v1 · padrão canônico

Lição 52 — Regras de derivação

As regras algébricas de derivação — potência, constante múltipla, soma, produto, quociente — e as derivadas das funções elementares. Nunca mais limite na prática.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. AP Calculus AB Unit 2 · Equiv. Calculus I §3.3–3.5 · Equiv. Math III japonês cap. 3

(fg)' = f'g + fg'

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicje i twierdzenia formalne

Tabela pochodnych funkcji elementarnych

Definition· Pochodne funkcji elementarnych

Niech $f$ będzie różniczkowalna w punkcie $x$ . Poniższe pochodne są bezpośrednimi konsekwencjami definicji poprzez granicę i uważane są za wyniki fundamentalne:

Funkcja $f(x)$	Pochodna $f'(x)$	Warunek
$c$ (stała)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Reguły operacyjne

Theorem· Reguły pochodnych (Leibniza i Cauchy'ego)

Niech $f$ i $g$ będą funkcjami różniczkowalnymi w punkcie $x$ , a $c \in \mathbb{R}$ będzie stałą. Wówczas:

(c)' = 0

(R1)

what this means · Stała: pochodna dowolnej liczby stałej wynosi zero, ponieważ nie ma zmian.

(x^n)' = n x^{n-1}

(R2)

what this means · Reguła potęgi: wykładnik schodzi jako współczynnik i zmniejsza się o 1. Obowiązuje dla dowolnego wykładnika rzeczywistego.

(c f)' = c f'

(R3)

what this means · Stała wielokrotność: stałe przechodzą przez pochodną bez zmiany.

(f \pm g)' = f' \pm g'

(R4)

what this means · Suma i różnica: pochodna rozkłada się na sumy i różnice.

(fg)' = f'g + fg'

(R5)

what this means · Reguła iloczynu (Leibniza): iloczyn generuje dwa terminy. Każdy różniczkuje jeden z czynników, zachowując drugi niezmieniony.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0

(R6)

what this means · Reguła ilorazu: licznik to f prim g minus f g prim; mianownik to g do kwadratu. Znak minus w liczniku jest krytyczny — nie odwracaj kolejności.

"Jeśli $f$ i $g$ są funkcjami różniczkowalnymi, wówczas pochodna iloczynu $(fg)'$ istnieje i jest dana wzorem $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — Active Calculus §2.3

Dowód reguły iloczynu

Theorem· Dowód reguły iloczynu z definicji

Niech $h(x) = f(x) g(x)$ . Z definicji:

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Dodaj i odejmij $f(x+\Delta x)\,g(x)$ w liczniku:

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

Rozdziel granice i używając ciągłości $g$ (każda funkcja różniczkowalna jest ciągła, zatem $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ):

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Pochodna wielomianu (bezpośrednie zastosowanie reguł R2–R4)

Problem: Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Strategia: Wielomian = suma jednomianów. Zastosuj R4 (liniowość), R2 (potęga) i R1 (stała) termin po terminie.

Rozwiązanie:

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

Zastosuj R3 (wielokrotność stała) i R2 (potęga):

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Sprawdzenie: Każdy wykładnik zmniejszył się o 1; każdy współczynnik pomnożył się przez pierwotny wykładnik. Stała $-2$ zniknęła (R1). Poprawne.

Źródło. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Reguła iloczynu — wielomian razy funkcja trygonometryczna

Problem: Oblicz $h'(x)$ dla $h(x) = x^3 \sin x$ .

Strategia: $h = f \cdot g$ z $f(x) = x^3$ i $g(x) = \sin x$ . Zastosuj R5: $(fg)' = f'g + fg'$ .

Rozwiązanie:

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Zastosuj R5:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Forma sfaktoryzowana (opcjonalna): $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Sprawdzenie: Dwa składniki (poprawne dla iloczynu). Pierwszy: różniczkował $x^3$ , zachował $\sin x$ . Drugi: zachował $x^3$ , różniczkował $\sin x$ . Obie reguły elementarne zastosowane poprawnie.

Źródło. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Reguła ilorazu — funkcja wymierna

Problem: Oblicz $k'(x)$ dla $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Strategia: $k = f/g$ z $f(x) = x^2 + 1$ i $g(x) = x - 3$ . Zastosuj R6.

Rozwiązanie:

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Zastosuj R6:

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Uwaga: Licznik to $f'g - fg'$ , nie $fg' - f'g$ . Znak minus nie jest przemienny — odwrócenie tworzy najczęściej popełniany błąd w tej regule.

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Iloczyn funkcji wykładniczej z trygonometryczną

Problem: Oblicz $p'(x)$ dla $p(x) = e^x \cos x$ .

Strategia: Iloczyn $f(x) = e^x$ i $g(x) = \cos x$ . Zastosuj R5 z pochodnymi z tabeli.

Rozwiązanie:

$f'(x) = e^x$ (niezwykłe: $e^x$ różniczkuje się do samego siebie)
$g'(x) = -\sin x$

Zastosuj R5:

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Sprawdzenie: W $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ i $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . Styczna w $(0, 1)$ ma nachylenie 1, co ma geometryczny sens (funkcja rośnie z nachyleniem 1 w pochodzeniu).

Źródło. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Równanie stycznej z punktem krytycznym

Problem: Znajdź równanie stycznej do krzywej $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ w punkcie gdzie $x = 1$ .

Strategia: (a) Oblicz $y(1)$ aby uzyskać punkt styku. (b) Oblicz $y'(x)$ poprzez regułę ilorazu. (c) Oceń $y'(1)$ . (d) Napisz w formie punkt-nachylenie.

Rozwiązanie:

(a) Punkt styku:

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Punkt: $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Pochodna poprzez iloraz z $f = x$ i $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Współczynnik kierunkowy w $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Równanie stycznej:

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

Styczna w $x = 1$ jest pozioma — to ma sens, bo $y = x/(x^2+1)$ ma maksimum lokalne w tym punkcie (funkcja rośnie od $x=0$ do $x=1$ a potem maleje).

Źródło. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 7Challenge 1Proof 1 1

Ex. 52.1Application
Oblicz $(x^5)'$ .
Solve online
Ex. 52.2Application
Oblicz pochodną funkcji $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
Solve online
Ex. 52.3ApplicationAnswer key
Oblicz $(\sqrt{x})'$ . Wskazówka: napisz jako $x^{1/2}$ i zastosuj R2.
Solve online
Ex. 52.4Application
Oblicz $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.5ApplicationAnswer key
Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .
Solve online
Ex. 52.6Application
Oblicz $\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.7Application
Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ .
Solve online
Ex. 52.8Application
Oblicz $f'(x)$ dla $f(x) = x^3 + 2x$ .
Solve online
Ex. 52.9Application
Oblicz $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.10ApplicationAnswer key
Oblicz $g'(x)$ dla $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ .
Solve online
Ex. 52.11Application
Oblicz $(\sin x \cdot \cos x)'$ .
Solve online
Ex. 52.12ApplicationAnswer key
Oblicz $(x e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.13Application
Oblicz $(x \ln x)'$ .
Solve online
Ex. 52.14Application
Oblicz $(x^2 \sin x)'$ .
Solve online
Ex. 52.15ApplicationAnswer key
Oblicz $(e^x \cos x)'$ .
Solve online
Ex. 52.16Application
Oblicz $(x^2 e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.17ApplicationAnswer key
Oblicz $(\tan x \cdot e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.18Application
Oblicz $(x \sin x)'$ .
Solve online
Ex. 52.19Application
Oblicz $(x^3 \ln x)'$ .
Solve online
Ex. 52.20Understanding
Uogólnienie reguły iloczynu. Jeśli $f$ , $g$ , $h$ są funkcjami różniczkowalnymi, jaka jest $(fgh)'$ ?
Solve online
Ex. 52.21Application
Oblicz $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ dla $x \neq 0$ .
Solve online
Ex. 52.22Application
Oblicz $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$ dla $x \neq 0$ .
Solve online
Ex. 52.23Application
Oblicz $\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.24
Oblicz $k'(x)$ dla $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .
Solve online
Ex. 52.25Application
Oblicz $\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$ dla $x \neq \pm 1$ .
Solve online
Ex. 52.26ApplicationAnswer key
Różniczkuj $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ poprzez regułę ilorazu i pokaż że $(\cot x)' = -\csc^2 x$ .
Solve online
Ex. 52.27Application
Różniczkuj $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ poprzez regułę ilorazu i pokaż że $(\sec x)' = \sec x \tan x$ .
Solve online
Ex. 52.28Application
Oblicz $\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.29ModelingAnswer key
Znajdź równanie stycznej do $f(x) = x^2 + 3x$ w punkcie $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.30ModelingAnswer key
W których punktach wykres funkcji $f(x) = x^3 - 3x$ ma styczną poziomą?
Solve online
Ex. 52.31Modeling
Obiekt ma pozycję $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metrów ( $t$ w sekundach). Oblicz $v(t)$ i $a(t)$ . Oceń w $t = 2$ i określ kiedy obiekt jest zatrzymany.
Solve online
Ex. 52.32Modeling
Funkcja kosztu: $C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$ (reale brazylijskie). Oblicz koszt krańcowy $C'(q)$ i oceń w $q = 100$ .
Solve online
Ex. 52.33Modeling
Przychód całkowity: $R(q) = q(200 - q)$ . Oblicz przychód krańcowy $R'(q)$ i określ ilość która maksymalizuje przychód.
Solve online
Ex. 52.34Modeling
Znajdź styczną do $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ w $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.35Modeling
Dla $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ , określ: (a) prędkość w $t = 2$ ; (b) kiedy obiekt jest zatrzymany.
Solve online
Ex. 52.36UnderstandingAnswer key
Identyfikacja błędu. Student obliczył $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . Czy to prawidłowo czy błędnie? Uzasadnij i popraw jeśli potrzeba.
Solve online
Ex. 52.37Understanding
Identyfikuj która reguła pochodną dotyczy $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$ , zastosuj ją i uprość $h'(x)$ .
Solve online
Ex. 52.38Understanding
Koncepcja. Dlaczego pochodna $e^x$ jest "specjalna"? Wyjaśnij co oznacza $(e^x)' = e^x$ w sensie geometrycznym i numerycznym.
Solve online
Ex. 52.39Challenge
Wyzwanie: iloczyn trzech funkcji. Udowodnij że $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ , stosując regułę iloczynu dwukrotnie.
Solve online
Ex. 52.40Proof
Dowód. Udowodnij regułę iloczynu $(fg)' = f'g + fg'$ z definicji pochodnej poprzez granicę.
Solve online

Źródła

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Reguły elementarne), §2.2 (Sinus i cosinus), §2.3 (Iloczyn i iloraz). Źródło pierwotne. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Reguły pochodnych), §3.4 (Pochodne jako szybkości zmian), §3.5 (Pochodne funkcji trygonometrycznych). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Reguły podstawowe), §2.4 (Iloczyn i iloraz). CC-BY-NC.

Definicje i twierdzenia formalne

Tabela pochodnych funkcji elementarnych

Reguły operacyjne

Dowód reguły iloczynu

Styczna do krzywej

Przykłady rozwiązane

Źródła