v1 · padrão canônico

Lição 48 — Limites de funções trigonométricas

Continuidade de seno, cosseno e tangente; os dois limites fundamentais sin x/x e (1−cos x)/x; generalizações; teorema do confronto; aplicações em física.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 4 · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrischer Funktionen)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna i techniki manipulacji

Ciągłość funkcji trygonometrycznych

Limit fundamentalny: dowód geometryczny

Theorem· Fundamentalny limit trygonometryczny

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Dowód (argument powierzchni, $x \in (0, \pi/2)$ ). Rozważmy koło jednostkowe. Sektor o kącie $x$ ma powierzchnię $x/2$ . Wpisany trójkąt ma powierzchnię $(\sin x)/2$ , a zewnętrzny trójkąt ma powierzchnię $(\tan x)/2$ . Przez inkluzję powierzchni:

$\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}.$

Dzieląc przez $(\sin x)/2 > 0$ :

$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}.$

Odwracając (i odwracając nierówności):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1.$

Ponieważ $\cos x \to 1$ gdy $x \to 0^+$ , przez Twierdzenie o Konfrontacji: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Dla $x \to 0^-$ użyjemy $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ . Zatem limit dwustronny wynosi 1. $\square$

"We can use the squeeze theorem to tackle several important limits. [...] The first involves the sine function." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Fundamentalne limity trygonometryczne

Definition· Tablica limitów przy x → 0

Limit	Wartość	Uwaga
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$	$1$	limit fundamentalny
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$	$0$	poprzez sprzężenie
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$	poprzez tożsamość $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$	$1$	$= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx}$	$\dfrac{a}{b}$	podstawienie $u = ax$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$	$\dfrac{a}{b}$	oba $\to$ 1 poprzez limit fundamentalny

Dowody limitów wtórnych

$(1 - \cos x)/x^2 \to 1/2$ : używając tożsamości $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \to \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$

$\tan x / x \to 1$ :

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{1} = 1.$

$\sin(ax)/(bx) \to a/b$ : niech $u = ax$ ; gdy $x \to 0$ , $u \to 0$ :

$\frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin u}{u} \to \frac{a}{b}.$

Twierdzenie o Konfrontacji

Asymptoty pionowe $\tan$ , $\sec$ , $\csc$ , $\cot$

W $x = \pi/2 + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ): $\cos x = 0$ i $\sin x = \pm 1$ , zatem:

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x = +\infty, \quad \lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x = -\infty.$

Analogicznie, $\csc x = 1/\sin x$ ma asymptoty w $x = k\pi$ i $\cot x = \cos x / \sin x$ również.

Wykres $\tan x$ blisko $x = \pm\pi/2$ : asymptoty pionowe z limitami bocznymi o przeciwnych znakach.

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Ciągłość i podstawienie bezpośrednie

Problem: Oblicz $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ .

Strategia: Ponieważ $\sin x$ i $\cos x$ są ciągłe na całym $\mathbb{R}$ , a kombinacje liniowe funkcji ciągłych są ciągłe, możemy po prostu podstawić $x = \pi/3$ .

Rozwiązanie:

Zidentyfikuj ciągłość: Funkcje $\sin x$ i $\cos x$ są ciągłe na $\mathbb{R}$ , zatem suma $2\sin x + \cos x$ również jest.
Podstaw bezpośrednio:

$\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x) = 2\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}.$

Oblicz wartości:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{1}{2}.$

Weryfikacja numeryczna: $\pi/3 \approx 1{,}047$ ; $2\sin(1{,}047) + \cos(1{,}047) \approx 2(0{,}866) + 0{,}500 = 2{,}232 \approx \sqrt{3} + 0{,}5$ . Prawidłowo.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.23 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limit formy sin(ax)/bx

Problem: Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ .

Strategia: Identyfikuj formę $\sin(ax)/(bx)$ z $a = 5$ i $b = 3$ . Przepisz jako $\frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}$ , aby zredukować do limitu fundamentalnego.

Rozwiązanie:

Przepisz mnożąc i dzieląc przez 5:

$\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}.$

Zastosuj limit: Przy $x \to 0$ również $5x \to 0$ . Zatem:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1.$

Połącz:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}.$

Weryfikacja: Dla $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}005)/0{,}003 \approx 1{,}6\overline{6} = 5/3$ . Prawidłowo.

Źródło. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Limit z tan i sin

Problem: Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(5x)}$ .

Strategia: Przepisz $\tan(3x) = \sin(3x)/\cos(3x)$ i rozdziel na czynniki, które dążą do znanych limitów.

Rozwiązanie:

Przepisz $\tan$ :

$\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x) \cdot \sin(5x)}.$

Pomnóż i podziel przez argumenty:

$= \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{3}{5\cos(3x)}.$

Zastosuj znane limity:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin(5x)} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(3x)} = 1.$

Połącz:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}.$

Weryfikacja: Dla $x = 0{,}01$ : $\tan(0{,}03)/\sin(0{,}05) \approx 0{,}030009/0{,}049979 \approx 0{,}600 = 3/5$ . Prawidłowo.

Źródło. APEX Calculus, §1.3, Exercises p. 49 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Twierdzenie o Konfrontacji zastosowane do funkcji oscylującej

Problem: Oblicz $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Strategia: Funkcja $\cos(1/x)$ oscyluje bez ograniczeń gdy $x \to 0$ . Nie można użyć iloczynu limitów. Ale ponieważ $|\cos(1/x)| \leq 1$ , jest możliwe hermetyzowanie $x^2\cos(1/x)$ między dwie funkcje, których limit to 0 i zastosowanie Twierdzenia o Konfrontacji.

Rozwiązanie:

Ustal nierówność: Dla każdego $x \neq 0$ , $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1$ . Mnożąc przez $x^2 \geq 0$ :

$-x^2 \leq x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2.$

Oblicz limity funkcji granicznych:

$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{i} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$

Zastosuj Twierdzenie o Konfrontacji: Ponieważ funkcja pośrodku jest ściśnięta między dwie funkcje dążące do 0:

$\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$

Weryfikacja: Nie można pisać $\lim(x^2) \cdot \lim(\cos(1/x))$ , ponieważ drugi limit nie istnieje. Konfrontacja omija tę przeszkodę elegancko.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, The Squeeze Theorem — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Przybliżenie małego kąta w wahadle

Problem: Dla małych kątów pokaż, że okres wahadła zbliża się do $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ używając limitu $\lim_{\theta \to 0}\sin\theta/\theta = 1$ . Oblicz błąd procentowy względny w $T$ dla $\theta_0 = 10°$ .

Strategia: Przybliżenie $\sin\theta \approx \theta$ transformuje nieliniowe równanie różniczkowe w liniowe, którego okres to $T_0$ . Korekta pierwszego rzędu do okresu pochodzi z rozwinięcia Taylora $\sin\theta$ .

Rozwiązanie:

Dokładne równanie różniczkowe: $\ddot\theta + (g/L)\sin\theta = 0$ .
Przybliżenie małych kątów: Ponieważ $\lim_{\theta \to 0} \sin\theta/\theta = 1$ , dla małego $\theta$ : $\sin\theta \approx \theta$ . Równanie staje się:

$\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0.$

To prosty oscylator harmoniczny z częstością $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ i okresem $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ .

Korekta pierwszego rzędu: Używając $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ , rozwinięcie dokładnego okresu to:

$T = T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \cdots\right).$

Błąd względny dla $\theta_0 = 10°$ :

$\frac{T - T_0}{T_0} \approx \frac{\theta_0^2}{16} = \frac{(0{,}1745)^2}{16} \approx 0{,}0019 = 0{,}19\%.$

Rzeczywisty okres przekracza $T_0$ tylko o $0{,}19\%$ dla oscylacji $10°$ .

Weryfikacja: Dla $\theta_0 = 30°$ : błąd $\approx (0{,}5236)^2/16 \approx 1{,}71\%$ — wciąż mały, ale już nie do pominięcia.

Źródło. Active Calculus, §2.2, Activity 2.2.2 — CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 4Modeling 3Challenge 2Proof 1 1

Ex. 48.1Application
Oblicz $\lim_{x \to \pi/4} \sin x$ .
Solve online
Ex. 48.2Application
Oblicz $\lim_{x \to \pi/2} \cos x$ .
Solve online
Ex. 48.3ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to \pi/6} \tan x$ .
Solve online
Ex. 48.4Application
Oblicz $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ .
Solve online
Ex. 48.5Application
Oblicz $\lim_{x \to \pi} (\sin x + 2\cos x)$ .
Solve online
Ex. 48.6Understanding
Które stwierdzenie o ciągłości $\sin x$ , $\cos x$ i $\tan x$ jest poprawne?
Solve online
Ex. 48.7Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \sin x$ .
Solve online
Ex. 48.8Understanding
Co się dzieje z $\lim_{x \to \pi/2} \tan x$ ?
Solve online
Ex. 48.9Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.10Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ .
Solve online
Ex. 48.11ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 48.12Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.13Application
Oblicz $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x - \pi}$ .
Solve online
Ex. 48.14Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x \sin(2x)}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.15Application
Oblicz $\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{x - \pi/2}$ .
Solve online
Ex. 48.16ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.17Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.18Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.19Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.20ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(3x)}{1 - \cos(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.21
Oblicz $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin(\pi - x)}{\pi - x}$ .
Solve online
Ex. 48.22ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(a + x) - \sin a}{x}$ (gdzie $a$ jest stałą).
Solve online
Ex. 48.23Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(a + x) - \cos a}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.24ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} x \cot x$ .
Solve online
Ex. 48.25Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - \cos(3x)}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.26ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sec x - 1}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.27ApplicationAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(ax)}{x}$ (dla $a \neq 0$ stała).
Solve online
Ex. 48.28Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan(3x)}{\sin(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.29Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.30Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.31Understanding
Aby obliczyć $\lim_{x \to 0} x^2\sin(1/x)$ , która metoda jest poprawna i dlaczego?
Solve online
Ex. 48.32Understanding
Co się dzieje z $\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ ?
Solve online
Ex. 48.33Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 48.34Application
Oblicz $\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 48.35Challenge
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 48.36ChallengeAnswer key
Oblicz $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x) - x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 48.37ProofAnswer key
Udowodnij, że $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ używając Twierdzenia o Konfrontacji i argumentu powierzchni koła jednostkowego.
Solve online
Ex. 48.38Modeling
We wzorze dyfrakcji szczeliny pojedynczej natężenie to $I(\theta) \propto \left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$ , z $u = \pi a\sin\theta/\lambda$ . Co się dzieje w centrum ekranu ( $\theta = 0$ )?
Solve online
Ex. 48.39Modeling
Przybliżenie małego kąta $\sin\theta \approx \theta$ jest fundamentalne w inżynierii. Dla $\theta_0 = 5°$ , które stwierdzenie jest poprawne o błędzie względnym?
Solve online
Ex. 48.40Modeling
Okres wahadła z amplitudą $\theta_0$ wynosi $T \approx T_0(1 + \theta_0^2/16)$ . Oblicz błąd procentowy względny dla $\theta_0 = 30°$ i $\theta_0 = 45°$ . Dla której amplitudy przybliżenie zaczyna być klinicznie problematyczne (błąd powyżej 1%)?
Solve online

Źródła

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws — limity trygonometryczne, Twierdzenie o Konfrontacji), §2.4 (Ciągłość), §3.5 (Pochodne funkcji trygonometrycznych) · CC-BY-NC-SA 4.0. Źródło pierwsze dla ćwiczeń i przykładów.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · §1.3 (Finding Limits Analytically — sekcja trygonometryczna, pp. 48–49) · CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.2 (Sine and Cosine Functions, Activity 2.2.2) · CC-BY-SA 4.0.