v1 · padrão canônico

Lição 49 — Limite de sequências (formalizado)

Definição rigorosa épsilon-N de convergência. Teoremas fundamentais: unicidade, álgebra dos limites, confronto, monótona limitada, Bolzano-Weierstrass. Aplicações em algoritmos iterativos e finanças.

Used in: 2.º ano do programa (17 anos) · Equiv. Math III japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 LK Análise alemã · Equiv. H2 Math singapurense — Sequences & Series

\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna i twierdzenia fundamentalne

Definicja epsilon-N

"We say the sequence $(x_n)$ converges to a number $L$ if for every $\varepsilon > 0$ , there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that $|x_n - L| < \varepsilon$ for all $n \geq M$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.1

"A sequence $(x_n)$ is a Cauchy sequence if for every $\varepsilon > 0$ there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that for all $n, k \geq M$ we have $|x_n - x_k| < \varepsilon$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.4

Interpretacja geometryczna

Pas poziomy $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$ zawiera wszystkie wyrazy z $n > N$ . Dla każdego pasa, który wybierzesz (niezależnie jak wąski), istnieje takie $N$ , które działa.

Twierdzenia fundamentalne

Twierdzenie	Sformułowanie skrócone
Algebra granic	$\lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n$ ; analogicznie dla iloczynu i ilorazu (mianownik $\neq 0$ )
Twierdzenie o trzech ciągach	$a_n \leq b_n \leq c_n$ i $\lim a_n = \lim c_n = L$ implikuje $\lim b_n = L$
Bolzano-Weierstrass	Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny
Cauchy $\iff$ zbieżny	W $\mathbb{R}$ : każdy ciąg Cauchy'ego zbieża (równoważność definiująca zupełność)

Granice znane

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p} = 0\;(p>0),\quad \lim_{n\to\infty}r^n = 0\;(|r|<1),\quad \lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1,\quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e.

what this means · Sequências fundamentais cujos limites devem ser memorizados.

Hierarchia wzrostu

\ln n \ll n^a \ll b^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 0,\; b > 1).

what this means · Każda funkcja po lewej stronie rośnie znacznie wolniej niż każda funkcja po prawej.

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Granica ciągu wymiernego poprzez dzielenie potęgi

Problem. Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5}$ .

Strategia. Dzielenie licznika i mianownika przez największy stopień $n$ , który się pojawia ( $n^2$ ). Potem każda część z $n$ w mianowniku zmierza do zera.

Rozwiązanie.

Podziel licznik i mianownik przez $n^2$ :

$\frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5} = \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2}.$

Zastosuj granicę używając algebry granic. Każdy ułamek $c/n^k \to 0$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2.$

Weryfikacja. Dla $n = 100$ : $(20000 - 300 + 1)/(10000 + 5) = 19701/10005 \approx 1{,}969$ . Dla $n = 10000$ : $(2 \cdot 10^8 - 30000 + 1)/(10^8 + 5) \approx 2{,}0003$ . Zbieżność do 2.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Twierdzenie o trzech ciągach: oscylujący ciąg dzielony przez n

Problem. Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Strategia. Funkcja $\sin n$ oscyluje bez zbieżności, ale zawsze jest między $-1$ a $1$ . Używamy twierdzenia o trzech ciągach, zaciskając ciąg między $-1/n$ i $1/n$ .

Rozwiązanie.

Użyj podstawowej nierówności $-1 \leq \sin n \leq 1$ :

$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \quad \text{dla każdego } n \geq 1.$

Oblicz granice ciągów ograniczających:

$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0 \quad \text{i} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$

Z twierdzenia o trzech ciągach, ciąg pośrodku też zmierza do 0:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0.$

Weryfikacja. Dla $n = 100$ : $\sin(100)/100 \approx -0{,}00506$ . Dla $n = 1000$ : $\sin(1000)/1000 \approx 0{,}000827$ . Oba bliskie zeru.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.7 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Ciąg monotoniczny ograniczony: zbieżność (1+1/n)^n

Problem. Wykaż, że ciąg $a_n = (1 + 1/n)^n$ jest rosnący i ograniczony z góry przez 3, zatem zbieża. Zidentyfikuj granicę.

Strategia. Rozwinięcie dwumianowe pokazujące wzrost; porównanie z szeregiem geometrycznym dla górnego ograniczenia.

Rozwiązanie.

Rozwinięcie dwumianowe:

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right).$

Każdy wyraz rośnie z $n$ : iloczyn $\prod_{j=0}^{k-1}(1 - j/n)$ zwiększa się gdy $n$ się zwiększa. Stąd $a_n$ jest rosnący.
Górne ograniczenie: każdy wyraz jest co najmniej $1/k!$ , zatem:

$a_n \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 + \frac{1}{1 - 1/2} = 3.$

Z twierdzenia o ciągu monotonicznym ograniczonym, $(a_n)$ zbieża. Z definicji, jego granica to $e \approx 2{,}71828$ .

Weryfikacja. $a_{10} \approx 2{,}5937$ , $a_{100} \approx 2{,}7048$ , $a_{1000} \approx 2{,}7169$ . Rosnąc w kierunku $e$ .

Źródło. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.9 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Ciąg rekurencyjny: punkt stały i złoty podział

Problem. Niech $F_n$ będzie ciągiem Fibonacciego z $F_1 = F_2 = 1$ i $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Określ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

Strategia. Definiujemy $r_n = F_{n+1}/F_n$ i wyprowadzamy rekurencję dla $r_n$ . Jeśli ciąg $r_n$ zbieża, jego granica spełnia równanie punktu stałego.

Rozwiązanie.

Rekurencja dla $r_n$ : Ze tożsamości $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , dzieląc przez $F_{n+1}$ :

$r_{n+1} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = 1 + \frac{F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{r_n}.$

Wartości początkowe: $r_1 = 1$ , $r_2 = 2$ , $r_3 = 3/2 = 1{,}5$ , $r_4 = 5/3 \approx 1{,}667$ , $r_5 = 8/5 = 1{,}6$ , $r_6 = 13/8 = 1{,}625$ . Ciąg oscyluje zbiegając.
Równanie punktu stałego: Jeśli $r_n \to L$ , biorąc granicę w rekurencji:

$L = 1 + \frac{1}{L} \implies L^2 - L - 1 = 0 \implies L = \frac{1 + \sqrt 5}{2} = \varphi \approx 1{,}618.$

(Pierwiastek ujemny odrzucony bo $L > 0$ .)

Weryfikacja. $r_{10} = 89/55 \approx 1{,}6182$ , $r_{15} = 987/610 \approx 1{,}6180$ . Zbieżność do $\varphi$ .

Źródło. Active Calculus, §8.1, Activity 8.1.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Procent składany i granica e^r (modelowanie finansowe)

Problem. Bank oferuje 12% rocznie z kapitalizacją $n$ razy rocznie. Jaka jest końcowa suma w R$ 1.000 gdy $n \to \infty$ ? Porównaj z kapitalizacją roczną ( $n = 1$ ) i miesięczną ( $n = 12$ ).

Strategia. Wyrażamy sumę jako $A_n = 1000 \cdot (1 + r/n)^n$ i obliczamy granicę używając fundamentalnej granicy $(1 + x/n)^n \to e^x$ .

Rozwiązanie.

Zidentyfikuj $r = 0{,}12$ . Suma po 1 roku z $n$ kapitalizacjami to:

$A_n = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{n}\right)^n.$

Użyj granicy: $\left(1 + r/n\right)^n \to e^r$ gdy $n \to \infty$ :

$A_\infty = 1000 \cdot e^{0{,}12} = 1000 \cdot 1{,}12749\ldots \approx \mathrm{R\$}\ 1127{,}50.$

Porównaj trzy sytuacje:

Kapitalizacja	Formuła	Suma
Roczna ( $n=1$ )	$1000 \cdot (1{,}12)^1$	R$ 1.120,00
Miesięczna ( $n=12$ )	$1000 \cdot (1{,}01)^{12}$	R$ 1.126,83
Ciągła ( $n \to \infty$ )	$1000 \cdot e^{0{,}12}$	R$ 1.127,50

Różnica między kapitalizacją ciągłą a miesięczną to zaledwie R$ 0,67 rocznie.

Weryfikacja. $e^{0{,}12} = 1{,}12749...$ . Dla $n = 365$ (dzienne): $(1 + 0{,}12/365)^{365} \approx 1{,}12747$ — praktycznie równe ciągłemu.

Źródło. Active Calculus, §8.1, Preview Activity 8.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

44 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 5Modeling 8Challenge 2Proof 2

Ex. 49.1Application
Określ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}$ . Rozwiąż w zeszycie i zweryfikuj dla $n = 100$ i $n = 10000$ .
Solve online
Ex. 49.2Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{n^2 + 2}$ .
Solve online
Ex. 49.3Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ .
Solve online
Ex. 49.4Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.5Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\cos^2 n}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.6Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.7Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.8ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ . Naszkicuj pierwsze 10 wyrazów w zeszycie i narysuj przybliżenie do $e$ .
Solve online
Ex. 49.9Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.10ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^{1/n}$ .
Solve online
Ex. 49.11Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$ .
Solve online
Ex. 49.12Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.13ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.14Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online
Ex. 49.15Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online
Ex. 49.16Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (3^n + 4^n)^{1/n}$ .
Solve online
Ex. 49.17Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)$ .
Solve online
Ex. 49.18Understanding
Ciąg sum częściowych $H_n = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots + \tfrac{1}{n}$ (szereg harmoniczny): czy zbieża czy rozbieża?
Solve online
Ex. 49.19UnderstandingAnswer key
Ciąg sum częściowych $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ : czy zbieża? Na jaką wartość?
Solve online
Ex. 49.20Application
Ustal czy $a_n = (-1)^n$ zbieża czy rozbieża. Uzasadnij używając definicji epsilon- $N$ lub argumentu jednoznaczności.
Solve online
Ex. 49.21Application
Niech $a_1 = 1$ i $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\!\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$ (metoda Herona dla $\sqrt{2}$ ). Oblicz $\lim a_n$ .
Solve online
Ex. 49.22Application
Niech $a_1 = 1$ i $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Określ $\lim_{n \to \infty} a_n$ .
Solve online
Ex. 49.23Application
Niech $a_0 = 0$ i $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 3}{2}$ . Określ $\lim a_n$ .
Solve online
Ex. 49.24ApplicationAnswer key
Niech $F_n$ będzie ciągiem Fibonacciego. Określ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .
Solve online
Ex. 49.25Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}$ .
Solve online
Ex. 49.26ApplicationAnswer key
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.27Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.28Application
Oblicz $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ .
Solve online
Ex. 49.29Application
Niech $a_1 = 1$ i $a_{n+1} = \dfrac{1}{1 + a_n}$ . Oblicz $\lim a_n$ .
Solve online
Ex. 49.30Understanding
Dla $0 < r < 1$ , ciąg sum częściowych $S_n = \sum_{k=0}^n r^k$ : pokaż, że jest rosnący i ograniczony z góry, zatem zbieżny. Do jakiej wartości?
Solve online
Ex. 49.31ModelingAnswer key
R$ 1.000 inwestowane na 1 rok przy 6% rocznie z kapitalizacją $n$ razy w roku. Jaka suma gdy $n \to \infty$ ?
Solve online
Ex. 49.32ModelingAnswer key
Aktywa płacą R$ 10 miesięcznie na zawsze (renta wieczna). Przy stopie procentowej 5% miesięcznie, jaka jest wartość bieżąca tego przepływu? Użyj formuły szeregu geometrycznego.
Solve online
Ex. 49.33Modeling
Szereg $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ zbieża? Jeśli tak, oblicz sumę.
Solve online
Ex. 49.34Modeling
Kula jest upuszczona z 5 metrów wysokości i każde odbicie osiąga 90% poprzedniej wysokości. Jaka jest całkowita odległość przebyta?
Solve online
Ex. 49.35Modeling
Spółka płaci dywidendę R$ 100 miesięcznie na zawsze. Przy stopie dyskontowej 1% miesięcznie, jaka jest godziwa wartość spółki dzisiaj?
Solve online
Ex. 49.36Modeling
R$ 1.000 inwestowane przy 12% rocznie z kapitalizacją ciągłą zarabia ile po 1 roku? Porównaj z kapitalizacją roczną.
Solve online
Ex. 49.37ModelingAnswer key
W ekonomii, każdy R$ dochodu wydaje się $2/3$ i oszczędza się $1/3$ (krańcowa skłonność do konsumpcji $c = 2/3$ ). Jaki jest całkowity efekt (mnożnik keynesowski) wzrostu początkowego o R$ 1 w dochodzie?
Solve online
Ex. 49.38ModelingAnswer key
Finansowanie płaci R$ 500 miesięcznie na zawsze przy 1% miesięcznie. Oblicz całkowitą wartość bieżącą używając granicy szeregu geometrycznego.
Solve online
Ex. 49.39Understanding
Czy ciąg $a_n = n$ jest zbieżny? Uzasadnij używając definicji epsilon- $N$ .
Solve online
Ex. 49.40Understanding
Udowodnij, że ciąg sum częściowych $S_n = \sum_{k=0}^n (1/2)^k$ jest rosnący i ograniczony z góry, zatem zbieżny z twierdzenia o ciągu monotonicznym ograniczonym.
Solve online
Ex. 49.41ChallengeAnswer key
Oblicz $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ . Oblicz pierwsze 5 sum częściowych w zeszycie aby potwierdzić zbieżność.
Solve online
Ex. 49.42Challenge
Pokaż, że $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ zbieża. Oblicz $S_{10}$ i porównaj z $\pi^2/6$ .
Solve online
Ex. 49.43Proof
Udowodnij rygorystycznie poprzez epsilon- $N$ że $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ .
Solve online
Ex. 49.44Proof
Udowodnij twierdzenie algebry granic: jeśli $\lim a_n = L$ i $\lim b_n = M$ , to $\lim (a_n + b_n) = L + M$ .
Solve online

Źródła

Lebl — Basic Analysis: Introduction to Real Analysis — Jiří Lebl · CC-BY-NC-SA · §2.1–2.4 (Sequences). Definicja epsilon-N, jednoznaczność, Cauchy, Bolzano-Weierstrass. Odniesienie podstawowe dla rygoru.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §8.1 (Sequences) i §8.2 (Geometric Series). Aktywności z ciągami rekurencyjnymi, Fibonaccim, zastosowaniami finansowymi.
OpenStax Calculus Volume 2 — Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0 · §5.1 (Sequences). Znane granice, dryl ćwiczeń z pełnymi rozwiązaniami.