v1 · padrão canônico

Lição 56 — Derivadas de funções inversas

Teorema da derivada da inversa e derivação de arcsin, arccos, arctan, ln, log_a, a^x e hiperbólicas inversas via diferenciação implícita.

Used in: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math III japonês cap. 3 · Equiv. Analysis Grundkurs/Leistungskurs alemão · IB Math HL tópico 6

(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}, \quad b = f(a)

Podręczniki obejmujące tę lekcję

Boelkins — Active Calculus
· §2.6 Derivatives of Inverse Functions · CC-BY-NC-SA · Źródło główne: teoria, ćwiczenia odkrywcze i zadania dotyczące pochodnych funkcji odwrotnych. Wszystkie rozwiązane przykłady i około 60% zadań w tej lekcji pochodzi z tego podrozdziału.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §3.7 Derivatives of Inverse Functions · CC-BY-NC-SA · Kompletna tabela pochodnych funkcji odwrotnych, pochodnych logarytmów i funkcji wykładniczych o dowolnej podstawie. Ćwiczenia dotyczące reguły łańcuchowej z arcsin, arctan, arcsec i różniczkowania logarytmicznego.
Hartman et al. — APEX Calculus
· §2.7 i §6.6 · CC-BY-NC · Pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych (§2.7) i odwrotnych funkcji hiperbolicznych za pomocą logarytmu (§6.6). Ćwiczenia dotyczące złożonych funkcji składanych.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definicja rygorystyczna i tabela kompletna

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

"Jeśli $f$ jest funkcją różniczkowalną, wzajemnie jednoznaczną, z $f(a) = b$ i $f'(a) \neq 0$ , to $f^{-1}$ jest różniczkowalna w $b$ i $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ ." — Active Calculus §2.6, Theorem 2.6.2

Dowód za pomocą reguły łańcuchowej

Z tożsamości $f(f^{-1}(y)) = y$ , różniczkując obie strony względem $y$ za pomocą reguły łańcuchowej:

$f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$

Ponieważ $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$ z założenia, dzielimy:

$\boxed{(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}}$

Interpretacja geometryczna

Wykres $f^{-1}$ jest odbiciem wykresu $f$ względem prostej $y = x$ . Styczna o nachyleniu $m$ na wykresie $f$ w punkcie $(a, b)$ staje się nachyleniem $1/m$ na wykresie $f^{-1}$ w punkcie $(b, a)$ — odbicie zamienia role $\Delta x$ i $\Delta y$ .

Odbicie na przekątnej $y = x$ przekształca nachylenie $m$ w $1/m$ . Punkt $(a, b)$ funkcji $f$ staje się $(b, a)$ funkcji $f^{-1}$ .

Tabela pochodnych funkcji odwrotnych

Funkcja	Dziedzina	Pochodna
$\arcsin x$	$(-1, 1)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos x$	$(-1, 1)$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$\mathbb{R}$	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arcsec}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arccsc}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$-\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\ln x$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x\;(a>0,\,a\neq1)$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\text{arcsinh}\, x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
$\text{arccosh}\, x$	$x > 1$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arctanh}\, x$	$	x

"Ogólnie istnieje wzór na pochodną $a^x$ dla dowolnego $a > 0$ z $a \neq 1$ : $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ . Ten wzór jest szczególnym przypadkiem reguły łańcuchowej zastosowanej do $a^x = e^{x \ln a}$ ." — OpenStax Calculus Volume 1 §3.7

Reguła łańcuchowa z odwrotną funkcją trygonometryczną

Dla $u = g(x)$ różniczkowalnej:

$\frac{d}{dx}\arcsin(g(x)) = \frac{g'(x)}{\sqrt{1 - g(x)^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan(g(x)) = \frac{g'(x)}{1 + g(x)^2}$

Przykłady rozwiązane

Example— 1· Pochodna arctan za pomocą różniczkowania niejawnego (fundamentalne)

Problem: Różniczkuj $(\arctan x)'$ zaczynając od definicji poprzez różniczkowanie niejawne.

Strategia: Używamy metody standardowej: napisać relację odwrotną $\tan y = x$ , różniczkować niejawnie i przepisać wynik w kategoriach $x$ .

Rozwiązanie:

Niech $y = \arctan x$ . Z definicji funkcji odwrotnej, $\tan y = x$ z $y \in (-\pi/2,\, \pi/2)$ .
Różniczkuj obie strony względem $x$ : $\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Izoluj $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$
Przepisz $\sec^2 y$ : za pomocą tożsamości $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ i używając $\tan y = x$ : $\sec^2 y = 1 + x^2$
Zatem: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Weryfikacja: W $x = 0$ : $(f^{-1})'(0) = 1/(1+0) = 1$ . Ponieważ $f(x) = \tan x$ ma $f'(0) = \sec^2 0 = 1$ , i $1/f'(0) = 1$ . Zgadza się.

Źródło. Active Calculus §2.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Pochodna ln jako odwrotność exp (fundamentalne)

Problem: Różniczkuj $(\ln x)'$ zaczynając od $e^y = x$ .

Strategia: $\ln$ jest odwrotnością $e^x$ . Stosujemy różniczkowanie niejawne i używamy tego, że $e^y = x$ .

Rozwiązanie:

Niech $y = \ln x$ . Wtedy $e^y = x$ (definicja logarytmu naturalnego).
Różniczkuj obie strony względem $x$ : $e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Izoluj $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
Podstaw $e^y = x$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

Wynik: $(\ln x)' = 1/x$ dla $x > 0$ .

Pochodna $\log_a x$ : Ponieważ $\log_a x = \ln x / \ln a$ : $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Weryfikacja: W $x = 1$ : $(\ln x)'\big|_{x=1} = 1$ . Linia styczna do $y = \ln x$ w $(1, 0)$ ma nachylenie 1. Zgadza się.

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Reguła łańcuchowa z arcsin — funkcja złożona arcsin(2x)

Problem: Oblicz $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .

Strategia: Zastosuj wzór $(\arcsin u)' = u'/\sqrt{1-u^2}$ z $u = 2x$ .

Rozwiązanie:

Identyfikuj $u = 2x$ , zatem $u' = 2$ .
Zastosuj regułę łańcuchową: $\frac{d}{dx}\arcsin(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$
Wynik jest ważny dla $|2x| < 1$ , czyli $x \in (-1/2,\, 1/2)$ .

Weryfikacja: Dla $x = 0$ : pochodna $= 2/\sqrt{1} = 2$ . Za pomocą różnicy skończonej: $\arcsin(2 \cdot 0{,}01) \approx 0{,}020$ , podzielone przez $0{,}01$ daje $\approx 2{,}00$ . Zgadza się.

Źródło. Active Calculus §2.6, Ćwiczenie 2.6.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Twierdzenie o funkcji odwrotnej bez jawnego wzoru — oblicz (f^{-1})'(b)

Problem: Niech $f(x) = x^3 + 2x + 1$ . Oblicz $(f^{-1})'(4)$ .

Strategia: Nie znamy $f^{-1}$ jawnie, ale możemy użyć $(f^{-1})'(b) = 1/f'(f^{-1}(b))$ . Musimy znaleźć $a$ takie, że $f(a) = 4$ .

Rozwiązanie:

Znajdź $a$ takie, że $f(a) = 4$ : $a^3 + 2a + 1 = 4 \implies a^3 + 2a - 3 = 0$

Spróbuj $a = 1$ : $1 + 2 - 3 = 0$ . Zatem $a = 1$ , czyli $f(1) = 4$ .

Oblicz $f'(x) = 3x^2 + 2$ .
Oceń w $a = 1$ : $f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$ .
Zastosuj twierdzenie: $(f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$

Weryfikacja: $f$ jest ściśle rosnąca ( $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ dla wszystkich $x$ ), zatem $f^{-1}$ istnieje. W $b = 4$ nachylenie $f^{-1}$ wynosi $1/5$ .

Źródło. Active Calculus §2.6, Ćwiczenie 2.6.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Różniczkowanie logarytmiczne — pochodna x^x

Problem: Różniczkuj $y = x^x$ dla $x > 0$ .

Strategia: $x^x$ nie jest potęgą stałą ani wykładniczą stałą — używa się różniczkowania logarytmicznego: bierz $\ln$ obu stron i różniczkuj.

Rozwiązanie:

Weź $\ln$ obu stron: $\ln y = x \ln x$
Różniczkuj niejawnie względem $x$ : $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
Izoluj $dy/dx$ mnożąc przez $y = x^x$ : $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

Szczególny przypadek: W $x = 1$ : $dy/dx = 1^1(\ln 1 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$ . Linia styczna do $y = x^x$ w $(1, 1)$ ma nachylenie 1.

Uogólnienie: Dla $y = f(x)^{g(x)}$ różniczkowanie logarytmiczne daje: $\frac{dy}{dx} = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x) + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)}\right)$

Źródło. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 3Modeling 8Challenge 2Proof 1

Ex. 56.1Application
Jaka jest pochodna funkcji $y = \arcsin x$ ?
Solve online
Ex. 56.2Application
Jaka jest pochodna funkcji $y = \arctan x$ ?
Solve online
Ex. 56.3Application
Różniczkuj $y = \arccos x$ poprzez różniczkowanie niejawne. Wyjaśnij, dlaczego wynik różni się od $(\arcsin x)'$ jedynie znakiem.
Solve online
Ex. 56.4ApplicationAnswer key
Różniczkuj $y = \ln x$ poprzez różniczkowanie niejawne.
Solve online
Ex. 56.5Application
Różniczkuj $y = \log_2 x$ .
Solve online
Ex. 56.6Application
Jaka jest pochodna funkcji $y = a^x$ (z $a > 0$ , $a \neq 1$ )?
Solve online
Ex. 56.7Application
Różniczkuj $y = \text{arcsinh}\, x$ poprzez różniczkowanie niejawne.
Solve online
Ex. 56.8Application
Różniczkuj $y = \text{arctanh}\, x$ (dla $|x| < 1$ ).
Solve online
Ex. 56.9Application
Niech $f(x) = x^3 + x$ . Biorąc pod uwagę, że $f(1) = 2$ , oblicz $(f^{-1})'(2)$ .
Solve online
Ex. 56.10ApplicationAnswer key
Niech $f(x) = e^x + x$ . Biorąc pod uwagę, że $f(0) = 1$ , oblicz $(f^{-1})'(1)$ .
Solve online
Ex. 56.11Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx} 3^x$ i oceń w $x = 1$ . Dlaczego reguła potęgi $nx^{n-1}$ nie ma zastosowania?
Solve online
Ex. 56.12Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx} 2^{x^2}$ .
Solve online
Ex. 56.13Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .
Solve online
Ex. 56.14Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\arctan(x^2)$ .
Solve online
Ex. 56.15ApplicationAnswer key
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\arcsin(e^x)$ . Jaka jest dziedzina tej pochodnej?
Solve online
Ex. 56.16Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\arctan(\ln x)$ .
Solve online
Ex. 56.17Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\arcsin(x^3)$ .
Solve online
Ex. 56.18Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}(\arctan x)^2$ .
Solve online
Ex. 56.19Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}(\arcsin x + \arccos x)$ . Wyjaśnij geometrycznie wynik.
Solve online
Ex. 56.20Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\ln(\arctan x)$ i określ dziedzinę.
Solve online
Ex. 56.21Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\!\left[x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.22Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\ln(\sec x + \tan x)$ .
Solve online
Ex. 56.23ApplicationAnswer key
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\arctan x}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 56.24Application
Różniczkuj $y = \text{arcsec}\, x$ dla $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.25Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\text{arccosh}(\ln x)$ . Jaka jest dziedzina?
Solve online
Ex. 56.26Application
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\!\left[(\arctan x)\ln(x^2+1)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.27ModelingAnswer key
Prawo Snella. Kąt załamania spełnia $\theta_2 = \arcsin\!\left(\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)$ . Oblicz $d\theta_2/d\theta_1$ w $\theta_1 = 0$ .
Solve online
Ex. 56.28Modeling
GPS. Kąt elewacji satelity to $\theta = \arctan(h/d)$ , gdzie $h$ to wysokość i $d$ odległość pozioma (stała). Oblicz czułość $d\theta/dh$ .
Solve online
Ex. 56.29Modeling
Wahadło. Kąt wahadła spełnia $\theta = \arcsin(s/L)$ , gdzie $s$ to łuk i $L$ długość. Oblicz $d\theta/ds$ .
Solve online
Ex. 56.30ModelingAnswer key
Użyj różniczkowania logarytmicznego do obliczenia $\dfrac{d}{dx} x^{\sin x}$ (dla $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.31ModelingAnswer key
Użyj różniczkowania logarytmicznego do obliczenia $\dfrac{d}{dx} x^x$ (dla $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.32Modeling
Funkcja błędu. Niech $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ . Oblicz $F'(x)$ za pomocą TFC, a następnie wyznacz $(F^{-1})'(0)$ .
Solve online
Ex. 56.33Modeling
Finanse. Funkcja $V(\sigma) = \text{BS}(\sigma)$ daje cenę opcji jako funkcję zmienności. Czułość ceny do zmienności to Vega. Jaka jest czułość niejawnej zmienności do ceny rynkowej, $d\sigma_{\text{imp}}/dV$ ?
Solve online
Ex. 56.34Modeling
Oblicz $\dfrac{d}{dx}\arcsin(1/x)$ dla $|x| > 1$ i porównaj z pochodną funkcji $\text{arcsec}\, x$ .
Solve online
Ex. 56.35UnderstandingAnswer key
Dlaczego funkcja musi być ściśle monotoniczna (a nie tylko ciągła) aby mieć dobrze określoną funkcję odwrotną?
Solve online
Ex. 56.36UnderstandingAnswer key
Co się dzieje geometrycznie we wzorze pochodnej funkcji odwrotnej, gdy $f'(a) = 0$ ?
Solve online
Ex. 56.37Understanding
Tożsamość. Udowodnij, że $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ dla wszystkich $x \in [-1, 1]$ , używając pochodnych (pokaż, że różnica jest stała i oceń w $x = 0$ ).
Solve online
Ex. 56.38Challenge
Funkcja W Lamberta. $W(x)$ spełnia $W(x)\,e^{W(x)} = x$ . Różniczkuj $W'(x)$ poprzez różniczkowanie niejawne.
Solve online
Ex. 56.39Challenge
Użyj różniczkowania logarytmicznego do obliczenia $\dfrac{d}{dx}(\ln x)^{\ln x}$ dla $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.40ProofAnswer key
Dowód. Udowodnij, że $(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y))$ , używając tożsamości $f(f^{-1}(y)) = y$ i reguły łańcuchowej.
Solve online

Źródła

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.6 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Źródło główne. Bezpłatny podrozdział online z ćwiczeniami odkrywczymi.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.7 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Kompletna tabela, przykłady różniczkowania logarytmicznego.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.7 i §6.6 · CC-BY-NC. Bezpłatny PDF. Odwrotne funkcje hiperboliczne i zaawansowane funkcje złożone.