Lição 54 — Pochodna niejawna

Dla koła $x^2 + y^2 = 1$, znajdź $dy/dx$.

Dla elipsy $x^2/4 + y^2/9 = 1$, oblicz $dy/dx$.

Dla $xy = 1$, oblicz $dy/dx$ przez różniczkowanie niejawne. Sprawdź że zgadza się z różniczkowaniem $y = 1/x$ wprost.

Dla hiperboli $x^2/9 - y^2/16 = 1$, oblicz $dy/dx$.

Dla $x^3 + y^3 = 6xy$, oblicz $dy/dx$.

Dla $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$, oblicz $dy/dx$.

Dla $x^2 y + xy^2 = 6$, oblicz $dy/dx$.

Dla $\tan y = x$, oblicz $dy/dx$. Zinterpretuj wynik jako pochodną $\arctan x$.

Dla $e^y = xy$, oblicz $dy/dx$.

Dla $\ln(xy) = x + y$, oblicz $dy/dx$.

Dla $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$, oblicz $dy/dx$ i oceń w punkcie $(1, 9)$.

Dla $\cos(x + y) = y$, oblicz $dy/dx$.

Dla $\sin(xy) = x$, oblicz $dy/dx$.

Dla $y^3 + 3y = x$, oblicz $dy/dx$ i omów czy pochodna istnieje we wszystkich punktach.

Znajdź styczną do koła $x^2 + y^2 = 25$ w punkcie $(3, 4)$.

Dla elipsy $x^2 + 4y^2 = 16$, znajdź styczną w punkcie $(2, \sqrt{3})$.

Dla $x^2 + xy + y^2 = 7$, znajdź styczną w $(1, 2)$.

Dla $x^3 + y^3 = 9$, znajdź styczną w $(1, 2)$.

Dla $y\sin x = x\cos y$, oblicz $dy/dx$.

Dla okręgu $x^2 + y^2 = 1$, określ wszystkie punkty stycznej poziomej i pionowej.

Dla Liścia Kartezjańskiego $x^3 + y^3 = 3xy$, oblicz $dy/dx$ i określ punkty stycznej poziomej.

Dla Liścia Kartezjańskiego $x^3 + y^3 = 3xy$, znajdź styczną w punkcie $(3/2, 3/2)$.

Prawo gazów idealnych mówi $PV = nRT$. Trzymając $T$ stałe, użyj różniczkowania niejawnego aby znaleźć $dP/dV$.

Dla krzywej $y^2 + xy = 12$, określ czy istnieją punkty stycznej poziomej lub pionowej.

W mikroekonomii krzywa obojętności $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ opisuje kombinacje dwóch dóbr które pozostawiają konsumenta obojętnym. Używając różniczkowania niejawnego, znajdź $dx_2/dx_1$ — krańcową stopę substytucji.

Dla lemniskaty $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$, oblicz $dy/dx$ w punkcie $(\sqrt{3}/2, 1/2)$.

Użyj pochodnej logarytmicznej aby znaleźć $y'$ jeśli $y = x^x$ ($x > 0$).

Użyj pochodnej logarytmicznej aby znaleźć $y'$ jeśli $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$). Oceń w $x = \pi$.

Dla $x^2 + y^2 = r^2$, znajdź $d^2y/dx^2$ w zakresie $x$, $y$ i $r$. Zinterpretuj znak $y''$ dla $y > 0$.

Dla elipsy $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, oblicz $dy/dx$ i $d^2y/dx^2$.

Dlaczego warunek $F_y \neq 0$ jest niezbędny do zastosowania Twierdzenia Funkcji Niejawnej?

Jaka jest główna zaleta różniczkowania niejawnego nad izolowaniem $y$ i różniczkowaniem jawnie?

Użyj różniczkowania niejawnego aby pokazać że styczna do koła $x^2 + y^2 = r^2$ jest zawsze prostopadła do promienia w punkcie tangencji.

Dla krzywej $F(x,y)=0$, wyjaśnij w jakich warunkach styczna istnieje, możliwie pionowa, i kiedy punkt jest singularny.

Sprawdź że różniczkowanie $x^2 + y^2 = r^2$ niejawnie daje ten sam wynik co różniczkowanie $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$ jawnie.

Różniczkując niejawnie $e^{xy} = x + y$ względem $x$, jaki jest $\frac{d}{dx}[e^y]$? Dlaczego nie jest to po prostu $e^y$?

Dla krzywej $x^4 + y^4 = 1$, znajdź wszystkie punkty stycznej poziomej i pionowej.

Dla elipsy $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, oblicz $y''$ niejawnie i uprość używając równania elipsy. (Odp: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$.)

Dla $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$, oblicz $dy/dx$ w $(0, 0)$. Wyjaśnij dlaczego punkt jest singularny dla bezpośredniego wzoru.

Demonstracja. Udowodnij że $(x^a)' = ax^{a-1}$ dla $a \in \mathbb{R}$ arbitralnego ($x > 0$), używając $x^a = e^{a\ln x}$ i reguły łańcucha. Wyjaśnij dlaczego dowód obejmuje przypadek $a$ niewymiernego.