Lição 55 — Derivadas de ordem superior

Niech $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$. Oblicz $f'(x)$ i $f''(x)$.

Niech $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$. Oblicz $f''(x)$.

Niech $f(x) = \sin x$. Oblicz $f''(x)$.

Niech $f(x) = \cos(2x)$. Oblicz $f''(x)$.

Niech $f(x) = \ln x$. Oblicz $f''(x)$.

Niech $f(x) = xe^x$. Oblicz $f''(x)$.

Niech $f(x) = x^2 \ln x$. Oblicz $f''(x)$.

Niech $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Oblicz $f'''(x)$.

Niech $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Oblicz $f''(0)$.

Niech $f(x) = \sqrt{x}$. Oblicz $f''(x)$.

Niech $f(x) = \cos(2x)$. Oblicz $f^{(4)}(x)$.

Niech $f(x) = x^4$. Oblicz $f^{(5)}(x)$.

Niech $f(x) = e^{2x}$. Określ $f^{(n)}(x)$ dla każdego $n \geq 1$.

Określ $(\sin x)^{(100)}$.

Niech $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Określ ogólny wzór $f^{(n)}(x)$.

Dla $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$, określ punkty przegięcia i przedziały wklęsłości.

Dla $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, określ przedziały wklęsłości i punkt przegięcia.

Dla $f(x) = e^{-x^2}$, oblicz $f''(0)$.

Dla $f(x) = x^5 - 5x^4$, określ punkty przegięcia.

Jeśli $f''(c) = 0$, czy możemy wnioskować, że $c$ jest punktem przegięcia $f$?

Jeśli $f'(c) = 0$ i $f''(c) > 0$, co się wnioskuje o $c$?

Określ wklęsłość $f(x) = e^x$ na całej dziedzinie.

Przeanalizuj wklęsłość $f(x) = x^3$ i zidentyfikuj punkt przegięcia.

Dla $f(x) = x^4 - 6x^2$, określ przedziały wklęsłości i punkty przegięcia.

Wyjaśnij dlaczego $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ i dlaczego $(e^x)^{(n)} = e^x$ dla każdego $n \geq 0$.

Wyprowadź wzór na $(fg)''$ z reguły iloczynu i zidentyfikuj analogię z dwumianem Newtona.

Niech $f(x) = (1 + x)^{10}$. Oblicz $f^{(10)}(0)$.

Położenie cząstki: $s(t) = 4t^3 - t^4$ (metry, $t$ w sekundach). Oblicz $v(1)$, $a(1)$ i $j(1)$ i zinterpretuj $j(1) = 0$.

Wahadło: $\theta(t) = A\cos(\omega t)$. Oblicz $\ddot{\theta}$ i sprawdź, że $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$.

Koszt produkcji: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (R$ tys.). Oblicz $C''(q)$ i zinterpretuj punkt przegięcia jako "minimalny koszt krańcowy".

Położenie pojazdu: $s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ (metry). Oblicz $v(t)$, $a(t)$, $j(t)$ i określ, kiedy przyspieszenie jest zerowe.

Wysokość pocisku: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$. Oblicz $h''(t)$ i zidentyfikuj jego znaczenie fizyczne.

W systemie mechanicznym energia potencjalna $U(\theta)$ ma punkt krytyczny w $\theta_0$. Co $U''(\theta_0) > 0$ względnie $U''(\theta_0) < 0$ implikuje o stabilności równowagi?

Korzystając z trzech pierwszych pochodnych $f(x) = e^x$ w $a = 0$, napisz wielomian Taylora $T_2(x)$ i oszacuj błąd dla $x = 0{,}1$.

Napisz wielomian Taylora stopnia 2 funkcji $f(x) = \cos x$ wokół $a = 0$ i sprawdź dla $x = 0{,}1$.

Oblicz $f^{(n)}(x)$ dla $f(x) = \ln(1+x)$ i napisz wielomian Taylora $T_n(x)$ wokół $a = 0$.

Dla $f(x) = x^x$ ($x > 0$), oblicz $f''(x)$ używając logarytmicznego pochodniowania.

Sformułuj wzór Leibniza $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ i opisz strukturę dowodu przez indukcję go udowadniającego.

Demonstracja. Niech $f$ będzie dwukrotnie różniczkowalna na $[0, 1]$, z $f(0) = f(1) = 0$ i $f' \not\equiv 0$. Czy istnieje $c \in (0, 1)$ z $f''(c) = 0$? Uzasadnij.

Demonstracja. Udowodnij, że jeśli $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna i $f''(x) \geq 0$ na $(a, b)$, to $f$ jest wypukła na $(a, b)$.