v1 · padrão canônico

Lição 53 — Regra da cadeia

Derivada de função composta: se y = f(g(x)), então dy/dx = f'(g(x))·g'(x). A regra mais usada em todo o cálculo aplicado.

Used in: 2.º ano EM (16 anos) · Equiv. Math II/III japonês §微分 · Equiv. Klasse 11 alemã Abitur

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja i teoria

Sformułowanie formalne

Definition· Reguła łańcucha

Niech $g$ będzie różniczkowalna w $x$ i $f$ różniczkowalna w $g(x)$ . Wtedy funkcja złożona $h(x) = f(g(x))$ jest różniczkowalna w $x$ i:

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

(RC)

what this means · Pochodna kompozycji to iloczyn pochodnej zewnętrznej (ewaluowanej w punkcie wewnętrznym) przez pochodną wewnętrzną. Czytaj od zewnątrz do wewnątrz.

W notacji Leibniza, definiując $u = g(x)$ i $y = f(u)$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

(RC-Leibniz)

what this means · Notacja Leibniza czyni regułę wizualnie mnemoniczną: jednostki du 'się znoszą' formalnie, jak w ułamku.

"Reguła łańcucha stwierdza, że pochodna $f(g(x))$ to $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Innymi słowy, różniczkujemy funkcję zewnętrzną $f$ , ewaluowaną w funkcji wewnętrznej $g(x)$ , i mnożymy przez pochodną funkcji wewnętrznej." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.6

"Myśl o procesie od zewnątrz do wewnątrz: zidentyfikuj funkcję zewnętrzną, różniczkuj ją zachowując funkcję wewnętrzną bez zmian, potem pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej." — Boelkins, Active Calculus §2.5

Demonstracja rygorystyczna

Trudność polega na tym, że $g(x+h) - g(x)$ może być zero dla $h \neq 0$ , co unieważnia naiwny argument cancellation $\Delta g$ . Rozwiązanie używa funkcji pomocniczej:

$Q(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & y \neq g(a) \\ f'(g(a)) & y = g(a) \end{cases}$

$Q$ jest ciągła w $g(a)$ (dzięki różniczkowalności $f$ ). Ponieważ $f(g(a+h)) - f(g(a)) = Q(g(a+h)) \cdot [g(a+h) - g(a)]$ , dzieląc przez $h$ i biorąc $h \to 0$ otrzymujemy $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$ .

Przypadki specjalne fundamentalne

Funkcja złożona	Pochodna
$[g(x)]^n$	$n\,[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
$\sin(g(x))$	$\cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$\cos(g(x))$	$-\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$g'(x)/g(x)$
$\sqrt{g(x)}$	$g'(x) / (2\sqrt{g(x)})$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Potrójne złożenie

Dla $h(x) = f(g(k(x)))$ :

(f \circ g \circ k)'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)

(tripla)

what this means · Reguła łańcucha uogólnia się: mnożymy pochodną każdej warstwy, zawsze od zewnątrz do wewnątrz.

Diagram kompozycji

Przepływ kompozycji: entrada x, przetwarzana przez g w celu wygenerowania u, potem przez f w celu wygenerowania y. Całkowita stawka dy/dx to iloczyn stawek indywidualnych.

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Reguła potęgi uogólniona — kompozycja z wielomianem

Problem: Oblicz pochodną $h(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Strategia: Funkcja $h$ to kompozycja: funkcja na zewnątrz to $u^5$ a funkcja wewnątrz to $u = x^2 + 1$ . Stosujemy regułę łańcucha, jawnie identyfikując każdą warstwę.

Rozwiązanie:

Identyfikuj warstwy:
- Funkcja na zewnątrz: $f(u) = u^5$
- Funkcja wewnątrz: $g(x) = x^2 + 1$
Pochodna warstwy na zewnątrz: $f'(u) = 5u^4$ . Ewaluowana w $g(x)$ : $f'(g(x)) = 5(x^2+1)^4$ .
Pochodna warstwy wewnątrz: $g'(x) = 2x$ .
Zastosuj łańcuch: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Weryfikacja: Dla $x = 0$ : $h(0) = 1^5 = 1$ , $h'(0) = 10 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ . Funkcja ma minimum w $x = 0$ (parabola przesunięta podniesiona do 5. potęgi), co jest spójne z $h'(0) = 0$ .

Źródło. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Reguła łańcucha z eksponencjałą i trygonometrią

Problem: Oblicz pochodną $f(x) = e^{\sin x}$ .

Strategia: Kompozycja z eksponencjałą. Formuła $\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ to bezpośredni przypadek specjalny łańcucha.

Rozwiązanie:

Warstwa na zewnątrz: $f(u) = e^u$ , pochodna $e^u$ .
Warstwa wewnątrz: $g(x) = \sin x$ , pochodna $\cos x$ .
Wynik: $f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$

Interpretacja: Pochodna zmienia znak zawsze gdy $\cos x = 0$ , to znaczy w $x = \pi/2 + k\pi$ . W maksimach $\sin x$ , pochodna się zeruje — bo $\cos(\pi/2) = 0$ .

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Reguła łańcucha z logarytmem naturalnym

Problem: Oblicz pochodną $g(x) = \ln(3x^2 + 5)$ .

Strategia: Kompozycja z logarytmem. Formuła $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}$ to bezpośredni przypadek specjalny.

Rozwiązanie:

Warstwa na zewnątrz: $f(u) = \ln u$ , pochodna $1/u$ . Ewaluowana w $g(x)$ : $\dfrac{1}{3x^2 + 5}$ .
Warstwa wewnątrz: $g(x) = 3x^2 + 5$ , pochodna $g'(x) = 6x$ .
Wynik: $g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Weryfikacja: Dla dużych $x$ , $g'(x) \approx \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x} \to 0$ . To ma sens: logarytm rośnie coraz wolniej.

Źródło. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Potrójne złożenie — zagnieżdżony łańcuch

Problem: Oblicz pochodną $h(x) = \sin(e^{x^2})$ .

Strategia: To trzy warstwy zagnieżdżone. Stosujemy regułę łańcucha od zewnątrz do wewnątrz, jedną warstwę na raz.

Rozwiązanie:

Napisz warstwy jawnie:

Warstwa 1 (najbardziej zewnętrzna): $f_1(u) = \sin u$ , pochodna $\cos u$
Warstwa 2 (pośrednia): $f_2(v) = e^v$ , pochodna $e^v$
Warstwa 3 (najbardziej wewnętrzna): $f_3(x) = x^2$ , pochodna $2x$

Stosując regułę łańcucha od zewnątrz do wewnątrz:

$h'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

Weryfikacja: Dla $x = 0$ : $h'(0) = \cos(1) \cdot 1 \cdot 0 = 0$ . Sprawdzalne numerycznie: $h(0+0{,}001) - h(0) \approx 0$ .

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6, Example 3.47 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Łańcuch połączony z regułą iloczynu

Problem: Oblicz pochodną $f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$ .

Strategia: To iloczyn dwóch funkcji, z których jedna jest złożona. Najpierw stosujemy regułę iloczynu, potem łańcuch w drugim czynniku.

Rozwiązanie:

Zidentyfikuj dwa czynniki iloczynu:

$u(x) = x^2$ , pochodna $u'(x) = 2x$
$v(x) = e^{-x^2}$ , pochodna via łańcuch: $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Stosując regułę iloczynu $[u \cdot v]' = u' v + u v'$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2}) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$

Rozkładając $2x e^{-x^2}$ :

$f'(x) = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$

Interpretacja: Punkty krytyczne to $x = 0$ i $x = \pm 1$ . Ta funkcja pojawia się w rozkładzie normalnym: czynnik $(1-x^2)$ określa ekstrema w $x = \pm 1$ .

Źródło. Active Calculus §2.5, Activity 2.5.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 6Challenge 3Proof 1

Ex. 53.1Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}[(2x+3)^5]$ .
Solve online
Ex. 53.2ApplicationAnswer key
Oblicz $(\sin(4x))'$ .
Solve online
Ex. 53.3Application
Oblicz $(e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.4Application
Oblicz $(\ln(x^2 + 1))'$ .
Solve online
Ex. 53.5Application
Oblicz $(\sqrt{x^2+1})'$ .
Solve online
Ex. 53.6Application
Oblicz $(\cos^2 x)'$ .
Solve online
Ex. 53.7Application
Oblicz $(\tan(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.8Application
Oblicz $(\sin(\cos x))'$ .
Solve online
Ex. 53.9Application
Oblicz $(e^{\sin x})'$ .
Solve online
Ex. 53.10Application
Oblicz $((\ln x)^3)'$ .
Solve online
Ex. 53.11Application
Oblicz $(\sqrt{1-x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.12Application
Oblicz $\left(\dfrac{1}{x^2+4}\right)'$ .
Solve online
Ex. 53.13ApplicationAnswer key
Oblicz $(2^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.14ApplicationAnswer key
Oblicz $(\sin^3(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.15ApplicationAnswer key
Oblicz $(\arctan(x^2))'$ . (Odp: $2x/(1+x^4)$ .)
Solve online
Ex. 53.16Application
Oblicz $(\ln(\sin x))'$ .
Solve online
Ex. 53.17Application
Oblicz $(e^{\cos(2x)})'$ .
Solve online
Ex. 53.18Application
Oblicz $(\sqrt{\tan x})'$ .
Solve online
Ex. 53.19Application
Oblicz $(\sin(\sqrt{x}))'$ .
Solve online
Ex. 53.20Application
Oblicz $((3x+5)^{10})'$ .
Solve online
Ex. 53.21ApplicationAnswer key
Oblicz $(\cos(3x^2+2))'$ .
Solve online
Ex. 53.22Application
Oblicz $(\ln(\ln x))'$ .
Solve online
Ex. 53.23Application
Oblicz $(x \cdot \sin(x^2))'$ .
Solve online
Ex. 53.24ApplicationAnswer key
Oblicz $(x \cdot e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.25Application
Oblicz $(\sin(\sqrt{x^2+1}))'$ .
Solve online
Ex. 53.26ApplicationAnswer key
Oblicz $(\tan^2(3x))'$ .
Solve online
Ex. 53.27Understanding
Znajdź linię styczną do krzywej $y = (x^2+1)^3$ w punkcie $x = 1$ . (Odp: $y = 24x - 16$ .)
Solve online
Ex. 53.28Understanding
Analiza błędu. Uczeń pisze $(e^{x^2})' = xe^{x^2}$ . Jaki jest konkretny błąd popełniony?
Solve online
Ex. 53.29UnderstandingAnswer key
Pojęciowe. Do różniczkowania $\sin(x^2)$ , która reguła się stosuje? Dlaczego nie jest to reguła iloczynu?
Solve online
Ex. 53.30Understanding
Oblicz $(e^{e^x})'$ .
Solve online
Ex. 53.31Modeling
Fizyka. Położenie cząstki w ruchu harmonicznym to $s(t) = \sin(\omega t)$ . Oblicz przyspieszenie $s''(t)$ i pokaż, że $s''(t) = -\omega^2 s(t)$ .
Solve online
Ex. 53.32Modeling
Fizyka jądrowa. Rozpad radioaktywny następuje $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ . Oblicz $N'(t)$ i pokaż, że $N'(t) = -\lambda N(t)$ .
Solve online
Ex. 53.33Modeling
Biologia. Wzrost logistyczny to $P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-rt}}$ . Oblicz $P'(0)$ .
Solve online
Ex. 53.34Modeling
Statystyka. Oblicz $f'(x)$ dla standardowej gęstości normalnej $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ .
Solve online
Ex. 53.35ModelingAnswer key
Finanse. Obecna wartość przepływu pieniężnego $S$ dyskontowanego w tempie $r$ to $V(t) = S\,e^{-rt}$ . Oblicz $dV/dt$ i zinterpretuj wynik.
Solve online
Ex. 53.36Modeling
Fizyka. Energia kinetyczna to $E(v) = \tfrac{1}{2}mv^2$ a prędkość to $v(t) = at$ . Oblicz $dE/dt$ poprzez regułę łańcucha i potwierdź z bezpośrednią pochodną.
Solve online
Ex. 53.37Challenge
Oblicz $(\sin(\cos(\sin x)))'$ .
Solve online
Ex. 53.38ChallengeAnswer key
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\left[(x + \sqrt{x^2+1})^n\right]$ .
Solve online
Ex. 53.39Challenge
Oblicz $(\sin(e^{x^2}))'$ .
Solve online
Ex. 53.40Proof
Dowód. Wyjaśnij, dlaczego naiwny argument $\frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{h}$ zawodzi jako rygorystyczny dowód reguły łańcucha. Jak funkcja pomocnicza $Q(y)$ rozwiązuje problem?
Solve online

Źródła

Active Calculus 2.0 — Boelkins, Austin, Schlicker · 2024 · §2.5. Główne źródło. CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · §3.6. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.5. CC-BY-NC.