square$

Dlaczego ciągłość jest niezbędna. Funkcja Heaviside'a $H(x) = 0$ gdy $x < 0$ i $H(x) = 1$ gdy $x \geq 0$ spełnia $H(-1) = 0$ i $H(1) = 1$ , ale nigdy nie przyjmuje wartości $1/2$ — ponieważ ma skok w punkcie $x = 0$ i nie jest tam ciągła.

Metoda Bisekcji

Dana $f \in C([a, b])$ z $f(a)f(b) < 0$ , bisekcja lokalizuje pierwiastek iteracyjnie. Na każdym kroku obliczamy punkt środkowy i zachowujemy połowę, gdzie $f$ zmienia znak:

m_n = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad |c - m_n| \leq \frac{b - a}{2^{n+1}}

what this means · A cada iteração, o ponto médio m_n subdivide o intervalo atual. O erro cai pela metade a cada passo — convergência garantida e quantificável.

Dla precyzji $\varepsilon$ , potrzebne jest $n \geq \lceil \log_2((b-a)/\varepsilon) \rceil - 1$ iteracji.

Taxa de Variação Média (TVM)

"Taxa de variação média de $f$ ao longo do intervalo $[a, b]$ é $\text{AV}_{[a,b]} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Geometricamente, a taxa de variação média representa a inclinação da reta que passa pelos pontos $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$ ." — Active Calculus, §1.1, Definition 1.1.4

Notacja z $h = b - a$ jest równoważna:

\text{TVM} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad h = b - a \neq 0

what this means · Substituindo b = a + h, a TVM fica expressa em termos do incremento h. Quando h → 0, essa expressão define a derivada — a taxa de variação instantânea.

Przejście do granicy. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $a$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Linia sieczna łączy (a, f(a)) z (b, f(b)). Jej nachylenie to TVM. Gdy b → a, sieczna zbliża się do linii stycznej w a, której nachylenie to f'(a).

Exemplos resolvidos

Example— 1· TWP — istnienie pierwiastka wielomianowego

Problem. Wykaż, że $f(x) = x^3 - x - 1$ ma przynajmniej jeden pierwiastek w przedziale $(1, 2)$ .

Strategia. Sprawdzić, że $f$ jest ciągła (wielomian) i że $f(1)$ i $f(2)$ mają przeciwne znaki. Jeśli tak, TWP gwarantuje istnienie.

Rozwiązanie.

Ciągłość: $f(x) = x^3 - x - 1$ jest wielomianem, zatem ciągłym na $\mathbb{R}$ , w szczególności na $[1, 2]$ .
Oblicz krańce:

$f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0$ $f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0$

Zastosuj TWP: ponieważ $f(1) < 0 < f(2)$ i $f$ jest ciągła na $[1, 2]$ , przez TWP istnieje $c \in (1, 2)$ takie, że $f(c) = 0$ .

Weryfikacja. $f(1{,}3) = 2{,}197 - 1{,}3 - 1 = -0{,}103 < 0$ i $f(1{,}4) = 2{,}744 - 1{,}4 - 1 = 0{,}344 > 0$ . Pierwiastek potwierdzony na $(1{,}3;\; 1{,}4)$ . Numerycznie, $c \approx 1{,}3247$ .

Źródło. Active Calculus §1.1, Example 1.1.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA. Adaptowane.

Example— 2· Bisekcja — 4 iteracje i analiza błędu

Problem. Użyj metody bisekcji, aby przybliżyć pierwiastek $f(x) = x^3 - x - 1$ na $(1, 2)$ z 4 iteracjami. Jaki jest maksymalny błąd po tych iteracjach?

Strategia. Na każdym kroku oblicz punkt środkowy $m$ , oceń $f(m)$ i zachowaj połowę, gdzie znak się zmienia.

Rozwiązanie.

Dane początkowe: $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ , $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 5 > 0$ .

Iteracja 1: $m_1 = (1 + 2)/2 = 1{,}5$ . $f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0$ . Nowy przedział: $[1;\; 1{,}5]$ .

Iteracja 2: $m_2 = (1 + 1{,}5)/2 = 1{,}25$ . $f(1{,}25) = 1{,}953 - 1{,}25 - 1 = -0{,}297 < 0$ . Nowy przedział: $[1{,}25;\; 1{,}5]$ .

Iteracja 3: $m_3 = (1{,}25 + 1{,}5)/2 = 1{,}375$ . $f(1{,}375) = 2{,}600 - 1{,}375 - 1 = 0{,}225 > 0$ . Nowy przedział: $[1{,}25;\; 1{,}375]$ .

Iteracja 4: $m_4 = (1{,}25 + 1{,}375)/2 = 1{,}3125$ . $f(1{,}3125) = 2{,}259 - 1{,}3125 - 1 = -0{,}053 < 0$ . Nowy przedział: $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ .

Maksymalny błąd po 4 iteracjach:

$|c - m_4| \leq \frac{b - a}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$

Weryfikacja. Punkt środkowy $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ to $1{,}34375 \approx 1{,}34$ , z $f(1{,}34375) \approx -0{,}0059 < 0$ . Rzeczywisty pierwiastek $c \approx 1{,}3247$ jest w przedziale — potwierdzony.

Źródło. REAMAT — Cálculo Numérico §3.1, Exemplo 3.1 — UFRGS · CC-BY 4.0.

Example— 3· TVM — kinematyka i średnia prędkość

Problem. Pozycja (w metrach) cząstki to $s(t) = t^2 + 3t$ dla $t$ w sekundach. Oblicz TVM funkcji $s$ w przedziale $[1, 4]$ i zinterpretuj.

Strategia. Zastosuj bezpośrednio $\text{TVM} = (s(4) - s(1))/(4 - 1)$ . Następnie porównaj z $s'(t) = 2t + 3$ aby znaleźć chwilę z chwilową prędkością równą TVM.

Rozwiązanie.

Oblicz $s(1)$ i $s(4)$ :

$s(1) = 1 + 3 = 4 \text{ m}, \qquad s(4) = 16 + 12 = 28 \text{ m}$

Oblicz TVM:

$\text{TVM} = \frac{28 - 4}{4 - 1} = \frac{24}{3} = 8 \text{ m/s}$

Interpretacja: cząstka przesunęła się 24 m w 3 s, ze średnią prędkością 8 m/s.
Połączenie z pochodną: $s'(t) = 2t + 3$ . Szukamy $s'(c) = 8$ : $2c + 3 = 8 \Rightarrow c = 2{,}5 \in (1, 4)$ . Twierdzenie o Wartości Średniej Rachunku (Lektura 56) formalnie zagwarantuje istnienie tego $c$ .

Weryfikacja. $s'(1) = 5$ m/s, $s'(4) = 11$ m/s. TVM 8 m/s jest między chwilowymi prędkościami na krańcach — poprawnie.

Źródło. Active Calculus §1.1, Preview Activity 1.1.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Algebraiczna TVM i przejście do granicy

Problem. Dla $f(x) = x^2$ , oblicz TVM w przedziale $[2, 2+h]$ ( $h \neq 0$ ) i wykaż, co się dzieje gdy $h \to 0$ .

Strategia. Oblicz TVM jako funkcję $h$ , uprość algebraicznie i weź granicę — to odsłania $f'(2)$ .

Rozwiązanie.

TVM na $[2, 2+h]$ :

$\text{TVM} = \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

Rozwiń $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ :

$\text{TVM} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \quad (h \neq 0)$

Przejdź do granicy:

$\lim_{h \to 0}(4 + h) = 4 = f'(2)$

Weryfikacja. Dla $h = 1$ : TVM $= 5$ . Dla $h = 0{,}1$ : TVM $= 4{,}1$ . Dla $h = 0{,}01$ : TVM $= 4{,}01$ . Sieczna zbliża się do stycznej w $(2, 4)$ z nachyleniem 4.

Źródło. Active Calculus §1.3, Example 1.3.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· TVM i TWP połączone — dane tabelaryczne

Problem. Pozycja (w km) pojazdu w zależności od czasu (w godzinach) to:

$t$ (h)	0	0,5	1	1,5	2
$s(t)$ (km)	0	20	50	90	140

(a) Oblicz TVM w każdym podprzedziale 0,5 h. (b) Oblicz całkowitą TVM na $[0, 2]$ . (c) Czy chwilowa prędkość osiągnęła 80 km/h w pewnym momencie podróży?

Strategia. Zastosuj wzór TVM w każdym przedziale; dla (c), użyj TWP zastosowany do funkcji prędkości.

Rozwiązanie.

(a) TVMs po podprzedziale:

$\text{TVM}_{[0;\, 0{,}5]} = \frac{20}{0{,}5} = 40 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[0{,}5;\, 1]} = \frac{30}{0{,}5} = 60 \text{ km/h}$ $\text{TVM}_{[1;\, 1{,}5]} = \frac{40}{0{,}5} = 80 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[1{,}5;\, 2]} = \frac{50}{0{,}5} = 100 \text{ km/h}$

(b) Całkowita TVM:

$\text{TVM}_{[0;\, 2]} = \frac{140 - 0}{2} = 70 \text{ km/h}$

(c) Prędkość 80 km/h. Zakładając $s$ różniczkowalną, prędkość $v(t) = s'(t)$ jest ciągła. Przez TVM: $v$ wynosi średnio 60 km/h na $[0{,}5;\; 1]$ i 80 km/h na $[1;\; 1{,}5]$ . Przez TWP zastosowane do $v$ , istnieje przynajmniej jeden moment w $[0{,}5;\; 1{,}5]$ gdzie $v(t) = 80$ km/h. Odpowiedź: tak.

Weryfikacja. Średnia prędkość na $[0{,}5;\; 1{,}5]$ to $(90 - 20)/1 = 70$ km/h $< 80$ km/h, ale prędkość wzrosła od 60 do 100 km/h w połówkach — musi przejść przez 80 km/h we wnętrzu.

Źródło. Active Calculus §1.1, Example 1.1.3 e Exercises 1.1.3–1.1.5 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 46.1Application
Wykaż za pomocą TWP, że $f(x) = x^3 - x - 1$ ma przynajmniej jeden rzeczywisty pierwiastek w przedziale $(1, 2)$ . Jaka własność $f$ jest niezbędna? Uzasadnij w krokach.
Solve online
Ex. 46.2Application
W jakim przedziale długości 1 funkcja $f(x) = x^3 - 2x - 5$ ma pierwiastek, gwarantowany przez TWP? (Odp: $(2, 3)$ .)
Solve online
Ex. 46.3Application
Czy równanie $\cos x = x$ ma rozwiązanie na $(0, \pi/2)$ ? (Odp: Tak.)
Solve online
Ex. 46.4Application
Wykaż, że równanie $e^x + x = 3$ ma rozwiązanie w przedziale $(0, 1)$ . Definiuj $f$ odpowiednio, sprawdź ciągłość i zastosuj TWP.
Solve online
Ex. 46.5ApplicationAnswer key
Czy TWP gwarantuje pierwiastek $f(x) = x^5 + x^3 - 1$ na $(0, 1)$ ? (Odp: Tak.)
Solve online
Ex. 46.6Understanding
Każdy wielomian nieparzystego stopnia ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Dlaczego?
Solve online
Ex. 46.7Application
Wykaż, że równanie $\ln x = e^{-x}$ ma rozwiązanie w przedziale $(1, e)$ .
Solve online
Ex. 46.8Understanding
Jeśli $f(a)$ i $f(b)$ mają ten sam znak, możemy wnioskować, że $f$ nie ma pierwiastka na $(a, b)$ ?
Solve online
Ex. 46.9ChallengeAnswer key
$f$ jest ciągła na $[0, 1]$ z $f(0) = f(1)$ . Wykaż, że istnieje $c \in [0, 1/2]$ z $f(c) = f(c + 1/2)$ . Wskazówka: definiuj $g(x) = f(x) - f(x + 1/2)$ i zastosuj TWP.
Solve online
Ex. 46.10ApplicationAnswer key
Zastosuj TWP, aby wykazać, że $f(x) = x^4 - 2x - 1$ ma co najmniej jeden pierwiastek w każdym z przedziałów $(-1, 0)$ i $(1, 2)$ .
Solve online
Ex. 46.11ApplicationAnswer key
Zastosuj 1 iterację bisekcji do $f(x) = x^3 - x - 1$ na $[1, 2]$ . Jaki jest nowy przedział? (Odp: $[1;\\; 1{,}5]$ .)
Solve online
Ex. 46.12ApplicationAnswer key
Po 2. iteracji bisekcji $f(x) = x^3 - x - 1$ na $[1, 2]$ , jaki jest przedział? (Odp: $[1{,}25;\\; 1{,}5]$ .)
Solve online
Ex. 46.13Application
Jaki jest maksymalny błąd po 3 iteracjach bisekcji na $[1, 2]$ ? (Odp: $0{,}125$ .)
Solve online
Ex. 46.14Application
Ile iteracji bisekcji na $[1, 2]$ jest potrzebnych, aby gwarantować błąd mniejszy niż $10^{-5}$ ? Pokaż obliczenia. (Odp: 17.)
Solve online
Ex. 46.15Modeling
Czy równanie $x \cdot 2^x = 1$ ma rozwiązanie w przedziale $(0, 1)$ ? (Odp: Tak.)
Solve online
Ex. 46.16ApplicationAnswer key
Ile iteracji bisekcji na $[1, 2]$ gwarantuje błąd mniejszy niż $10^{-6}$ ? (Odp: 20.)
Solve online
Ex. 46.17Challenge
Zastosuj 4 iteracje bisekcji do $f(x) = \cos x - x$ na $[0, \pi/2]$ . Wykonaj obliczenia na papierze i napisz wynikowy przedział w każdej iteracji.
Solve online
Ex. 46.18Modeling
Wewnętrzna Stopa Zwrotu (IRR) projektu jest definiowana jako $\text{NPV}(r) = 0$ . Czy TWP i bisekcja mogą być użyte do jej lokalizacji?
Solve online
Ex. 46.19ApplicationAnswer key
Oblicz TVM funkcji $f(x) = x^2 + 3$ na $[1, 4]$ . (Odp: 5.)
Solve online
Ex. 46.20Application
Oblicz TVM funkcji $f(x) = -x^2 + 4x$ na $[2, 4]$ . (Odp: $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.21Application
Oblicz TVM funkcji $f(x) = 2x^2 + 1$ na $[2, 4]$ . (Odp: 12.)
Solve online
Ex. 46.22ApplicationAnswer key
Oblicz TVM funkcji $f(x) = x^2$ w przedziale $[2, 2+h]$ (z $h \neq 0$ ). (Odp: $4 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.23Application
Oblicz TVM funkcji $f(x) = x^2 + x$ w przedziale $[0, h]$ z $h \neq 0$ . (Odp: $1 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.24Application
Oblicz TVM funkcji $f(x) = \sqrt{x}$ na $[1, 3]$ . Zostaw odpowiedź w formie dokładnej. (Odp: $(\sqrt{3}-1)/2$ .)
Solve online
Ex. 46.25Application
Oblicz TVM funkcji $f(x) = 1/x$ na $[1/2, 1]$ . (Odp: $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.26Application
Pozycja obiektu to $s(t) = 5t^2$ metrów ( $t$ w sekundach). Jaka jest średnia prędkość w przedziale $[1, 4]$ s? (Odp: 25 m/s.)
Solve online
Ex. 46.27Application
Oblicz TVM funkcji $f(x) = x^2$ w przedziale $[a, a+h]$ jako funkcję $a$ i $h$ . Co się dzieje gdy $h \to 0$ ? (Odp: $2a + h$ ; granica to $f'(a) = 2a$ .)
Solve online
Ex. 46.28ApplicationAnswer key
Oblicz TVM funkcji $f(x) = 1/x$ w przedziale $[a, a+h]$ jako funkcję $a$ i $h$ . (Odp: $-1/(a(a+h))$ ; granica to $-1/a^2$ .)
Solve online
Ex. 46.29Modeling
Pozycja cząstki to $s(t) = t^2 + t$ metrów ( $t$ w sekundach). Jaka jest średnia prędkość w przedziale $[2, 5]$ s? (Odp: 8 m/s.)
Solve online
Ex. 46.30Modeling
Temperatura miasta o godz. 0 była $27\,^\circ$ C, a o godz. 6 była $15\,^\circ$ C. Jaka była średnia stopa zmian temperatury w tym okresie? (Odp: $-2\,^\circ$ C/h.)
Solve online
Ex. 46.31Modeling
Funkcja kosztu produkcji to $C(q)$ (w R$). $C(100) = 1{.}000$ i $C(200) = 1{.}500$ . Jaki jest średni koszt krańcowy wytworzenia między 100 a 200 jednostkami?
Solve online
Ex. 46.32Modeling
Wysokość obiektu w swobodnym spadku to $h(t) = -4{,}9t^2 + 20$ metrów. Jaka jest średnia prędkość w przedziale $[0, 3]$ s? (Odp: $-14{,}7$ m/s.)
Solve online
Ex. 46.33Modeling
Populacja miasta wynosiła 1.000.000 w 2020 i 1.030.000 w 2030. Jaka była średnia roczna stopa zmian populacji? (Odp: 3.000 hab./rok.)
Solve online
Ex. 46.34Modeling
Dla $s(t) = 5t^2$ m, oblicz TVM w przedziale $[1, 1+h]$ jako funkcję $h$ . Co się dzieje gdy $h \to 0$ ? (Odp: $10 + 5h$ ; granica to 10 m/s.)
Solve online
Ex. 46.35ModelingAnswer key
Akcja została kupiona za R$ 100 i sprzedana za R$ 115 po 2 latach. Jaki był całkowity zwrot procentowy w tym okresie? (Odp: 15%.)
Solve online
Ex. 46.36Challenge
Dla $s(t) = t^2 + 3t$ , TVM na $[1, 4]$ to 8 m/s. Oblicz $s'(t)$ i znajdź $c \in (1, 4)$ z $s'(c) = 8$ . Co ten wynik antycypuje?
Solve online
Ex. 46.37Modeling
Miesięczny przychód firmy wzrósł z R$ 700 w styczniu do R$ 2.800 w lipcu (6 miesięcy). Jaka była średnia stopa zmian przychodu na miesiąc? (Odp: R$ 350/miesiąc.)
Solve online
Ex. 46.38Understanding
Jakie jest geometryczne znaczenie Taxa de Variação Média $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ ?
Solve online
Ex. 46.39Understanding
Co TWP gwarantuje o $f$ ciągłej na $[a, b]$ ?
Solve online
Ex. 46.40Proof
Wykaż formalnie, że pochodna $f'(a)$ jest granicą Taxa de Variação Média gdy przedział $[a, b]$ zmniejsza się do punktu $a$ .
Solve online

Fontes

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Fonte primária. §1.1 (How Do We Measure Velocity?) e §1.3 (The Derivative at a Point) — base dos Exemplos 3, 4, 5, Blocos C, D e E.
OpenStax Calculus: Volume 1 — OpenStax · Rice University · 2016 · CC-BY-NC-SA. §2.4 (Continuity e TVI) — base do Exemplo 1 e Blocos A e E. §2.1 (A Preview of Calculus) — base do Bloco D.
REAMAT — Cálculo Numérico (Python) — UFRGS · 2024 · CC-BY 4.0. §3.1 (Método da Bisseção) — base do Exemplo 2 e Bloco B.
Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024 · CC-BY-SA. §3.3 — demonstração do TVI via completude de $\mathbb{R}$ (Porta formal).